離散方法分類

1、離散方法分類有限差分法微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法。基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點 構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點稱作網(wǎng)格的節(jié)點；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用 在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分 用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程 組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離 散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：1、區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個格點組成的網(wǎng)格；2、近似替代，即采用有限差分公

2、式替代每一個格點的導(dǎo)數(shù)；3、逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微 分方程的解的過程.如何根據(jù)問題的特點將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分;如何把原微分方程離散化為差分方程組以 及如何解此代數(shù)方程組。此外為了保證計算過程的可行和計算結(jié)果的正確，還需從理論上分 析差分方程組的性態(tài)，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。對 于一個微分方程建立的各種差分格式，為了有實用意義，一個基本要求是它們能夠任意逼近 微分方程，這就是相容性要求。另外，一個差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解 能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。此外，還有一個重要的概念必須

3、考慮， 即差分格式的穩(wěn)定性。因為差分格式的計算過程是逐層推進(jìn)的，在計算第n+1層的近似值 時要用到第n層的近似值，直到與初始值有關(guān)。前面各層若有舍入誤差，必然影響到后面 各層的值，如果誤差的影響越來越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式 是不穩(wěn)定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認(rèn)為格式是穩(wěn)定的。只有在這種情形， 差分格式在實際計算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精確解。關(guān)于差分格式的構(gòu)造一 般有以下3種方法。最常用的方法是數(shù)值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫積分 插值法，因為在實際問題中得出的微分方程常常反映物理上的某種守恒原理，一般可以通過 積分形式來表示。此外

4、還可以用待定系數(shù)法構(gòu)造一些精度較高的差分格式。有限容積法有限容積法(Finite Volume Method)又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一 個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未 知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的 變化規(guī)律，即假設(shè) 值 的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法 屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似 的離散方法。簡言之，子區(qū)域法屬于有限體積法的基本方法。有限體積法的基本

5、思路易于 理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就 是因變量在有限大小的控制體 積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體 積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計 算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。有一些離散方法，例如有限差分 法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下， 也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法 的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律(既插值函數(shù))，并將其作為 近似解。有限差分法只考慮

6、網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。有限體積 法只尋求的結(jié)點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必 須假定值在網(wǎng)格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。有限單元法有限單元法，是一種有效解決數(shù)學(xué)問題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法， 其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的 節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選 用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。 采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)

7、 力學(xué)，后來隨著計算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。邊界單元法邊界單元法是在有限單元法以后發(fā)展起來的一種數(shù)值方法。該方法早在20世紀(jì)70年代 由英國南安普敦大學(xué)土木工程系開始使用。該系的C. A. Brebbia在國際上大力倡導(dǎo)邊界 單元法?，F(xiàn)在這個名詞已普遍被科學(xué)家接受，邊界單元法也逐漸被應(yīng)用到各個領(lǐng)域中。邊界單元法將所研究問題的偏微分方程，設(shè)法轉(zhuǎn)換為在邊界上定義的邊界積分方程，然 后將邊界積分方程離散化為只含有邊界結(jié)點未知量的代數(shù)方程組，解此方程組可得邊界結(jié)點 上的未知量，并可由此進(jìn)一步求得所研究區(qū)域中的未知量。它除了能處理有限元法所適應(yīng)的 大部分問題外，還能處理有限元法不易解決的無限

8、域問題。由于邊界單元法只在研究區(qū)域的邊界上剖分單元，從而使求解問題的維數(shù)降低：三維問 題變?yōu)槎S問題，二維問題變成一維問題。解一個問題所需計算的方程組規(guī)模小，有利于節(jié) 省內(nèi)存和計算時間。此外，由于邊界單元法引入了基本解，具有解析與離散相結(jié)合的特點， 因而具有較高的精度。樣條邊界單元法樣條邊界單元法具有許多優(yōu)點，例如系數(shù)矩陣對稱、正定、稀疏性以及不計自然邊界條 件等等，又具有它自己特有的精度高、計算量少的優(yōu)點，是一種高效率的計算方法；其缺點 是通用性差，只適用于一些由若干矩形組成的特殊形狀和邊界條件。有限分析法有限分析法是在有限元法的基礎(chǔ)上的一種改進(jìn)，是由20世紀(jì)70年代美籍華人陳景仁提 出來的

9、，該方法是在局部單元上線性化微分方程和插值近似邊界的條件下，在局部單元上求 微分方程的解析解，而構(gòu)成整體的線性代數(shù)方程組。有限分析法將解析法與數(shù)值法相結(jié)合， 是計算流體力學(xué)的一個進(jìn)步。其優(yōu)點是計算精度較高，并具有自動迎風(fēng)特性，計算穩(wěn)定性好， 收斂較快，但單元系數(shù)中含有較復(fù)雜的無窮級數(shù)，給實際計算和理論分析都帶來了一些困難。 近年來，李煒等提出了混合有限分析法，引入有限差分思想，避免計算無窮級數(shù)，大大提高 了該方法的應(yīng)用價值。但無論有限分析法還是混合有限分析法，都存在有限分析系數(shù)復(fù)雜， 計算速度慢等缺點。數(shù)值積分變換法數(shù)值積分變換是一種基于通用積分變換原理，數(shù)值解法與分析解法的混合方法，其基本 思想是把原問題分解為一個特征值問題和一個降維定解問題.對其中較簡單的特征值問題 可以用分析法得到封閉的解析表達(dá)式