冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)

1、 冪函數(shù)練習(xí)例、函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)是增函數(shù)， 求f(x)的解析式分析解答本題可嚴(yán)格根據(jù)冪函數(shù)的定義形式列方程求出m，再由單調(diào)性確定m.解 根據(jù)冪函數(shù)定義得 m2m11，解得m2或m1， 當(dāng)m2時(shí)，f(x)x3在(0，)上是增函數(shù)； 當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，不符合要求故f(x)x3.點(diǎn)評冪函數(shù)yx (R)，其中為常數(shù)， 其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)為常數(shù)(也可以為0) 這是判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn) 對本例來說，還要根據(jù)單調(diào)性驗(yàn)根，以免增根例3、如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A

2、-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1解析在(0,1)內(nèi)取同一值x0，作直線xx0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大” 如圖，0m1，nxeq f(1,3)，求x的取值范圍錯(cuò)解由于x20，xeq f(1,3)R，則由x2xeq f(1,3)，可得xR.錯(cuò)因分析上述錯(cuò)解原因是沒有掌握冪函數(shù)的圖象特征， 尤其是yx在1和01兩種情況下圖象的分布正解作出函數(shù)y=x2和y=的圖象(如右圖所示)，易得x1.分析：底數(shù)分別不同而指數(shù)相同，可以看作是和。兩個(gè)冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)去理解。解：(1)(0,+)是遞增的又1.11.4 利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較數(shù)的大小。例3比較的大小。分析：三個(gè)量比較大小，

3、先考慮取值的符號。啟示：當(dāng)直接比較大小難以進(jìn)行時(shí)，可以考慮借助一些中間量特殊值，如0，1或其他數(shù)來解決。例6、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。海?），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增， 1.51.7，（2）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，同理0.71.50.61.5（3）先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)，又，將下列各組數(shù)用小于號從小到大排列：（1） （2） （3）解：（1） （2）（3）【例1】(1)已知,當(dāng)時(shí),有,則的大小關(guān)系是 A. B. C. D.【捕捉題情】(1)在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)遞增的指數(shù)函圖象； (2)由添畫一條直線

4、,出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)； (3)由確認(rèn)與的位置,并確認(rèn)與的圖象,判斷的大小. xyy=2Ox2x1f(x)g(x)(1)解:在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)遞增的指數(shù)函圖象,畫上直線,由與知在右邊的圖象為的圖象,于是由的圖象在軸右邊的增加速度較快,得,選C. (2)函數(shù)的圖象如圖,其中為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.(2)解:的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位得到,可知,的圖象與軸的交點(diǎn)在的下方,有,即,當(dāng)時(shí),函數(shù)遞減,于是,選A.例1已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值， 并確定的解析式分析：函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且， ，只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數(shù)，應(yīng)為偶數(shù)又

5、，即，整理，得，又，或1當(dāng)m=0時(shí)，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時(shí)，要充分挖掘已知條件中的每一個(gè)信息， 做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)例2已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)， 問是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)， 且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷， 但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件，設(shè)，則 若，易知，要使在上是減函數(shù)， 則應(yīng)有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數(shù)， 則應(yīng)有恒成立，而

6、，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)評注：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷， 但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時(shí)要注意有針對性的訓(xùn)練分類討論的思想例1已知函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸都無公共點(diǎn)，且其圖象關(guān)于y軸對稱，求n的值，并畫出函數(shù)的圖象解：因?yàn)閳D象與y軸無公共點(diǎn)，故， 又圖象關(guān)于y軸對稱，則為偶數(shù)， 由，得，又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，不是偶數(shù)； 當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)； 當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)； 當(dāng)時(shí)，不是偶數(shù)； 當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)； 所以n為，1或3此時(shí)，冪函數(shù)的解析為或，其圖象如圖所示例3

7、已知冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，求的值分析：冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，則指數(shù)小于或等于零；圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)合，便可逐步確定的值解：冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，；，又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是奇數(shù)，或數(shù)形結(jié)合的思想例2已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上問當(dāng)x為何值時(shí)有：（）；（）；（）分析：由冪函數(shù)的定義，先求出與的解析式，再利用圖象判斷即可解：設(shè)，則由題意，得，即再令，則由題意，得，即在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖2所示由圖象可知：（1）當(dāng)或時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)且時(shí)，小結(jié)：數(shù)形結(jié)合在討論不等式時(shí)有著重要的應(yīng)用，注意本題中的隱含條

8、件轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想例3函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）解析：要使函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為對一切實(shí)數(shù)都成立，即且解得故選（）例：已知冪函數(shù)f(x)xm22m3(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)(32a)的a的范圍類型一：求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值，并確定的解析式分析：函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且，只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數(shù)，應(yīng)為偶數(shù)又，即，整理，得，又，或1當(dāng)m=0時(shí)，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時(shí)，要充分挖掘已知條件中的每一個(gè)信息，做到

9、不重不漏，才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)類型二：求解存在性問題已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件，設(shè)，則若，易知，要使在上是減函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)評注：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用判斷函數(shù)的

10、單調(diào)性時(shí)，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時(shí)要注意有針對性的訓(xùn)練類型三：類比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況例3討論函數(shù)在時(shí)隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況分析：首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論解：（1）當(dāng)，即或時(shí)，為常函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)函數(shù)為常函數(shù)；（3）即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減??；（4）當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；（5）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；（6）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小評注：含參數(shù)系數(shù)問題，可以說是解題中的一個(gè)致

11、命殺手，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)重要因素這應(yīng)引起我們的高度警覺冪函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)，表面上看內(nèi)容少而且容易，實(shí)質(zhì)上則不然它蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)思維能力的良好載體下面通過一題多變的方法探究冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例1若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍錯(cuò)解（數(shù)形結(jié)合）：由圖可知 解得，且剖析：函數(shù)雖然在區(qū)間和上分別具有單調(diào)性，但在區(qū)間上不具有單調(diào)性，因而運(yùn)用單調(diào)性解答是錯(cuò)誤的正解（分類討論）：（1）解得；（2）此時(shí)無解；（3）， 解得綜上可得現(xiàn)在把例1中的指數(shù)換成3看看結(jié)果如何例2若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍錯(cuò)解（分類討論）：由圖2知，（1）1， 解得；（2）此時(shí)無解；（3）， 解得綜上可得剖

12、析：很明顯，此解法機(jī)械地模仿例的正確解法，而忽視了函數(shù)間定義域的不同由此，使我們感受到了冪函數(shù)的定義域在解題中的重要作用正解（利用單調(diào)性）：由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得例2正確解法深化了對冪函數(shù)單調(diào)性的理解，激活了同學(xué)們的思維下面再對和兩個(gè)問題與解法進(jìn)行探究例3若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由圖3，解得例4若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：作出冪函數(shù)的圖象如圖4由圖象知此函數(shù)在上不具有單調(diào)性，若分類討論步驟較繁，把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是關(guān)鍵考慮時(shí)，于是有，即又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增， 解得，或m4上述解法意識(shí)到冪函數(shù)在第一象限的遞增性，于是巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題，從而避免了分類討論，使同學(xué)們的思維又一次得到深化與發(fā)展解題點(diǎn)悟：通過以上探究，我們對冪函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性及圖象又有了較深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對于形如（是常數(shù)）型的不等式的解法有了以下體