高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系

1、2.5.2圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一圓與圓的位置關(guān)系的判斷及其應(yīng)用1.圓x2+y2=2與圓x2+y2+2x-2y=0的位置關(guān)系是() A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離2.設(shè)圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圓C2:x2+y2-4x+2y-9=0,則它們公切線的條數(shù)是()A.1B.2C.3D.43.已知點(diǎn)M在圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,點(diǎn)N在圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,則|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.114.若圓x2+y2-2x+F=0和圓x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直線方程是x-y+1=0,則()A.E=-4,F=8B.E=

2、4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=85.已知圓C1:x2+y2-4x+2y=0與圓C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求證:兩圓相交;(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.6.已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心為O2(2,1).(1)若圓O1與圓O2外切,求圓O2的方程;(2)若圓O1與圓O2相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=22,求圓O2的方程.題組二圓與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用7.集合M=(x,y)|x2+y24,N=(x,y)|(x-1)2+(y-1)2r2,r0,且MN=N,則r的取值范圍是()A.(0,2-1)B.(0,1C.(0,2-2D.(0,28.已

3、知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),若圓(x-3)2+y2=r2(r0)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A,B),使得PAPB=0,則r的取值范圍是()A.(1,5)B.1,5C.(1,3D.3,5)9.已知兩圓相交于A(1,3),B(m,-1)兩點(diǎn),兩圓的圓心均在直線x-y+c=0上,則m+2c的值為()A.-1B.1C.3D.010.已知圓C1:(x+a)2+(y-2)2=1與圓C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b為正實(shí)數(shù),則ab的最大值為 ()A.23B.94C.32D.6211.設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過(guò)點(diǎn)(4,1),則兩圓圓心的距離|C1C2|等于()A.4B.42C.

4、8D.8212.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切?(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).13.已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P(3,4),以O(shè)P為直徑的圓C與圓O交于A、B兩點(diǎn).(1)PA與OA、PB與OB具有怎樣的位置關(guān)系?(2)由(1)還可以得到什么結(jié)論?你能否將這一結(jié)論推廣.能力提升練題組一圓與圓的位置關(guān)系1.()若圓C:x2+y2=r2(r0)與圓E:(x-3)2+(y-4)2=16有公共點(diǎn),則r的取值范圍是() A.(3,6)B.1,7C.1,9D.4,82.()若圓

5、(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-22,00,22B.(-22,-2)(2,22)C.-322,-2222,322D.-,-322(2,+)3.(2019河南鶴壁高一期末,)已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),若圓x2+y2-6x+9-r2=0(r0)上存在點(diǎn)P(不同于M,N),使得PMPN,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(易錯(cuò))A.(1,5)B.1,5C.(1,3)D.1,34.(2020安徽六安一中高一期末,)已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:(x-4)2+y2=25,則兩圓公切線的方程為.5.(2020山西太原第五中學(xué)高二上期中,)已知圓C

6、1:(x-1)2+(y+5)2=50,圓C2:(x+1)2+(y+1)2=10.(1)證明圓C1與圓C2相交;(2)若圓C3經(jīng)過(guò)圓C1與圓C2的交點(diǎn)以及坐標(biāo)原點(diǎn),求圓C3的方程.深度解析題組二圓與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用6.()已知M,N分別是圓C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為直線x+y+1=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為()A.2B.3C.2D.37.(2019福建三明高一期中,)已知點(diǎn)P(t,t-1),tR,點(diǎn)E是圓C1:x2+y2=14上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是圓C2:(x-3)2+(y+1)2=94上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|-|PE|的最

7、大值為()A.2B.52C.3D.48.(2019浙江嘉興一中期中,)我們把頂角為36的等腰三角形稱為黃金三角形.其作法如下:作一個(gè)正方形ABCD;以AD的中點(diǎn)E為圓心,以EC為半徑作圓E,交AD的延長(zhǎng)線于F;以D為圓心,以DF為半徑作圓D;以A為圓心,以AD為半徑作圓A交圓D于G,則ADG為黃金三角形.根據(jù)上述作法,可以求出cos 36=(易錯(cuò)) A.5-14B.5+14C.5+34D.5-349.()在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)A(0,-3),若圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一點(diǎn)M,滿足|MA|=2|MO|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.10.(2019廣東深圳耀華實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中

