高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第2課時(shí)　直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用

1、第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線y=x+1與橢圓x25+y24=1的位置關(guān)系是() A.相交B.相切C.相離D.無法判斷2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直線y=kx-k+1與橢圓x29+y24=1的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定3.若直線y=kx+2與橢圓x23+y22=1有且只有一個(gè)交點(diǎn),則斜率k的值是()A.63B.-63C.63D.334.已知直線y=kx+1和橢圓x2+2y2=1有公共點(diǎn),則k的取值范圍是()A.k22B.-22kb0)的離心率e為32,短軸長為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過P(2,1)

2、作弦且弦被P平分,求此弦所在的直線方程及弦長.題組三直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用11.設(shè)橢圓C:x29+y24=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓與C在第一象限的交點(diǎn)為P,則直線PF1的斜率為()A.13B.12C.33D.3212.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OPFP的最大值為.13.已知P(m,n)(m0,n0)為橢圓x28+y22=1上一點(diǎn),Q,R,S分別為P關(guān)于y軸,原點(diǎn),x軸的對稱點(diǎn).(1)求四邊形PQRS面積的最大值;(2)當(dāng)四邊形PQRS面積最大時(shí),在線段PQ上任取一點(diǎn)M(不與端點(diǎn)重合),若過M的直線與橢圓相

3、交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)恰為M,求直線AB斜率k的取值范圍.能力提升練題組一直線與橢圓的相交弦問題1.()已知橢圓x2+y24=1 和點(diǎn)A12,12,B12,1,若橢圓的某弦的中點(diǎn)在線段AB上,且此弦所在直線的斜率為k,則k的取值范圍為() A.-4,-2B.-2,-1C.-4,-1D.-1,-122.(多選)()已知直線l:y=2x+3被橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦長為7,則下列直線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+33.(2020吉林長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,52)的橢

4、圓截直線3x-y-2=0所得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12,則該橢圓的方程為.4.(2020山東師大附中高二上第五次學(xué)分認(rèn)定,)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的短軸長為4,離心率為32.(1)當(dāng)直線y=x+m與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)設(shè)點(diǎn)M(2,1)是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn),求直線l的方程.5.(2020遼寧大連高二上期中,)如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的射影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=45|PD|.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線被C所截線段的長度.題組二直線與橢圓位置關(guān)系的綜

5、合運(yùn)用6.(2019黑龍江牡丹江一中高二上期中,)若直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為() A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,若SABC=3SBCF2,則橢圓的離心率為() A.55B.33C.105D.33108.(多選)()已知橢圓C:x24+y22=1的左,右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=kx(k0)與C交于A,B兩點(diǎn),AEx軸,垂足為E

6、,直線BE與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論正確的是()A.四邊形AF1BF2為平行四邊形B.F1PF2909.(2020海南?？诤Ｄ现袑W(xué)高二上期中,)已知點(diǎn)P是橢圓x225+y29=1上任意一點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)P到直線4x-5y+40=0的距離達(dá)到最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.10.(2020山東煙臺高二上期末,)過橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)F1作斜率為12的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),若|OF1|=|OA|,則橢圓C的離心率為.11.(2020遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,且過點(diǎn)1,22和22,32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

7、方程;(2)如圖,點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動點(diǎn),AF2的延長線與橢圓交于點(diǎn)B,AO的延長線與橢圓交于點(diǎn)C,求ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時(shí)直線BC的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的焦點(diǎn)是F1,F2,且|F1F2|=2,離心率為22.(1)求橢圓的方程;(2)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點(diǎn). (i)求|AF2|BF2|的最小值;(ii)點(diǎn)Q是直線l上異于F2的一點(diǎn),且滿足|QA|QB|=|F2A|F2B|,求證:點(diǎn)Q在一條定直線上.13.()已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a

