分離變量法-數(shù)學(xué)物理定解問題課件

1、第二章 分離變量法第1頁(yè)，共87頁(yè)。2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第2頁(yè)，共87頁(yè)。二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第3頁(yè)，共87頁(yè)。特征根(1) 有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程特征方程2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第4頁(yè)，共87頁(yè)。(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根齊次方程的通解為特解為(3) 有一對(duì)共軛復(fù)根齊次方程的通解為特征根為特解為2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第5頁(yè)，共87頁(yè)。2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第6頁(yè)，共87頁(yè)。二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性方程2.0 預(yù)備知識(shí)常微分方程第7頁(yè)，共87頁(yè)。2.1 有界弦的自由振

2、動(dòng) 第8頁(yè)，共87頁(yè)。分離變量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理論依據(jù)：線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville 理論?；舅枷耄簩⑵⒎址匠痰那蠼饣癁閷?duì)常微分方程的求解2. 1 有界弦的自由振動(dòng)第9頁(yè)，共87頁(yè)。2.1 有界弦的自由振動(dòng) 研究?jī)啥斯潭ň鶆虻淖杂烧駝?dòng).定解問題為：特點(diǎn): 方程齊次, 邊界齊次.第10頁(yè)，共87頁(yè)。 (1) 沒有波形的傳播，即各點(diǎn)振動(dòng)相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時(shí)間振動(dòng)，可統(tǒng)一表示為 ; (2) 各點(diǎn)振幅 隨點(diǎn) 而異，而與時(shí)間無關(guān)，用 X(x) 表示,所以駐波可用 表示。 駐波的特點(diǎn)： 端點(diǎn)會(huì)引起波的反射，弦有限長(zhǎng)，波在兩端點(diǎn)之間往返反射。兩列反向

3、行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。2.1 有界弦的自由振動(dòng)第11頁(yè)，共87頁(yè)。2. 1 有界弦的自由振動(dòng) 設(shè) 且 不恒為零，代入方程和邊界條件中得 由 不恒為零，有： 取參數(shù)這個(gè)式子的左端是x的函數(shù),右端是t的函數(shù)，何時(shí)恒等？第12頁(yè)，共87頁(yè)。 . 利用邊界條件2.1 有界弦的自由振動(dòng)第13頁(yè)，共87頁(yè)。則 特征值問題 參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)2.1 有界弦的自由振動(dòng)第14頁(yè)，共87頁(yè)。2. 1 有界弦的自由振動(dòng)由邊值條件 (i) 方程通解為 (ii) 時(shí)，通解 由邊值條件得C1 =C 2=0 從而 ， 無意義. 無意義第15頁(yè)，共87頁(yè)。2.1 有界弦

4、的自由振動(dòng) 由邊值條件從而 即(iii） 時(shí)，通解 故而得第16頁(yè)，共87頁(yè)。2.1 有界弦的自由振動(dòng)再求解T： 其解為 所以 兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加 . 第17頁(yè)，共87頁(yè)。2. 1 有界弦的自由振動(dòng)將 展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得 代入初始條件得： 定解問題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在 x0 和 x=l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 第18頁(yè)，共87頁(yè)。再求解T： 其解為 所以 兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加 . 2.1 有界弦的自由振動(dòng)第19頁(yè)，共87頁(yè)。將 展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得 代入初始條件得： 2. 1 有界弦的自由振動(dòng) 定解問題的解是Fourier正弦