8、,)已知圓C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圓C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一條公切線,若a,bR且ab0,則1a2+1b2的最小值為.11.()在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,求切線方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.A由題意得,圓x2+y2=2的圓心O1(0,0),圓x2+y2+2x-2y=0的圓心O2(-1,1),圓心距d=|O1O2|=1+1=2,兩個(gè)圓的半徑均為2,故|r1-

9、r2|dr1+r2,所以兩個(gè)圓相交.故選A.2.B圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圓心為(5,3),半徑為3;圓C2:x2+y2-4x+2y-9=0,圓心為(2,-1),半徑為14,兩圓的圓心距為(5-2)2+(3+1)2=5,14-35r1+r2=4,所以兩圓外離,從而|MN|的最大值為5+2+2=9.故選C.4.Cx2+y2-2x+F=0,x2+y2+2x+Ey-4=0,-可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,由兩圓的公共弦所在的直線方程為x-y+1=0,得E4=-1,-F+44=1,解得E=-4,F=-8.5.解析(1)證明:圓C1的方程可化為(x-2)2+(y

10、+1)2=5,圓C2的方程可化為x2+(y-1)2=5,C1(2,-1),C2(0,1),兩圓的半徑均為5,|C1C2|=(0-2)2+(1+1)2=22(0,25),兩圓相交.(2)將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程,(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.6.解析(1)設(shè)圓O1、圓O2的半徑長(zhǎng)分別為r1、r2,且易知r1=2.因?yàn)閮蓤A相外切,所以|O1O2|=r1+r2.所以r2=|O1O2|-r1=(2-0)2+(1+1)2-2=2(2-1).所以圓O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-82.(2)由題意,設(shè)圓O2的方程為(x-2

11、)2+(y-1)2=r32(r30),圓O1,O2的方程相減,得弦AB所在直線的方程為4x+4y+r32-8=0.所以圓心O1(0,-1)到直線AB的距離為|0-4+r32-8|42+42=4-2222=2,解得r32=4或r32=20.所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.7.C由MN=N知NM,所以圓x2+y2=4與圓(x-1)2+(y-1)2=r2(r0)內(nèi)切或內(nèi)含,且4r2.所以2-r2,又r0,所以00)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A,B),使得PAPB=0,圓(x-3)2+y2=r2(r0)與圓x2+y2=4有公共點(diǎn),|r-2|3r+2,解得1

12、r5,故選B.9.B由題意知,直線x-y+c=0為線段AB的垂直平分線,且AB的中點(diǎn)1+m2,1在直線x-y+c=0上,1+m2-1+c=0,m+2c=1.10.B由題意得,圓C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圓心為C1(-a,2),半徑r1=1.圓C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圓心為C2(b,2),半徑r2=2.圓C1:(x+a)2+(y-2)2=1與圓C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得aba+b22=94,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).故選B.11.C兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),兩圓圓心均在第一象限且每

13、個(gè)圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,整理得x2-10 x+17=0,a+b=10,ab=17.(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32,|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=322=8.12.解析兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為11和61-m.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),(5-1)2+(6-3)2=11+61-m

14、,解得m=25+1011.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離5,故只有61-m-11=5,解得m=25-1011.(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,公共弦長(zhǎng)為2(11)2-|41+33-23|42+322=27.13.解析(1)如圖,點(diǎn)A在圓C上,OP為圓C的直徑,所以O(shè)APA,同理可得OBPB.(2)由(1)還可以得到:PA是圓O的切線,PB也是圓O的切線.這一結(jié)論可以推廣為:圓O外一點(diǎn)P,以O(shè)P為直徑的圓與圓O交于A、B兩點(diǎn),則PA、PB是圓O的切線.能力提升練1.C兩圓