8、b0)的離心率e=22,過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為30的直線m與圓x2+y2=b2相交所得弦長為3.(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在過點(diǎn)P(0,3)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且|PA|=2|AB|?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A解法一:直線y=x+1過點(diǎn)(0,1),將(0,1)代入x25+y24=1得,0+140,所以直線與橢圓相交.2.A直線y=kx-k+1=k(x-1)+1恒過定點(diǎn)(1,1),因?yàn)?9+140),則b=t=2,因此a=4,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y24=1.(2)設(shè)以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A(x1,y1)

9、,B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓的方程得x1216+y124=1,x2216+y224=1,兩式相減可得,(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,弦所在直線的斜率k=y2-y1x2-x1=-12,以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為x+2y-4=0,聯(lián)立橢圓的方程得x2-4x=0,解得x=0或x=4,因此弦長|AB|=1+k2|x1-x2|=25.11.B依題意得,a2=9,b2=4,c2=5,因此以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=5.由x2+y2=5,x29+y24

10、=1,得x2=95,y2=165,又點(diǎn)P在第一象限,P355,455,又F1(-5,0),斜率kPF1=455-0355+5=12,故選B.12.答案6解析由x24+y23=1,可得F(-1,0).設(shè)P(x,y),-2x2,則OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以O(shè)PFP=x2+x+y2=x2+x+31-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),OPFP取得最大值,最大值為6.13.解析(1)由P在橢圓上得m28+n22=1,m0,n0,利用基本不等式得1=m28+n222m8n2=mn2,當(dāng)且僅當(dāng)m28=n22=12,即m=2,n=1時(shí),等號成立,易知S四邊形P

11、QRS=2m2n=4mn8,當(dāng)m=2,n=1時(shí)取等號,故當(dāng)m=2,n=1時(shí),四邊形PQRS的面積取最大值,最大值為8.(2)由(1)得P(2,1),則Q(-2,1),設(shè)M的坐標(biāo)為(t,1),其中-2tb0),則a2=b2+c2=b2+50.設(shè)直線3x-y-2=0與橢圓相交的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.又x1+x2=212=1,y1+y2=2-12=-1,y1-y2x1-x2=3,b23(-1)+a21=0,即a2=3b2.聯(lián)立得,a2=

12、75,b2=25.故該橢圓的方程為y275+x225=1.4.解析(1)因?yàn)殡x心率e=ca=32,所以c2=34a2,又因?yàn)闄E圓的短半軸長b=2,a2-b2=c2,所以a2=16,b2=4,即橢圓方程為x216+y24=1, 因此, x216+y24=1,y=x+m5x2+8mx+4m2-16=0,因?yàn)橹本€y=x+m與橢圓有公共點(diǎn),所以=64m2-45(4m2-16)0,即m220,解得-25m25.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).解法一:當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-1=k(x-2),聯(lián)立方程y-1=k(x-2),x216+y24=1(4k2+1)x2

13、+8k(1-2k)x+16k2-16k-12=0,所以x1+x22=4k(2k-1)4k2+1=2,解得k=-12,所以直線l的方程為x+2y-4=0.解法二:x216+y24=1x2+4y2=16,x12+4y12=16,x22+4y22=16(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0y1-y2x1-x2=x1+x2-4(y1+y2)=-12,所以斜率k=-12,所以直線l的方程為x+2y-4=0.5.解析(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xp,yp),由已知得xp=x,yp=54y,因?yàn)镻在圓上,所以x2+54y2=25,即點(diǎn)M的軌跡C的方程為x225+y21

14、6=1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線方程為y=45(x-3), 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,整理得x2-3x-8=0,所以x1+x2=3,x1x2=-8,所以|AB|=1+452(x1+x2)2-4x1x2=415.6.B因?yàn)橹本€mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點(diǎn),所以4m2+n22,所以m2+n24,而m29+n24m24+n241,因此點(diǎn)(m,n)在橢圓內(nèi)部,從而過點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1必有兩個(gè)交點(diǎn),故選B.7.A設(shè)F1的坐標(biāo)為(-c,0),F2的坐標(biāo)為