5、級(jí)數(shù)，這是在 x0 和 x=l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 第20頁(yè)，共87頁(yè)。（特征值問題）齊次邊界條件（特征函數(shù)） 分離變量法圖解 2.1 有界弦的自由振動(dòng)第21頁(yè)，共87頁(yè)。則無窮級(jí)數(shù)解為如下混合問題的解上， ，且 定理：若在區(qū)間2.1 有界弦的自由振動(dòng)第22頁(yè)，共87頁(yè)。弦上各點(diǎn)的頻率 和初位相 都相同，因而沒有波形的傳播現(xiàn)象。 弦上各點(diǎn)振幅 因點(diǎn)而異 在 處，振幅永遠(yuǎn)為0 二、解的物理意義 節(jié)點(diǎn)腹點(diǎn)特點(diǎn)最大振幅頻率初位相在 處，振幅最大,為 nNu(x,t )是由無窮多個(gè)振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。 n1的駐波稱為基波, n1的駐波叫做n次諧波. 2.1 有界弦的自

6、由振動(dòng)第23頁(yè)，共87頁(yè)。例1 設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移，其中 與弦的材料和張力有關(guān) .解 設(shè)位移函數(shù)為 ，則需要求解下列定解問題2.1 有界弦的自由振動(dòng)第24頁(yè)，共87頁(yè)。因此，所求的解為： = 2.1 有界弦的自由振動(dòng)第25頁(yè)，共87頁(yè)。解：令 , 得 化簡(jiǎn): 例2：研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng)問題.第二類邊界條件引入?yún)?shù) 得 2.1 有界弦的自由振動(dòng)第26頁(yè)，共87頁(yè)。2.1 有界弦的自由振動(dòng)得C1 =C 2=0 從而 ，無意義 分離變量： 時(shí)， 由邊值條件第27頁(yè)，共87頁(yè)。(ii) 時(shí), , (iii) 時(shí), 則 而 由邊值

7、條件由邊值條件從而2.1 有界弦的自由振動(dòng)第28頁(yè)，共87頁(yè)。本征值 本征函數(shù) 2.1 有界弦的自由振動(dòng)T 的方程其解為 第29頁(yè)，共87頁(yè)。所以 故代入初始條件: 將 展開為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得 解為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，由端點(diǎn)處的二類齊次邊界條件決定.2.1 有界弦的自由振動(dòng)第30頁(yè)，共87頁(yè)。2. 2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第31頁(yè)，共87頁(yè)。例1細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 長(zhǎng)為 l 的細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱, x=0 端溫度為0，x=l 端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 解：定解問題為 2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第32頁(yè)，共

8、87頁(yè)。得本征問題 由 及齊次邊界條件，有 設(shè) 且 并引入?yún)?shù)分離變量代入方程2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第33頁(yè)，共87頁(yè)。當(dāng) 或 時(shí), 當(dāng) 時(shí), 由 得 由 得 故 即 令有函數(shù)方程2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第34頁(yè)，共87頁(yè)。由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為： ry圖 12.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第35頁(yè)，共87頁(yè)。2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題對(duì)應(yīng)的本征函數(shù) 的方程： 解為故 由初始條件得可以證明函數(shù)系 在 上正交，在（*）式兩端乘以 并在 0, l 上積分, 得 且模值第36頁(yè)，共87頁(yè)。（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解 （三）將特征值代入另一常微分方程，

9、 得到 （四）將 疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程化為常微分方程（方程齊次）分離變量法解題步驟（邊界條件齊次）2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第37頁(yè)，共87頁(yè)。分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。注2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第38頁(yè)，共87頁(yè)。左端點(diǎn)右端點(diǎn)特征值特征函數(shù)取值范圍 一 一一 二 二 二二一課堂練習(xí)總結(jié)：端點(diǎn)邊界條件與特征值，特征函數(shù)的關(guān)系2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第39頁(yè)，共87頁(yè)。練習(xí)： 求下列定解問題的解 其中2.2 有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題第40頁(yè)，共87頁(yè)。2.3 二維拉普拉斯方程的邊

