第3.4節(jié) 向量組的極大線性無關(guān)組(修改)

1、第3.4節(jié) 向量組的極大 線性無關(guān)組線性代數(shù)1主要內(nèi)容:一等價向量組二向量組的極大線性無關(guān)組三 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系2一、等價向量組定義1：如果向量組 中的每一個向量 都可以由向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時向量組B 也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價。即3（1）自反性：一個向量組與其自身等價；（2）對稱性：若向量組 與 等價，則 和 等價；（3）傳遞性： 與 等價, 與 等價，則 與 等價。向量組的等價關(guān)系具有以下三個性質(zhì)：4定理1： 設(shè)與 是兩個向量組，如果(2)則向量組 必線性相關(guān)。推論1： 如果向量組 可以由向量組線性表示，并且線性無

2、關(guān)，那么(1) 向量組線性表示；可以由向量組 推論2 推論3 等價的線性無關(guān)向量組所含向量的個數(shù)相等。任意m(mn)個n維向量必線性相關(guān).5二、向量組的極大線性無關(guān)組定義2:注:（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.簡稱極大無關(guān)組。對向量組A，如果在A中有r個向量滿足：線性無關(guān)。（1）那么稱部分組 為向量組 的一個極大線性無關(guān)組。（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（2）A中的任一向量都能由 線性 表示。6例1：在向量組 中， 首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個極大無關(guān)組。注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。7基本性質(zhì)：一個向量組的任

3、意兩個極大無關(guān)組等價，且所含向量的個數(shù)相同。定理2：任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。性質(zhì)1：向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的。性質(zhì)2：8例1：在向量組 中， 首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個極大無關(guān)組。（1）（2）9三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) 稱為這個向量組的秩, 記作例如： 向量組 的秩為2。1. 向量組的秩10注：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則11 定理3 等價的向量組有相同的秩。該逆命題不成立。但不等價。122. 矩陣的秩2

4、.1. 行秩、列秩、矩陣的秩 把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些 行向量組成， 把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義4： 矩陣的行向量組的秩，就稱為矩陣的行秩; 矩陣的列向量組的秩，就稱為矩陣的列秩。13例2：討論矩陣矩陣A的行向量組是的行秩和列秩（1）矩陣A的行秩為314是A的行向量組的一個極大無關(guān)組因?yàn)?，由即可知即線性無關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。（1）矩陣A的行秩為3可證 15矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無關(guān)，而所以向量組的一個極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是

5、3。（2）矩陣A的列秩是316問題：矩陣的行秩 矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。 （列） （列） 引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。 （列） （行） 17定理4：矩陣的行秩矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩rA的列秩定義5：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。18推論1： 矩陣A的初等行變換不改變矩陣A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合。推論2： 19n階方陣A，即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）

6、A的n個行（列）向量線性無關(guān)A的n個行（列）向量線性相關(guān)推論3： 201.求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形 矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。例3:求A的秩。2.2 矩陣的秩、向量組的秩、極大線性無關(guān)組的求法.21由階梯形矩陣有三個非零行可知222.求向量組的秩、極大線性無關(guān)組的步驟.（1）向量組作列向量構(gòu)成矩陣A。（2）初等行變換（行最簡形矩陣）r(A)=B的非零行的行數(shù)（3）求出B的列向量組的極大無關(guān)組（4）A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)部分的列向量組 即為A的極大無關(guān)組。（根據(jù)見引理2）23例4：向量組求向量組的秩和一個極大無關(guān)組。解：24又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個極大無關(guān)組所以，是的一個極大無關(guān)組?？紤]：是否還有其他的極大無關(guān)組？與25例5：求向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。解：設(shè)則B的1，2列為極大無