15、(c,0),故過F1且與x軸垂直的直線方程為x=-c,代入橢圓方程可得y=b2a.可設(shè)A-c,b2a,C(x,y),由題意可得ABF2的面積是BCF2的面積的2倍,故AF2=2F2C,即有2c,-b2a=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-b2a=2y,則x=2c,y=-b22a,代入橢圓方程可得4c2a2+b24a2=1,即4c2a2+a2-c24a2=1,4e2+14-14e2=1,解得e=55(負(fù)值舍去).故選A.8.ABC由橢圓的對稱性知,四邊形AF1BF2是平行四邊形,故A正確;a2=4,b2=2,c2=2,F1AF290,又F1PF2F1AF20,則A21+2k2,2k1+2k

16、2,B-21+2k2,-2k1+2k2,E21+2k2,0,kBE=2k1+2k221+2k2+21+2k2=12k,故C正確;取k=2,則A23,43,B-23,-43,E23,0,直線BE的方程為y=x-23,與橢圓方程聯(lián)立得,P149,89,PA=-89,49,PB=-209,-209,PAPB=1609-8090,PAB90錯誤.故選ABC.9.答案-4,95解析設(shè)平行于4x-5y+40=0,且與橢圓相切的直線方程為4x-5y+c=0(c40).由9x2+25y2=225,4x-5y+c=0,得25x2+8cx+c2-225=0,令=(8c)2-425(c2-225)=0得,c2=62

17、5,解得c=25.結(jié)合圖形(圖略)取c=25,此時(shí),x2+8x+16=0 x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,P-4,95.10.答案53解析如圖所示,設(shè)右焦點(diǎn)為F2,則|OF1|=|OA|=|OF2|,AF1AF2,又tanAF1F2=12,|AF1|=455c,|AF2|=255c.因此,2a=|AF1|+|AF2|=655ce=ca=53.11.解析(1)將兩點(diǎn)代入橢圓方程,得1a2+12b2=1,12a2+34b2=1,解得a2=2,b2=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由A在x軸上方,可知直線AF2的斜率不為0,所以設(shè)

18、直線AF2的方程為x=ty+1,聯(lián)立x22+y2=1,x=ty+1(t2+2)y2+2ty-1=0,得y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,所以|AB|=1+t2|y1-y2|=22(1+t2)t2+2.設(shè)原點(diǎn)到直線AF2的距離為d,則d=11+t2,所以SABC=2SOAB=212|AB|d=22(1+t2)t2+2=221+t2+11+t22,當(dāng)且僅當(dāng)1+t2=11+t2,即t=0時(shí),等號成立,此時(shí)直線AB的方程為x=1,所以A1,22,B1,-22,C-1,-22,所以此時(shí)直線BC的方程為y=-22.12.解析(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)是F1,F2,且|F1F2|=2,所以半焦距

19、c=1.因?yàn)殡x心率為22,所以a=2,所以b=1.所以橢圓的方程是x22+y2=1.(2)(i)由(1)知F2(1,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)A1,22,B1,-22,所以|AF2|BF2|=12. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),直線l的方程可設(shè)為y=k(x-1).聯(lián)立方程x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2. 所以|AF2|=(x1-1)2+y12=1+k2|x1-1|,|BF2|=(x2-1)2+y22=1+k2|x2-1|. 所以|AF2|BF2|=(1+k2)|

20、x1x2-(x1+x2)+1|=(1+k2)2k2-21+2k2-4k21+2k2+1=1+k21+2k2 =121+11+2k2. 因?yàn)?1+2k2(0,1,所以|AF2|BF2|的取值范圍是12,1.因?yàn)楫?dāng)直線l的斜率不存在時(shí),|AF2|BF2|=12,所以|AF2|BF2|的最小值是12.(ii)證明:由題意得,直線l的斜率一定存在.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上,所以設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m,k(m-1). 因?yàn)閨QA|QB|=|F2A|F2B|,所以點(diǎn)Q一定在BA的延長線上,所以m-x1m-x2=x1-11-x2,即(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0.所以4k2(m+1)1+2k2-2(2k2-2)1+2k2-2m=0.化簡得m=2.所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(2