15、心間的距離|CE|=32+42=5,依題意得,|r-4|5r+4,解得1r9.因此,r的取值范圍是1,9.故選C.2.C根據(jù)題意知,圓(x-a)2+(y-a)2=4與圓x2+y2=1相交,兩圓圓心的距離d=a2+a2=2|a|,所以2-12|a|2+1,即22|a|322,所以-322a-22或22a0).所以兩圓的圓心間的距離d=3,依題意得,|r-2|3r+2,解得1r5.易錯(cuò)警示由PMPN知,P點(diǎn)在以MN為直徑的圓上(不同于M,N),由P,M,N不共線知,點(diǎn)P的軌跡是以MN為直徑的圓(不含M,N兩點(diǎn)),從而由兩圓有公共點(diǎn)得|r-2|3r+2.4.答案x+1=0解析圓C1:x2+y2=1,

16、圓心為(0,0),半徑為1;圓C2:(x-4)2+y2=25,圓心為(4,0),半徑為5.易知兩圓內(nèi)切,切點(diǎn)為(-1,0),又兩圓圓心都在x軸上,所以兩圓公切線的方程為x=-1,即x+1=0.5.解析(1)證明:依題意得,C1(1,-5),r1=50=52,C2(-1,-1),r2=10,因此,52-10|C1C2|=4+16=2510+52,C1與C2相交.(2)設(shè)圓C1與圓C2的交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立(x-1)2+(y+5)2=50,(x+1)2+(y+1)2=10,-得x-2y+4=0,即x=2y-4,代入式得,(2y-5)2+(y+5)2=50,解得y1=0

17、,x1=-4,y2=2,x2=0,圓C3過(guò)A(-4,0),B(0,2),原點(diǎn)O(0,0).易得ABO為直角三角形,r=12AB=5,圓心為AB的中點(diǎn)(-2,1),圓C3的方程為(x+2)2+(y-1)2=5.解題模板求過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程有兩種方法:一是利用圓系方程,先設(shè)后求,待定系數(shù);二是求出交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件求解.本題給出第三點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),利用求交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)的特殊關(guān)系求解即可.6.DC1的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=1,C2的方程可化為(x-1)2+y2=1.設(shè)圓C2關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱的圓為C2,其圓心C2(a,b).依題意得a+12+b2+1=0,b-0a-

18、1=1a=-1,b=-2,因此,圓C2:(x+1)2+(y+2)2=1.如圖所示.|C1C2|=(-1-2)2+(-2-2)2=5,(|PM|+|PN|)min=|C1C2|-2=3,故選D.7.D易得點(diǎn)P(t,t-1)在直線x-y-1=0上,設(shè)圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱的圓為圓C1,則C1:(x-1)2+(y+1)2=14,由幾何知識(shí)知,當(dāng)F、E、P共線時(shí),|PF|-|PE|=|PF|-|PE|=|EF|=|C1C2|+12+32=4,故選D.8.B以A為原點(diǎn),直線AD為x軸,直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)|AD|=2,則|CE|=5=|EF|,又|ED|=1,|DF|=5-1.

19、圓A的方程為x2+y2=4,圓D的方程為(x-2)2+y2=(5-1)2,設(shè)G(x0,y0),由得x0=5+12,|AG|=|AD|=2,cos 36=x0|AG|=5+14,故選B.易錯(cuò)警示本題的實(shí)質(zhì)是計(jì)算,而不是證明,題中已經(jīng)給出“黃金三角形”的作法,在此基礎(chǔ)上我們只需計(jì)算,即利用兩圓的方程求出交點(diǎn)G的坐標(biāo),進(jìn)而可以得到結(jié)論.如果解題過(guò)程中不能正確理解題意,試圖證明結(jié)論將造成極大的麻煩.9.答案0,3解析設(shè)滿足|MA|=2|MO|的點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x,y),由題意得,x2+(y+3)2=2x2+y2,整理可得,x2+(y-1)2=4,即所有滿足題意的點(diǎn)M組成的軌跡方程是一個(gè)圓,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓x2+(y-1)2=4與圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1有交點(diǎn)