精選千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一):第12煉-復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題_第1頁(yè)
精選千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一):第12煉-復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題_第2頁(yè)
精選千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一):第12煉-復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題_第3頁(yè)
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1、千題百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一):第12煉-復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題第二章 第12煉 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 函數(shù)及其性質(zhì)第12煉 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一、根底知識(shí):1、復(fù)合函數(shù)定義:設(shè),且函數(shù)的值域?yàn)槎x域的子集,那么通過(guò)的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù),稱(chēng)是的復(fù)合函數(shù),記為 2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟:求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外的順序,一層層求出函數(shù)值。例如:,計(jì)算解: 3、函數(shù)值求自變量的步驟:假設(shè)函數(shù)值求的解,那么遵循“由外到內(nèi)的順序,一層層拆解直到求出的值。例如:,假設(shè),求解:令,那么解得當(dāng),那么當(dāng),那么綜上所述:由上例可得,要想求出的根,那么需要先將視為整體,先求出的值,再求對(duì)應(yīng)的解,這種思路也用來(lái)解決

2、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,先回憶零點(diǎn)的定義:4、函數(shù)的零點(diǎn):設(shè)的定義域?yàn)?,假設(shè)存在,使得,那么稱(chēng)為的一個(gè)零點(diǎn)5、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的特點(diǎn):考慮關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù),在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),要分為兩層來(lái)分析,第一層是解關(guān)于的方程,觀察有幾個(gè)的值使得等式成立;第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個(gè)被幾個(gè)對(duì)應(yīng),將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù) 6、求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的技巧:1此類(lèi)問(wèn)題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密,在處理問(wèn)題的開(kāi)始要作出的圖像2假設(shè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍,那么先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù),再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn),分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng),從而確定的取值范圍,進(jìn)而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù):二、典型例題例1:設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)

3、 ,假設(shè)關(guān)于的方程由3個(gè)不同的解,那么_思路:先作出的圖像如圖:觀察可發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的,滿足的的個(gè)數(shù)分別為2個(gè)和3個(gè),有3個(gè)解,從而可得必為 的根,而另一根為或者是負(fù)數(shù)。所以,可解得:,所以答案:5 例2:關(guān)于的方程的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路:可將視為一個(gè)整體,即,那么方程變?yōu)榭山獾茫夯?,那么只需作出的圖像,然后統(tǒng)計(jì)與與的交點(diǎn)總數(shù)即可,共有5個(gè)答案:C例3:函數(shù),關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解,那么的取值范圍是 思路:所解方程可視為,故考慮作出的圖像:, 那么的圖像如圖,由圖像可知,假設(shè)有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解,那么必有,所以,解得 答案:例4:定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)

4、,那么關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為 A. B. C. D. 思路:方程可解,得,只需統(tǒng)計(jì)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出的圖像,時(shí),那么的圖像只需將的圖像縱坐標(biāo)縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像。通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)答案:B小煉有話說(shuō):在作圖的過(guò)程中,注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例5:假設(shè)函數(shù)有極值點(diǎn),且,那么關(guān)于的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是 A3 B4 C5 D6思路:由極值點(diǎn)可得:為 的兩根,觀察到方程與結(jié)構(gòu)完全相同,所以可得的兩根為,其中,假設(shè),可判斷出是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn)。且,所以與有兩個(gè)交點(diǎn),而與有一個(gè)交點(diǎn),共計(jì)3個(gè);假設(shè),可判斷出是極小

5、值點(diǎn),是極大值點(diǎn)。且,所以與有兩個(gè)交點(diǎn),而與有一個(gè)交點(diǎn),共計(jì)3個(gè)。綜上所述,共有3個(gè)交點(diǎn)答案:A例6:函數(shù),假設(shè)方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 思路:考慮通過(guò)圖像變換作出的圖像如圖,因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個(gè),假設(shè)要出七個(gè)根,那么,所以,解得:答案:B例7:函數(shù),假設(shè)關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 思路:,分析的圖像以便于作圖,時(shí),從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,且當(dāng),所以正半軸為水平漸近線;當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減。由此作圖,從圖像可得,假設(shè)恰有4個(gè)不等實(shí)根,那么關(guān)于的方程中,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根分布問(wèn)題,設(shè),那么的兩根

6、,設(shè),那么有,解得答案:C小煉有話說(shuō):此題是作圖與根分布綜合的題目,其中作圖是通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)進(jìn)行作圖,在作圖的過(guò)程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié),從而保證圖像的準(zhǔn)確。例8:函數(shù),那么以下關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的選項(xiàng)是 A. 當(dāng)時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí),有3個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)C. 無(wú)論為何值,均有2個(gè)零點(diǎn)D. 無(wú)論為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)思路:所求函數(shù)的零點(diǎn),即方程的解的個(gè)數(shù),先作出的圖像,直線為過(guò)定點(diǎn)的一條直線,但需要對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)時(shí),圖像如下圖,先拆外層可得,而有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的,也有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的,共計(jì)4個(gè);當(dāng)時(shí),的圖像如下圖,先拆外層可得,且只有一個(gè)滿足的

7、,所以共一個(gè)零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng),可判斷出A正確答案:A例9:函數(shù),那么方程為正實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)根最多有_個(gè)思路:先通過(guò)分析的性質(zhì)以便于作圖,從而在單增,在單減,且,為分段函數(shù),作出每段圖像即可,如下圖,假設(shè)要實(shí)數(shù)根最多,那么要優(yōu)先選取能對(duì)應(yīng)較多的情況,由圖像可得,當(dāng)時(shí),每個(gè)可對(duì)應(yīng)3個(gè)。只需判斷中,能在取得的值的個(gè)數(shù)即可,觀察圖像可得,當(dāng)時(shí),可以有2個(gè),從而能夠找到6個(gè)根,即最多的根的個(gè)數(shù)答案:6個(gè)例10:函數(shù)和在的圖像如下,給出以下四個(gè)命題:1方程有且只有6個(gè)根2方程有且只有3個(gè)根3方程有且只有5個(gè)根4方程有且只有4個(gè)根那么正確命題的個(gè)數(shù)是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路:每個(gè)方程都可通過(guò)圖像先拆掉第一層,找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值,從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)。1中可得,進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的 ,有3個(gè),有2個(gè),總計(jì)7

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