2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(53)拋物線

1、課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(五十三) 拋物線A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0)B(2,0)C(0,1)D(0,2)解析：A因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，則eq f(p,2)1，即p2，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)故選A2拋物線C：x28y的焦點(diǎn)為F，在C上有一點(diǎn)P，|PF|8，PF的中點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線l的距離為()A6B8C4D1解析：A如圖，過(guò)P作PDl于D，由拋物線的定義可知|PF|PD|8，|FA|4，故PF的中點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線l的距離為|MB|eq f(1,2)(|FA|PD|)6故選A3已知點(diǎn)P是拋物線C：y24x上的動(dòng)

2、點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，Q(3,3)，則|PQ|d的最小值為()A5Beq r(30)1 Ceq r(30)1D4解析：D拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)F(1,0)P到直線x1的距離等于|PF|，P到y(tǒng)軸的距離d|PF|1，d|PQ|PF|PQ|1當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|PQ|取得最小值|QF|Q(3，3)，F(xiàn)(1,0)，|QF|5，d|PQ|的最小值為514故選D4已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作PQl，垂足為Q，若|PF|4，則FQP()A30B45 C60D75解析：C設(shè)P(x0，y0)，則|PQ|y01，由拋物線的定義可得|PQ|PF|，即y014，則

3、y03，又xeq oal(2,0)4y0，則xeq oal(2,0)12，不妨令P位于第一象限，則x02eq r(3)，即P(2eq r(3)，3)，因此Q(2eq r(3)，1)，所以|QF|eq r(124)4，所以|PQ|PF|QF|，因此FQP為等邊三角形，所以FQP60故選C5已知拋物線C：y24x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)為A，交準(zhǔn)線于點(diǎn)B，若eq o(FA,sup7()2eq o(BF,sup7()，則BDF的面積為()Aeq r(5)B2eq r(5)C4eq r(2)D2eq r(2)解析：A直線l過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，過(guò)A作準(zhǔn)線的垂

4、線，垂足為E，如圖所示，易得BDFBEA，由拋物線的定義知：|FD|2因?yàn)閑q o(FA,sup7()2eq o(BF,sup7()，所以|AE|6，所以xA5，yA2eq r(5)，故A(5，2eq r(5)，所以|ED|2eq r(5)，|BD|eq r(5)，所以SBDFeq r(5)故選A6(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y26x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足若直線AF的斜率keq r(3)，則下列結(jié)論正確的是()A準(zhǔn)線方程為x3B焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)C點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco

5、1(f(9,2)，3r(3)DPF的長(zhǎng)為3解析：BC由拋物線方程為y26x，焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，準(zhǔn)線方程為xeq f(3,2)，A錯(cuò)，B對(duì)；直線AF的斜率為eq r(3)，直線AF的方程為yeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，當(dāng)xeq f(3,2)時(shí)，y3eq r(3)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3r(3)，PAl，A為垂足，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3eq r(3)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3r(3)，C對(duì)；根據(jù)拋物線的定義可知|PF|P

6、A|eq f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)6，D錯(cuò)，故選B、C7(多選)設(shè)拋物線C：xeq f(1,4)y2的焦點(diǎn)為F，則下列說(shuō)法正確的是()A點(diǎn)F在x軸上B點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,16)C設(shè)過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|8D設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為eq f(2,3)的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，則eq o(FM,sup7()eq o(FN,sup7()8解析：ACD由題可得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x，所以點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；過(guò)點(diǎn)F(1,

7、0)且斜率為1的直線方程為yx1，將yx1代入y24x，消去y可得x26x10，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x26，所以|PQ|x1x228，選項(xiàng)C正確；過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為eq f(2,3)的直線方程為yeq f(2,3)(x2)，將yeq f(2,3)(x2)代入y24x，消去y可得x25x40，解得x1或x4，不妨設(shè)M(1,2)，則N(4,4)，所以eq o(FM,sup7()eq o(FN,sup7()(0,2)(3,4)8，選項(xiàng)D正確故選A、C、D8拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的右焦點(diǎn)，則p_解析：由橢圓方程可得其

8、右焦點(diǎn)為(2,0)，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，eq f(p,2)2，解得p4答案：49(2022大連市高三模擬)拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線截圓x2y22y10所得弦長(zhǎng)為2，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析：拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線為xeq f(p,2)，把圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)22，得圓心M(0,1)，半徑req r(2)，圓心到準(zhǔn)線的距離為eq f(p,2)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2)2(eq r(2)2，解得p2，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)答案：(1,0)10已知過(guò)點(diǎn)Meq blc(rc)(

9、avs4alco1(f(p,2)，0)的直線l與拋物線y22px(p0)交于A，B兩點(diǎn)，且eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()3，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求p的值；(2)當(dāng)|AM|4|BM|最小時(shí)，求直線l的方程解：(1)設(shè)直線l的方程為xmyeq f(p,2)，由eq blcrc (avs4alco1(xmyf(p,2)，,y22px，)消去x得y22pmyp20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y2p2，因?yàn)閑q o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()3，所以x1x2y1y23，又x1x2eq f(yoal(2,1),2p)eq

