巖土工程數(shù)值方法有限單元法

1、6 單元和插值函數(shù)的構造6.1 引言 通過前面的學習，我們已經掌握了通過變分法（加權余量法的Galerkin提法）建立有限單元方程的途徑。首先是將場函數(shù)的總體泛函或總體求解區(qū)域上的位能積分看成是由子域（單元）的泛函或位能積分所集成。至于有限元分析的其余步驟，原則上和傳統(tǒng)的Ritz法或Galerkin法是相類同的。因此在一個給定問題的分析中，決定性的步驟之一是原則適當?shù)膯卧逯岛瘮?shù)。 一般說來，單元類型和形狀的選擇依賴于結構或總體求解域的幾何特點、方程的類型及求解所希望的精度等因素，而有限元的插值函數(shù)則取決于單元的形狀，結點的類型和數(shù)目等因素。圖6.1 二維域的有限元離散（a） 三角形單元 （b

2、）四邊形單例如在圖6.1上，一個二維域利用一系列三角形或四邊形單元進行離散，即將總體求解域理想化為由很多子域（單元）所組成。 在一般情況下，總體域也可能是一維或三維的，在圖6.2上分別給出只具有端結點或角結點的一維、二維和三維單元的幾種可能形式。一維單元可以簡單地是一直線，二維單元可以是三角形、矩形或四邊形，三維單元可以是四面體、五面體、長方體或一般六面體。具有軸對稱幾何形狀和軸對稱物理性質的三維域能用二維單元繞對稱軸旋轉形成的三維單元進行離散。 從結點參數(shù)的類型上區(qū)別、它們可以是只包含場函數(shù)的結點只，也可能同時包含場函數(shù)導數(shù)的結點值。這主要取決于單元交界面上的連續(xù)性要求,而后者又由泛函中場函

3、數(shù)導數(shù)的最高階次所決定。如果泛函中場函數(shù)導數(shù)的最高階為一次，則單元交界面上只要求函數(shù)值保持連續(xù)，即要求單元保持連續(xù)性。在次情況下，通常結點參數(shù)只包含場函數(shù)的結點值。如果泛函中場函數(shù)導數(shù)最高階為2次，則要求場函數(shù)的一階導數(shù)在交界面上也保持連續(xù)，即要求單元保持 連續(xù)性，這時結點參數(shù)中必須同時包含場函數(shù)即其一階導數(shù)的結點值。 關于單元插值函數(shù)的形式，有限單元法中幾乎全部采用不同階次冪函數(shù)的多項式。如果采用冪函數(shù)多項式作為單元的插值函數(shù)，對于只滿足 連續(xù)性的單元（稱 型單元），單元內的未知場函數(shù)的線性變化能夠僅用角（或端）結點之間的邊界上適當配置一個邊內結點（如圖6.3所示）它的三次變化，則必須在每個

4、邊界上配置二個邊內結點（如圖6.4所示）。配置邊內結點的另一原因是常常要求單元的邊界是曲線的，沿邊界配置適當?shù)倪厓冉Y點從而可能構成二次或更高次多項式來描述它們。有時為使插值函數(shù)保持為一定階次的完全多項式可能還需要在單元內部配置結點。6.2 一維單元 一維單元可以分為兩類。一類是單元的結點參數(shù)中包含場函數(shù) 的結點值。另一類單元的結點參數(shù)中，除場函數(shù)的結點值外，還包含場函數(shù)導數(shù) 的結點值。這二類單元就是以下將討論的Lagrange單元和Hermite單元。現(xiàn)對它們的一般形式進行討論。6.2.1 Lagrange單元 對于具有n個結點的一維單元，如果它的結點參數(shù)中含有場函數(shù)的結點值，則單元內的場函數(shù)

5、可插值表示為(6.2.1)其中插值函數(shù) 具有下列性質(6.2.2)式內 是Kronecker dalta。 上述第一個性質是插值函數(shù)自身性質所要求。因為在(6.2.1)式的右端用結點j的坐標 代入，左端函數(shù) 應取結點j的函數(shù)值 ，因此必須具有 的性質。上述第二個性質是插值函數(shù)完備性要求決定的。因為(6.2.1)式右端各個結點值 取相同的常數(shù)C，則左端的場函數(shù)也應等C，所以插值函數(shù)必須具有 的性質。當然單是這性質還不是完備性要 求的全部。因為完備性還要求 型單元場函數(shù)的一階導數(shù)應包含常數(shù)項。這些將在下一章中討論。 關于插值函數(shù) 的構造，為避免繁瑣的推導，不必按前面所述步驟進行，而是直接采用熟知的

