常數(shù)項(xiàng)級數(shù)習(xí)題課課件

1、1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂一、主要內(nèi)容第1頁，共28頁。常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正 項(xiàng) 級 數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯(cuò)級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級數(shù)4.絕對收斂第2頁，共28頁。2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法(1) 比較審斂法(2) 比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別 （等價(jià)無窮?。┑?頁，共28頁。3、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法Leibniz定理絕對收斂，條件收斂附：正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)審斂程序第4頁，共28頁。發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散第5頁，共28頁

2、。N 發(fā)散YY 收斂N用檢比 法用比較法用L準(zhǔn)則或考察部分和NNY條件收斂第6頁，共28頁。例求極限解考察正項(xiàng)級數(shù)由檢比法收斂由級數(shù)收斂的必要條件得二、典型例題第7頁，共28頁。例解即原級數(shù)非絕對收斂由萊布尼茨定理：第8頁，共28頁。所以此交錯(cuò)級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂第9頁，共28頁。第10頁，共28頁。例解第11頁，共28頁。根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散解從而有第12頁，共28頁。原級數(shù)收斂；原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)也發(fā)散第13頁，共28頁。 討論的斂散性解對級數(shù)收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散分情況說明例 第14頁，共28頁。級數(shù)成為收斂發(fā)散級數(shù)成為絕對收斂條件收斂第15頁，共28頁。解例第16頁

3、，共28頁。例. 討論級數(shù)的斂散性分析 因?yàn)椴粏握{(diào)， 對于級數(shù)，記，可得且收斂，發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散運(yùn)用萊布尼茨定理得，級數(shù)而級數(shù)不能直接運(yùn)用萊布尼茨定理來判別級數(shù)的收斂性考察一般項(xiàng)第17頁，共28頁。設(shè)正數(shù)數(shù)列 單調(diào)減少，級數(shù)發(fā)散考察的斂散性解： 記由 單調(diào)減少故由單調(diào)有界原理知 存在且若由Leibniz審斂法得 交錯(cuò)級數(shù)收斂， 與題設(shè)矛盾由檢根法知 收斂 例 第18頁，共28頁。思考與練習(xí) 1. 判別下列級數(shù)的斂散性:提示: (1) 據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,第19頁，共28頁。利用比值判別法, 可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法, 可判斷級數(shù)因 n 充分大時(shí)原級數(shù)發(fā)散 . 用比值

4、判別法可知:時(shí)收斂 ;時(shí), 與 p 級數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂 .時(shí)發(fā)散.發(fā)散,收斂,第20頁，共28頁。2. 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)和也收斂 .提示: 因存在 N 0,又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂, 證明級數(shù)當(dāng)n N 時(shí)第21頁，共28頁。3. 設(shè)級數(shù)收斂 , 且是否也收斂？說明理由.但對任意項(xiàng)級數(shù)卻不一定收斂 .問級數(shù)提示: 對正項(xiàng)級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂 ,收斂,級數(shù)發(fā)散 .例如, 取第22頁，共28頁。4. 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:提示: (1)因各項(xiàng)取絕對值后所得強(qiáng)級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂 .故 第23頁，共28頁。因單調(diào)遞減,

5、 且但所以原級數(shù)僅條件收斂 .由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;第24頁，共28頁。因所以原級數(shù)絕對收斂 .第25頁，共28頁。正項(xiàng)級數(shù) 由級數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須 但在一般項(xiàng)趨于 0 的級數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效的階問題的實(shí)質(zhì)是級數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂第26頁，共28頁。和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失效”的情況。這一結(jié)論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判定注比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項(xiàng)級數(shù)方可使用的一種估計(jì)第27頁，共28頁。檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件L準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件通項(xiàng)中含 等常用檢比法通項(xiàng)中含 有以 n