10、f(yoal(2,2),2p)eq f(p2,4)，所以eq f(p2,4)p23，又因?yàn)閜0，所以p2(2)由(1)及拋物線定義，得|AM|x1eq f(p,2)x11，|BM|x2eq f(p,2)x21，所以|AM|4|BM|x14x252eq r(4x1x2)59，當(dāng)且僅當(dāng)x14x2時(shí)等號(hào)成立將x14x2代入x1x2eq f(p2,4)1，得x2eq f(1,2)(負(fù)值舍去)將x2eq f(1,2)代入y24x，得y2eq r(2)，即點(diǎn)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)，將點(diǎn)B代入xmy1，得meq f(r(2),4)，所以直線l的方程為xeq f(r

11、(2),4)y1，即4xeq r(2)y40B級(jí)綜合應(yīng)用11(多選)已知拋物線E：x24y的焦點(diǎn)為F，圓C：x2(y1)216與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧eq xto(AB)上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線l交拋物線E于點(diǎn)N，則以下結(jié)論正確的是()A點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是(3,5B圓C的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為1C|PN|NF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離DPFN周長(zhǎng)的取值范圍是(8,10)解析：ACD如圖所示：A項(xiàng)， 圓C：x2(y1)216的圓心為(0,1)，半徑為4，與y的正半軸交點(diǎn)為(0,5)，由eq blcrc (avs4alco1(x24y，,x2y121

12、6，)解得y3(負(fù)值舍去)，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是(3,5，故正確；B項(xiàng)，因?yàn)閳AC的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，所以圓C的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p2，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由拋物線的定義得|PN|NF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，故正確；D項(xiàng)，PFN周長(zhǎng)為：|PF|PN|NF|ryP1yP5(8,10)，故正確故選A、C、D12已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，若點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P到l的距離為d，Q在圓x2(y3)21上，則p_，|PQ|d的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，所以p2，F(xiàn)(1,0)，準(zhǔn)線l：x1，由拋物線的定義可知點(diǎn)P到l

13、的距離d|PF|，所以|PQ|d|PQ|PF|，設(shè)圓x2(y3)21的圓心為C，則C(0,3)，圓的半徑為1，|PQ|PF|CF|1eq r(1232)1eq r(10)1，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，Q，F(xiàn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以|PQ|d的最小值為eq r(10)1答案：2eq r(10)113已知拋物線C1：y22px(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：eq f(x2,4)eq f(y2,12)1右頂點(diǎn)重合(1)求拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l與拋物線C1交于不同的兩點(diǎn)A，B，F(xiàn)是拋物線C1的焦點(diǎn)，且eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()1，求直線l的方程解：(1)由題設(shè)

14、知，雙曲線C2：eq f(x2,4)eq f(y2,12)1的右頂點(diǎn)為(2,0)，eq f(p,2)2，解得p4，拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為ykx1，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y28x，)消去y得k2x2(2k8)x10，由0得(2k8)24k20，即k2，x1x2eq f(2k8,k2)，x1x2eq f(1,k2)又eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()1，F(xiàn)(2,0)，eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()(x12)(x22)y1y21

15、，x1x22(x1x2)4(kx11)(kx21)(1k2)x1x2(k2)(x1x2)51，即k24k50，解得k1或k5，直線l的方程為yx1或y5x1C級(jí)遷移創(chuàng)新14如圖，拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射，通過(guò)聚光獲取熱量進(jìn)行炊事烹飪食物的一種裝置由于太陽(yáng)光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽(yáng)灶(旋轉(zhuǎn)拋物面)的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，在這里形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光軸上現(xiàn)有一拋物線型太陽(yáng)灶，灶口直徑AB為2eq r(3) m，灶深CD為05 m，則焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為_(kāi)m解析

16、：由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，由題意可得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(3)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程可得32peq f(1,2)，解得p3，所以拋物線的方程為y26x，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，所以焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為eq f(3,2)15 m答案：1515如圖，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，M為直線y2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B(1)求證：A，M，B三點(diǎn)

17、的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2p)時(shí)，|AB|4eq r(10)，求此時(shí)拋物線的方程解：(1)證明：由題意，設(shè)Aeq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(xoal(2,1),2p)，Beq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(xoal(2,2),2p)，x1x2，M(x0，2p)由x22py，得yeq f(x2,2p)，得yeq f(x,p)，所以kMAeq f(x1,p)，kMBeq f(x2,p)因此直線MA的方程為y2peq f(x1,p)(xx0)，直線MB的方程為y2peq f(x2,p)(xx0)所以eq f(xoal(2,1),2p)2peq f(x1,p)(x1x0)，eq f(xoal(2,2),2p)2peq f(x2,p)(x2x0)整理得2x0 x1x2所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列(2)由(1)知，當(dāng)x02時(shí)，將其代入