6、Lagrange插值多項式。對于n個結點的一維單元， 可采用n-1次Lagrange插值多項式 ，即令(6.2.3)其中 的上標n-1表示Lagrange插值多項式的次數(shù) 表示二項式在j的范圍內(j=1,2,i-1,i+1,n)的乘積，n是單元的結點數(shù)， 是n個結點的坐標。如果n=2，函數(shù) 的插值表示如下(6.2.4)如果引入無量鋼坐標(6.2.5)其中l(wèi)代表單元長度，則(6.2.3)式可表示為(6.2.6)(6.2.7)(6.2.8)如果無量鋼坐標采用另一種形式(6.2.9)其中 是單元中心的坐標，則對于n=2，有 (6.2.10)(6.2.11)上述兩種無量鋼表示，即(6.2.5)和(6.

7、2.9)式，都是今后常用的，在這里可稱為長度坐標，更一般化的可稱為自然坐標。在上述兩種表示中，分別有 為今后構造其它形式的Lagrange單元方便，在此可將(6.2.6)式改寫成(6.2.12)也是j點坐標 表示方程形式 的左端項。顯然可見： 的展開式中包含了除 而外的所有 的因子，從而保證了 這一要求的滿足。 是點i的坐標代入 后得到的數(shù)值，這一因子引入 的分母，是為了保證滿足 這一要求。理解 的意義，對今后構造其他形式Lagrange單元的插值函數(shù)是有幫助的。 還應指出： 的n-1次完全多項式。它的項數(shù)和結點數(shù)相同且包含常數(shù)項，這樣構成的場函數(shù)模式是滿足收斂準則的。特別地，如令 ，則可從(

8、6.2.1)式得到 這是一很重要的性質，由于上式的成立，通過坐標變換將直線單元轉換為曲線單元，單元的場函數(shù)仍滿足收斂準則。6.2.2 Hermite單元 如果希望在單元間的公共結點上還保持場函數(shù)導數(shù)的連續(xù)性，則結點參數(shù)中還應包含場函數(shù)導數(shù)的結點值。這時可以方便地采用Hermite多項式作為單元的插值函數(shù)。對于只有兩個端結點的一位單元，函數(shù) 采用Hermite多項式的插值表達式可寫成 (6.2.13)或：(6.2.14)其中Hermite多項式具有以下性質(6.2.15)是以下形式的三次多項式(6.2.16)以上在端部結點最高保持場函數(shù)的一階導數(shù)連續(xù)性的Hermite多項式成為一階Hermite

9、多項式。在兩個結點的情況下，它是自變量 的三次多項式。0階Hermite多項式即Lagrange多項式。推而廣之，在結點上保持至函數(shù)的n階導數(shù)連續(xù)性的Hermite多項式成為n階Hermite多項式。在兩個結點的情況下，它是 的2n+1次多項式。函數(shù)的二階Hermite多項式插值表示是(6.2.18)(6.2.17)或其中：6.3 二維單元6.3.1 三角形單元 在前面章節(jié)我們已討論了3結點的三角形單元。因為它對于復雜的幾何形狀有良好的適應性，獲得了廣泛的應用。 如同一維單元的情況，我們可以利用笛卡爾坐標，也可以利用無量鋼的自然坐標以構造三角形單元的插值函數(shù)。利用笛卡爾坐標構造三角形單元的插值

10、函數(shù)在第2章我們已討論過，為確定插值函數(shù)中各個系數(shù)涉及矩陣求逆的運算。對于高次單元，此運算比較麻煩，因此普遍應用自然(面積)坐標來直接構造一般三角形單元的插值函數(shù)，這時運算比較簡單。從前面的討論中已知，對于3結點三角形單元，引入面積坐標(6.3.1)則單元插值函數(shù)可以表示為(6.3.2) 如將由(6.2.12)式引入的對Lagrange插值函數(shù)各個因子的幾何解釋推廣于現(xiàn)在的情況，則可以比較方便地利用面積坐標構造二次以及更高次的三角形的單元。1. 二次單元圖6.4 自然坐標三角形單元(2次變化) 如圖6.4所示，二次單元有六個結點，各結點的面積坐標分別標注在括號內。參照6.2.12式，現(xiàn)將需要構

