八年級數(shù)學(xué)暑假競賽培訓(xùn)講義

1、第一講：如何做幾何證明題【知識梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種根本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：1綜合法由因?qū)Ч瑥臈l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進，直到問題的解決；2分析法執(zhí)果索因從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到事實為止；3兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比擬起來，分析法利于思考，綜合法易

2、于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后到達證明目的。3、掌握構(gòu)造根本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由根本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成根本圖形。在更多時候需要構(gòu)造根本圖形，在構(gòu)造根本圖形時往往需要添加輔助線，以到達集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！纠}精講】【專題一】證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最根本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到?！纠?】：如下圖，中，

3、。 求證：DEDF【穩(wěn)固】如下圖，為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED【例2】：如下圖，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF【專題二】證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一來證?！纠?】如下圖，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC【例4】：如下圖，ABAC，。 求證：FDED【專

4、題三】證明線段和的問題一在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余局部等于另一較短線段。截長法【例5】如圖，四邊形ABCD中，ADBC，點E是AB上一個動點，假設(shè)B60，ABBC，且DEC60；求證：BCADAE【穩(wěn)固】：如圖，在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD二延長一較短線段，使延長局部等于另一較短線段，那么兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。補短法【例6】 ：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF【專題四】證明幾何不等式：【例7】：如下圖，在中，AD平分BAC，。 求證：【拓展】中，于D，求證：第二講：

5、平行四邊形一【知識梳理】1、平行四邊形：平行四邊形的定義決定了它有以下幾個根本性質(zhì)：1平行四邊形對角相等；2平行四邊形對邊相等；3平行四邊形對角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；4一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、特殊平行四邊形：一、矩形1有一角是直角的平行四邊形是矩形2矩形的四個角都是直角；3矩形的對角線相等。4矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形5矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形 二、菱形1把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做

6、菱形.2定理1:菱形的四條邊都相等3菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.4菱形的面積等于菱形的對角線相乘除以25菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形6菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。三、正方形1有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形2性質(zhì)：四個角都是直角，四條邊相等 對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角3判定：一組鄰邊相等的矩形是正方形 有一個角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：平行四邊形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： 在以下特征中，四條邊都相等對角線互相平分對角線相等對角線互相垂

7、直四個角都是直角每一條對角線平分一組對角對邊相等且平行鄰角互補【穩(wěn)固】1、以下說法中錯誤的選項是 A.四個角相等的四邊形是矩形 B.四條邊相等的四邊形是正方形 C.對角線相等的菱形是正方形 D.對角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個四邊形是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面結(jié)論中，正確的選項是 A.對角線相等的四邊形是矩形 B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在中，點D、E、F分別在邊、上，且，以下四種說法： 四邊形是平

8、行四邊形；如果，那么四邊形是矩形；如果平分，那么四邊形是菱形；如果且，那么四邊形是菱形.其中，正確的有 .只填寫序號【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.AEDCFB【穩(wěn)固】，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AFCE，DFBE，DFBE四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由【例3】如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于點E求證：四邊形AECD是菱形【例4】如圖，在等邊ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊ADE1求CAE的度數(shù)；2取AB邊的中點F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊

9、形AFCE是矩形【穩(wěn)固】如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DEAC，CEBD1試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；2假設(shè)AB6，BC8，求四邊形OCED的面積【例5】如下圖，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE1求證：四邊形DAEF是平行四邊形； 2探究以下問題：只填滿足的條件，不需證明當ABC滿足_條件時，四邊形DAEF是矩形；當ABC滿足_條件時，四邊形DAEF是菱形；當ABC滿足_條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在. 第三講：平行四邊形二【知識梳理】由平行四邊形的構(gòu)造知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，

10、并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質(zhì)的有機結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具。【例題精講】【例1】四邊形四條邊的長分別為，且滿足，那么這個四邊形是 A.平行四邊形 B.對角線互相垂直的四邊形C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對角線相等的四邊形【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形， 點G是BC上任意一點，DEAG于點E，BFAG于點F. (1) 求證：DEBF EF(2) 當點G為BC邊中點時， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由 (3) 假設(shè)點G為CB

11、延長線上一點，其余條件不變請你在圖中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系不需要證明【穩(wěn)固】如圖1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.1求的值；2延長交正方形外角平分線如圖132，試判斷的大小關(guān)系，并說明理由；3在圖2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請給予證明；假設(shè)不存在，請說明理由圖1ADCBE圖2BCEDAFPF【例3】如圖，在矩形ABCD中，AD12，AB5，P是AD邊上任意一點，PEBD于E，PFAC于F，求PEPF的值?！纠?】如圖，在ABC中，BAC90，ADBC，BE、AF分別是ABC、DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GFA