10、值問題第41頁(yè)，共87頁(yè)。2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題1. 矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題例1矩形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度分布.設(shè)薄板上下底面絕熱，一組對(duì)邊絕熱，另一組對(duì)邊的溫度分別為零攝氏度和 ，求穩(wěn)恒狀態(tài)下薄板的溫度分布。 定解問題為： 解第42頁(yè)，共87頁(yè)。再利用 x = 0 和 x = a 處的齊次邊界條件得 設(shè) 且 代入方程故 本征問題當(dāng) 時(shí)， ， 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第43頁(yè)，共87頁(yè)。2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題當(dāng) 時(shí)， 將 代入 有解： 考慮邊界條件（y方向上），有 解得比較系數(shù)第44頁(yè)，共87頁(yè)。所以解為 作為例子取 ， ，可求得 于是 2.3 二維拉普拉

11、斯方程的邊值問題第45頁(yè)，共87頁(yè)?？疾煲粋€(gè)半徑為r0的圓形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布問題, 設(shè)板的上下兩面絕熱, 圓周邊界上的溫度已知為 求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。2. 圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第46頁(yè)，共87頁(yè)。采用平面極坐標(biāo)。令2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第47頁(yè)，共87頁(yè)。 分離變量 代入方程得齊次偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程:（一）將偏微分方程化為常微分方程由 可知，又圓內(nèi)各點(diǎn)的溫度有界，因而 所以應(yīng)滿足條件 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第48頁(yè)，共87頁(yè)。（二）利用條件,確定特征值問題并求解 得到兩個(gè)常微分方程的定解問題 (1)(

12、2)2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題先求哪一個(gè)？先求(1)啊!可以確定特征值啊!為什么？第49頁(yè)，共87頁(yè)。1) 時(shí)，無非零解；特征值特征函數(shù)2) 時(shí)， 有非零解3) 時(shí) ，通解以 為周期, 必須是整數(shù) , 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第50頁(yè)，共87頁(yè)。（三）將特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 滿足有界性條件的通解 將代入方程2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第51頁(yè)，共87頁(yè)。滿足周期性條件 和有界性條件的特解為 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第52頁(yè)，共87頁(yè)。（四）將 疊加, 利用邊界條件確定系數(shù)滿足周期性和有界性條件的通解為: 利用邊界條件，得由此可以確定系數(shù)

13、2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第53頁(yè)，共87頁(yè)。注: 經(jīng)過化簡(jiǎn), 方程的解可以表示為 稱為圓域內(nèi)的泊松公式. 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題第54頁(yè)，共87頁(yè)。2.4 非齊次方程的解法 第55頁(yè)，共87頁(yè)。2.4 非齊次方程的解法(I) 非齊次振動(dòng)方程定解問題特征函數(shù)法第56頁(yè)，共87頁(yè)。令其中 (1) (2)2.4 非齊次方程的解法第57頁(yè)，共87頁(yè)。令 為待定函數(shù).并將 按特征函數(shù)系展為級(jí)數(shù) 其中 (3) (4) (1)2.4 非齊次方程的解法第58頁(yè)，共87頁(yè)。將(3),(4) 代入 (1) 得兩端比較將(3)代入初始條件2.4 非齊次方程的解法第59頁(yè)，共87頁(yè)。常數(shù)變易法所

14、以2.4 非齊次方程的解法第60頁(yè)，共87頁(yè)。例在環(huán)形區(qū)域 內(nèi)求解下列定解問題解考慮極坐標(biāo)變換:2.4 非齊次方程的解法第61頁(yè)，共87頁(yè)。定解問題可以轉(zhuǎn)化為: 相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:2.4 非齊次方程的解法第62頁(yè)，共87頁(yè)。于是可以設(shè)原問題的解為: 代入方程，整理得 2.4 非齊次方程的解法第63頁(yè)，共87頁(yè)。比較兩端 和 的系數(shù)可得 2.4 非齊次方程的解法第64頁(yè)，共87頁(yè)。由邊界條件，得 所以 2.4 非齊次方程的解法第65頁(yè)，共87頁(yè)。由邊界條件，可知 滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為2.4 非齊次方程的解法第66頁(yè)，共87頁(yè)。下面求 . 方程的通解為 由端點(diǎn)的條件

