高中數(shù)學(xué)必須第二冊(cè)（蘇教版）課后習(xí)題第九章平面向量：9.3.1　平面向量基本定理

1、高中數(shù)學(xué)同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享高中數(shù)學(xué)同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.如圖所示,在矩形ABCD中,BC=5e1,DC=3e2,則OC等于()A.12(5e1+3e2)B.12(5e1-3e2)C.12(3e2-5e1)D.12(5e2-3e1)答案A解析OC=12AC=12(BC-BA)=12(BC+DC)=12(5e1+3e2).

2、2.如果e1,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么下列說法正確的是()A.若存在實(shí)數(shù)1,2使1e1+2e2=0,則1=2=0B.對(duì)空間任意向量a都可以表示為a=1e1+2e2,其中1,2RC.1e1+2e2(1,2R)不一定在平面內(nèi)D.對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,使a=1e1+2e2的實(shí)數(shù)1,2有無(wú)數(shù)對(duì)答案A解析B錯(cuò),這樣的a只能與e1,e2在同一平面內(nèi),不能是空間任意向量;C錯(cuò),在平面內(nèi)任意向量都可表示為1e1+2e2的形式,故1e1+2e2一定在平面內(nèi);D錯(cuò),這樣的1,2是唯一的,而不是無(wú)數(shù)對(duì).3.在ABC中,AD=14AB,DEBC,且與邊AC相交于點(diǎn)E,ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N,設(shè)A

3、B=a,AC=b,則用a,b表示DN等于()A.14(a-b)B.14(b-a)C.18(a-b)D.18(b-a)答案D解析由題意得DN=12DE=12(AE-AD)=18(AC-AB)=18(b-a).4.已知e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線.a=e1+2e2,b=2e1+e2,由akb(kR),得12k,2k,解得4.5.已知向量a在基底e1,e2下可以表示為a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可以表

4、示為a=(e1+e2)+(e1-e2),則實(shí)數(shù)=,=.答案52-12解析由條件可知+=2,-=3,解得=52,=-12.6.已知在ABC中,D為BC的中點(diǎn),E,F為BC的三等分點(diǎn).若AB=a,AC=b,用a,b表示AD,AE,AF.解 AD=AB+BD=AB+12BC=a+12(b-a)=12a+12b;AE=AB+BE=AB+13BC=a+13(b-a)=23a+13b;AF=AB+BF=AB+23BC=a+23(b-a)=13a+23b.7.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一組基底;(2)以a,b為基底表示向量c=3e1-e2.

5、(1)證明假設(shè)a=b(R),則e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共線,得=1,3=-2,方程無(wú)解,所以不存在.故a與b不共線,可以作為一組基底.(2)解設(shè)c=ma+nb(m,nR),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1.所以c=2a+b.關(guān)鍵能力提升練8.如圖,在ABC中,AD=13AC,BP=23BD,若AP=AB+AC(,R),則等于()A.32B.23C.3D.13答案A解析由題意可得,BD=AD-AB=13AC-AB,AP=AB+BP=AB+23BD=AB+231

6、3AC-AB=13AB+29AC.又AP=AB+AC,所以=13,=29,故=32.9.若OP1=a,OP2=b,P1P=PP2(-1),則OP等于()A.a+bB.a+(1-)bC.a+bD.11+a+1+b答案D解析P1P=PP2,OP-OP1=(OP2-OP),(1+)OP=OP1+OP2,OP=11+OP1+1+OP2=11+a+1+b.10.如圖,AB是O的直徑,C,D是半圓弧AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AB=a,AC=b,則AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D解析連接CD,OD,圖略,C,D是半圓弧AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AC=BD,CDAB,CAD=DA

7、B=30.OA=OD,ADO=DAO=30,CAD=ADO=30,ACDO,四邊形ACDO為平行四邊形.AD=AO+AC.AO=12AB=12a,AC=b,AD=12a+b.11.如圖,平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分,(不包含邊界).設(shè)OP=mOP1+nOP2,且點(diǎn)P落在第部分,則實(shí)數(shù)m,n滿足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;OB與OP2方向相反,則n0.12.(多選)若e1,e2是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-12e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1