12、C?！纠?】如下圖，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F。求證：AECF?！痉€(wěn)固】如圖，在平行四邊形ABCD中，B，D的平分線分別交對邊于點E、F，交四邊形的對角線AC于點G、H。求證：AHCG。第四講：梯 形【知識梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的根本思路，常用的輔助線的作法是：平移腰：過一

13、頂點作一腰的平行線；平移對角線：過一頂點作一條對角線的平行線；過底的頂點作另一底的垂線。熟悉以下根本圖形、根本結(jié)論：【例題精講】中位線概念： (1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 (2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。【例題精講】【例1】如下圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB8，DC6，B45，BC10，求梯形上底AD的長. 【例2】如下圖，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17.

14、求CD的長. 【例3】如下圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD，BD6cm. 求梯形ABCD的面積. 【例4】如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 【穩(wěn)固】1、如下圖，等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長. 2、如下圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長. 3、如下圖，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的長. 【例5】：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中點，且AEBE.求證：ADBCAB【穩(wěn)固】如下圖，梯

15、形ABCD中，ADBC，E是CD的中點，且ADBCAB求證：DEAE?！纠?】如圖，在梯形ABCD 中，ADBC ， E、F 分別是AD 、BC 的中點，假設(shè)BC90.AD 7 ，BC 15 ，求EF 第五講：中位線及其應(yīng)用【知識梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計算線段的長度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推

16、論，一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等經(jīng)過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊經(jīng)過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點的其他定理還有：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合對角線互相平分的四邊形是平行四邊形線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮。【例題精講】【例1】ABC中，D是AB上一點，AD=AC，AECD于E，F(xiàn)是BC的中點，試說明BD=2EF。【穩(wěn)固】在ABC中，B=2C，ADBC于D，M為BC的中點.求證：【例2】E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的

17、中點那么四邊形EFGH是_形當ACBD時，四邊形EFGH是_形當ACBD時，四邊形EFGH是_形當AC和BD_時，四邊形EFGH是正方形?！痉€(wěn)固】如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點。1求證：四邊形MENF是菱形；2假設(shè)四邊形MENF是正方形，請?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。【例3】梯形ABCD中，ABCD，M、N分別是AC、BD的中點。求證：MNABCD【穩(wěn)固】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是對角線BD、AC的中點。求證：EF【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的中點，假設(shè)

18、EF，問：四邊形ABCD為什么四邊形？請說明理由。 【例4】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點，AB=CD.BA、CD的延長線交HG的延長線于E、F。求證：BEH=CFH.【例5】如圖，ABC的三邊長分別為AB14，BC16，AC26，P為A的平分線AD上一點，且BPAD，M為BC的中點，求PM的長?！痉€(wěn)固】：ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點。求證：PMPN第六講：一元二次方程的解法【知識梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的根本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)

19、涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運算；它答復(fù)了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等根本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當?shù)姆椒ń夥匠谈最}： 1x2 2x=0 2 x2 9=0 3(13x)21；4t2t10 5x28x267 8 9 10 11 1213xx62 142x1232x1 1516 17 18 19 20； 【例2】用適當?shù)姆椒ń庖韵玛P(guān)于的方程提高題：1； 2；3； 4；5。【穩(wěn)固】用適當?shù)姆椒ń庖韵玛P(guān)于的方程：1； 2；3。 4?！就卣埂拷夥匠蹋海?【例3】解方程：。【穩(wěn)固】解方程：1； 2?！纠?】解關(guān)于的方程：?！痉€(wěn)固】解關(guān)于

20、的方程：?！纠?】方程與有公共根。1求的值；2求二方程的所有公共根和所有相異根。【穩(wěn)固】是否存在某個實數(shù)，使得方程和有且只有一個公共的實根？如果存在，求出這個實數(shù)及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由。第七講：一元二次方程的判別式【知識梳理】一、一元二次方程根的情況：令。1、假設(shè)，那么方程有兩個不相等的實數(shù)根：；2、假設(shè)，那么方程有兩個相等的實數(shù)根：；3、假設(shè)，那么方程無實根不代表沒有解。二、1、利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；2、運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問題；4、借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模

21、型，解幾何存在性問題、最值問題。【例題精講】【例1】方程；那么當取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？當取什么值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？當取什么值時，方程沒有實數(shù)根？【穩(wěn)固】1、關(guān)于的方程。求證：無論取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；2、關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍。【拓展】關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)的值?！纠?】關(guān)于的方程。1求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；2假設(shè)等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長?！痉€(wěn)固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長是關(guān)于的方程的兩根，那么_。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對邊分