11、造的插值函數(shù)表示成 (6.3.3)但其中 賦予了和三角形單元相對應的幾何意義。 是通過除結點i以外所有結點的二根直線的方程 的左端項。例如當i=1時， 分別是通過結點4,6的直線方程 和通過結點2, 5, 3的直線方程 的左端項。是結點i的面積坐標。所以得到(6.3.4)通過類似的分析步驟，可以得到(6.3.5) 為敘述方便，今后我們可以形象地將這種利用類似(6.3.3)式所表示的構造單元插值函數(shù)的方法稱為劃線法。2. 三次單元 為保證二維域三次多項式的完備性，三次單元，應有10個結點，如圖6.5所示，可根據(jù)和二次單元相同的步驟，按劃線法構造它的插值函數(shù)。圖6.5 自然坐標三角形單元(三次變化

12、)對于角結點(6.3.6)對于邊內結點對于中心結點 如有需要，可以構造更高次的三角形單元，其步驟是： (1) 按二維域內各次完全多項式的要求確定結點的數(shù)目(n)和位置。此要求可表示如Pascal三角形。例如按比例要求，四次三角形結點數(shù)應為15. (2) 按廣義的Lagrange插值公式構造插值函數(shù)，即(6.3.7)其中p為插值函數(shù)的次數(shù)。顯然，按上式構造的插值函數(shù)滿足 這一基本要求。 另外，由于 的上述性質，以及結點的數(shù)目和配置符合Pascal三角形的要求，可以證明這種單元場函數(shù)是滿足收斂準則的，當然 這一要求也是恒被滿足的。 還可指出，當引入面積坐標后，單元矩陣經常可以表示成下列形式的積分

13、而此積分可以方便地進行計算，這是三角形面積坐標單元的又一優(yōu)點。 (6.3.8)6.3.2 Larange矩形單元和Hermite矩形單元 如果所研究問題的總體域是矩形的，采用矩形單元將比三角形單元更為有效。為了構造矩形單元的插值函數(shù)，開始總可以利用笛卡爾坐標的多項式式中所包含的項數(shù)應等于單元的結點數(shù)。但為了進一步確定上式中的系數(shù) ，將涉及矩陣求逆的計算，而且在某些情況下逆矩陣并不存在，因此更經常的是利用自然坐標建立插值函數(shù)。方法是將一維的Larange單元和Hermite單元加以推廣，用來構造二維的Larange矩形單元和Hermite矩形單元。1. Larange矩形單元 構造任意的Lara

14、nge矩形單元插值函數(shù)的一個簡便而系統(tǒng)的方法是利用二個坐標方向適當方次Lagrange多項式的乘積。圖6.6 Lagrange矩形單元的一個典型插值函數(shù)現(xiàn)考慮圖6.6所示單元，其中一系列結點布置在的插值函數(shù) ，我們已知lagrange多項式在第I列結點上等于1，而在其它列結點上等于0。同理 在第J行結點上等于1，而在其它行結點上等于0。從以上分析可見，所需要構造的插值函數(shù)應是 (6.3.9) 在結點i上等于1，而在其余所有結點上等于0。這種單元每一邊界上的結點數(shù)和函數(shù)在邊界上的變化是協(xié)調的。因而也保證了單元之間函數(shù)的協(xié)調性。 圖6.7所示為三種形式的Lagrange矩形單元。雖然構造它們的插值函數(shù)是很任意的，但是這種類型的單元存在一定缺點，主要是出現(xiàn)了隨插值函數(shù)方次增高而增加內結點，從而增加了單元的自由度數(shù)，而這些自由度的增加通常并不能提高單元的精度。圖6.7 Lagrange矩形單元(a) 線性的 (b) 二次的 (c) 三次的2. Hermite矩形單元 一維的Hermi