8、+e2,e1+3e2答案ABC解析選項(xiàng)A中,兩個(gè)向量互為相反向量,即e1-e2=-(e2-e1),則e1-e2,e2-e1為共線向量;選項(xiàng)B中,2e1-e2=2e1-12e2,也為共線向量;選項(xiàng)C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),為共線向量;根據(jù)不共線的向量可以作為基底,知只有選項(xiàng)D中的兩向量可作為基底.13.(多選)(2021廣東汕頭二模)已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為1,BAD=60,E是BC中點(diǎn),F是DE中點(diǎn),M是AB中點(diǎn),延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)N(如圖所示),設(shè)AB=a,AD=b,則下列結(jié)論正確的是()A.AF=12a+34bB.MEAFC.AFDB=-18D.AF=2FN答案AC解析由

9、F是DE中點(diǎn)可得,AF=b+12DE=b+12-b+a+12b=12a+34b,故A正確;因?yàn)镋是BC中點(diǎn),M是AB中點(diǎn),所以MEAC,又AC與AF相交于點(diǎn)A,所以MEAF錯(cuò)誤,故B錯(cuò)誤;因?yàn)镈B=AB-AD=a-b,AF=12a+34b,所以AFDB=12a+34b(a-b)=-14+14ab=-14+18=-18,故C正確;若AF=2FN,則AF=23AN,由A知AF=12a+34b,AN=a+b(R),則12a+34b=23(a+b),即12a+34b=23a+23b,顯然不成立,故D錯(cuò)誤.故選AC.14.已知在平行四邊形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),AP=yAD,AQ=xAB,其中x,y

10、R,且均不為0.若PQBE,則xy=.答案12解析PQ=AQ-AP=xAB-yAD,由PQBE,可設(shè)PQ=BE,R,即xAB-yAD=(CE-CB)=-12AB+AD=-2AB+AD,所以x=-12,y=-,則xy=12.15.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA,OB,OC,其中OA與OB的夾角為120,OA與OC的夾角為30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=OA+OB(,R),則+=.答案6解析如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對(duì)角線作OMCN,使得M在直線OA上,N在直線OB上,則存在,使OM=OA,ON=OB,即OC=OM+ON=OA+OB.在RtOCM中,|OC|=23

11、,COM=30,OCM=90,|OM|=4,OM=4OA.又|ON|=|MC|=2,ON=2OB,OC=4OA+2OB,即=4,=2,+=6.16.如圖,在ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;(2)求證:B,E,F三點(diǎn)共線.(1)解如圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使AG=2AD,連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC,則AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2

12、a).(2)證明由(1)知,BE=23BF,BE,BF共線.又BE,BF有公共點(diǎn)B,B,E,F三點(diǎn)共線.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.如圖所示,在ABCD中,AB=a,AD=b,BM=23BC,AN=14AB,AM交DN于點(diǎn)O.(1)試用向量a,b來(lái)表示DN,AM;(2)求AOOM的值.解(1)因?yàn)锳N=14AB,所以AN=14AB=14a,所以DN=AN-AD=14a-b.因?yàn)锽M=23BC,所以BM=23BC=23AD=23b,所以AM=AB+BM=a+23b.(2)因?yàn)锳,O,M三點(diǎn)共線,所以AOAM,設(shè)AO=AM,R,則DO=AO-AD=AM-AD=a+23b-b=a+23-1b.因?yàn)镈,O,N三點(diǎn)共線,所以DODN,設(shè)DO=DN,R.則a+23-1b=14a-b=14 a- b.由于向量a,b不共線,則=14,23-1=-,解得=314,=67.所以AO=314AM,所以AOOM=311.18.(2020江西上饒中學(xué)高一檢測(cè))在ABC中,AM=34AB+14AC.(1)求ABM與ABC的面積之比;(2)若N為AB的中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)P,且AP=xAB+yAC(x,yR),求x+y的值.解(1)在ABC中,AM=34AB+14AC,4AM=3AB+AC,3(AM-AB)=AC-AM,即3BM=MC,即點(diǎn)M是線段BC靠近點(diǎn)B的