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文檔簡介

1、4.2 向量內(nèi)積一、向量內(nèi)積 1.定義1 設(shè) ， ，稱實數(shù)為 與 的內(nèi)積，記作 .內(nèi)積是向量的一種運算, 可用矩陣乘法表出.引言 基本單位向量組 是n維向量空間 的一組非常漂亮的基, 如二維向量空間 中的 ,不僅數(shù)簡單,關(guān)鍵是向量的長度為1,并且相互垂直. 我們希望在n維向量空間中也引入向量長度和向量“垂直”的概念.【注】 內(nèi)積也記為2.內(nèi)積的性質(zhì) （1）（2）（3）內(nèi)積的對稱性（4）【注】與二維、三維幾何空間 向量長度計算一致.二、向量長度 1.定義2 設(shè) ，稱 為向量 的長度，也稱范數(shù)，記作 .長度為1的向量稱為單位向量.2向量長度的性質(zhì)（1） ，（2）（3） （柯西不等式），且 線性相關(guān)

2、.向量內(nèi)積與向量長度之間的關(guān)系(4) (三角不等式) 【說明】利用性質(zhì)（2），可以由任意非零向量得到單位向量長度為1的向量，稱為向量單位化（或標(biāo)準(zhǔn)化）即 為單位向量. 三、向量正交【注】 正交向量組不含零向量.1定義3 若 ，則稱 與 正交. 如果非零向量組 中，向量兩兩正交，即 , 則稱該向量組為正交向量組.性質(zhì) 1）零向量與任何向量正交； 2）與自己正交的向量只有零向量； 性質(zhì) 3) 正交向量組線性無關(guān)；4) 三角不等式類似于勾股定理例1 已知求一單位向量3 , 使得3 與1 , 2 正交. 解 設(shè) 使得即 解此方程組， 由 可知, 則基礎(chǔ)解系為 令將其單位化，故 令 c = 1,例2 設(shè) 為一非零向量.（1）試證 與 正交的向量全體構(gòu)成n-1維子空間；（2）如果 ，試求該子空間的一組基.【解析】(1) 設(shè)則 為齊次線性方程 的解, 即V是該方程的解集, 前面已證齊次線性方程組的解集構(gòu)成向量空間.由于 為非零向量, 則秩為1, 故方程的基礎(chǔ)解系含n-1個解向量

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