15、， 得 原問題的解為2.4 非齊次方程的解法第67頁(yè)，共87頁(yè)。2.5 非齊次邊界條件的處理 第68頁(yè)，共87頁(yè)。2.5 非齊次邊界條件的處理 處理非齊次邊界條件問題的基本原則是: 選取一個(gè)輔助函數(shù) , 通過函數(shù)之間的代換: 使得對(duì)新的未知函數(shù) 邊界條件為齊次的. 第69頁(yè)，共87頁(yè)。例1振動(dòng)問題 （I） 解：取 故要求滿足(I)的邊界條件，即解得思路: 作代換選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次2.5 非齊次邊界條件的處理 第70頁(yè)，共87頁(yè)。代入(I),得 的定解問題(II) 令2.5 非齊次邊界條件的處理 第71頁(yè)，共87頁(yè)。如果仍取 的線性函數(shù)作為 ，則有 此時(shí)除非 ，否則

16、這兩式互相矛盾。當(dāng)x0和x=l 滿足第二類邊界條件注意：應(yīng)取2.5 非齊次邊界條件的處理 第72頁(yè)，共87頁(yè)。例 定解問題其中A, B為常數(shù). 解:令2.5 非齊次邊界條件的處理 第73頁(yè)，共87頁(yè)。代入方程，得 選 滿足 它的解為2.5 非齊次邊界條件的處理 第74頁(yè)，共87頁(yè)。于是 滿足的方程為： 2.5 非齊次邊界條件的處理 第75頁(yè)，共87頁(yè)。利用分離變量法，求解得 其中從而，原定解問題的解為 2.5 非齊次邊界條件的處理 第76頁(yè)，共87頁(yè)。一. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 原則:邊界條件的表達(dá)式最簡(jiǎn)單.二. 若邊界條件是非齊次的, 引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三. 對(duì)于齊次邊界條件、

17、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個(gè), 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題 (分離變量法)； 其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法).一般的定解問題的解法2.5 非齊次邊界條件的處理 第77頁(yè)，共87頁(yè)。例 求下列定解問題的解其中 為常數(shù)。解 1）邊界條件齊次化，令 2.5 非齊次邊界條件的處理 第78頁(yè)，共87頁(yè)。于是 滿足如下定解問題2）將問題分解為兩個(gè)定解問題。設(shè)2.5 非齊次邊界條件的處理 第79頁(yè)，共87頁(yè)。2.5 非齊次邊界條件的處理 第80頁(yè)，共87頁(yè)。3）求解問題 (I), (II) 。首先，利用分離變量法求解問題 (I) 。特征值及相應(yīng)的特

18、征函數(shù)2.5 非齊次邊界條件的處理 第81頁(yè)，共87頁(yè)。則利用初始條件確定系數(shù)計(jì)算可得2.5 非齊次邊界條件的處理 第82頁(yè)，共87頁(yè)。其次，利用特征函數(shù)法求解問題 (II) 將 按問題（I）的特征函數(shù)系進(jìn)行傅立葉展開代入問題（II）的方程及初始條件，得2.5 非齊次邊界條件的處理 第83頁(yè)，共87頁(yè)。問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題解得所以2.5 非齊次邊界條件的處理 第84頁(yè)，共87頁(yè)。4）綜合上述結(jié)果, 得到原問題的解2.5 非齊次邊界條件的處理 第85頁(yè)，共87頁(yè)。 對(duì)于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言, 應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系, 使得在此坐標(biāo)系下邊界條件的表達(dá)方式最簡(jiǎn)單, 便于求解. 例如, 對(duì)于圓域、圓環(huán)可以采用極坐標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出,只有當(dāng)求解區(qū)域非常規(guī)范時(shí)，才可以應(yīng)