22、別為，和是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，求三角形ABC的周長?！就卣埂繉τ谡龜?shù)，方程沒有實數(shù)根，求證：以長的線段為邊能組成一個三角形?！纠?】設(shè)方程有三個不相等的實數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個根?！痉€(wěn)固】關(guān)于的方程有且只有一個實根，那么實數(shù)的取值范圍是_?！纠?】設(shè)，證明在方程中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根。第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【知識梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系韋達定理設(shè)方程的兩個根，那么。韋達定理用途比擬廣泛，運用時，常需要作以下變形：1；2；3；4；5?！纠}精講】【例1】求以下方程的兩根之和，兩根之積。1x22x10； 2x29x100；解：_， 解：_，32x29x50；

23、 44x27x10；解：_， 解：_，52x25x0； 6x210解：_， 解：_，【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2+4x3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：1x1+1x2+1=_； 2x12x2+x1x22=_； 3=_4x1+x22=_； 5x1x22=_； 6x13+x23=_【例3】解答以下問題：1設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，問是否存在的情況？2：是關(guān)于的方程的；兩個實數(shù)根，且，求的值?！痉€(wěn)固】1、關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，且，那么_。2、是方程的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式的值為_。【例4】關(guān)于的方程：。1求證：無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；2假設(shè)這個方程

24、的兩個實根滿足，求的值及相應(yīng)的。【穩(wěn)固】關(guān)于的方程。1當為何值時，此方程有實數(shù)根；2假設(shè)此方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值?！纠?】CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，那么ABC的面積是多少？【穩(wěn)固】ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5。1為何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；2為何值時，ABC是等腰三角形，并求ABC的周長。第九講：一元二次方程的應(yīng)用【知識梳理】方程是刻畫現(xiàn)實問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實際問題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一

25、次方程解應(yīng)用題的一般步驟根本一樣，解題的關(guān)鍵是恰當設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問題，建立二次方程模型解決問題?！纠}精講】【例1】要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m。1求雞場的長和寬各為多少？2題中墻的長度m對題目的解起著怎樣的作用？票價元人數(shù)人20151057000600050004000300020001000【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過多，對館中的珍貴文物會產(chǎn)生不利影響；但同時考慮文物的修繕和保存費用問題，還要保證一定的門票收入，因此

26、博物館采用了漲浮門票的價格來控制參觀人數(shù)，在該方法實施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價之間存在著如下圖的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價格應(yīng)是多少元？【例3】將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個，這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進貨多少個？【例4】甲、乙二人同時從同一地點相背而行，1小時后分別到達各自的終點A與B，假設(shè)讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達的目的地，那么甲將在乙到達A之后35分鐘到達B，求甲與乙的速度之比?！纠?】一支士兵隊伍長1200米，在

27、行軍途中，隊伍正中間的某士兵承受任務(wù)，追趕隊伍的排頭兵，并在到達排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務(wù)時，隊伍已經(jīng)前進了1200米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個選手各記1分，今有4個同學(xué)統(tǒng)計了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實確實有一位同學(xué)統(tǒng)計無誤，試計算這次比賽中共有多少名選手參加。【穩(wěn)固】1、在青島市開展的創(chuàng)城活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻墻長15m的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠

28、墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成如下圖，假設(shè)設(shè)花園的BC邊長為m，花園的面積為m2。1求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；BCDA2滿足條件的花園面積能到達200m2嗎？假設(shè)能，求出此時的值；假設(shè)不能，說明理由；3當取何值時，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，假設(shè)每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處

29、，然后繼續(xù)前進，都到達對岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時不耽誤時間，問河有多寬？4、一支士兵隊伍長100米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵承受任務(wù)，追趕隊伍排頭，并在到達排頭后立即回到隊伍的末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務(wù)時，隊伍已前進了100米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分方法是勝一盤得1分，和一盤各得分，負一盤得0分，其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？第十講：專題復(fù)習：因式分解、分式和根式【知識

30、梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：； ； ； ；立方和差公式：； ；2、許多多項式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：；。二、分式：1、分式的意義形如為整式，其中B中含有字母的式子叫分式。當分子為零且分母不為零時，分式的值為零，而當分母為零時，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)分式的根本性質(zhì)： 其中M是不為零的整式。分式的符號法那么：分子、分母與分式本身的符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變。倒數(shù)的性質(zhì)：；假設(shè)，那么，是整數(shù)；。3、分式的運算分式的運算法那么有：；是正整數(shù)。4、分式的變形分式的根本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法

31、有：設(shè)參法主要用于連比式或連等式，拆項法即別離變形，因式分解法，分組通分法和換元法等。三、二次根式：1、當時，稱為二次根式，顯然。2、二次根式具有如下性質(zhì)：1； 23； 4。3、二次根式的運算法那么如下：1；2。4、設(shè)，且不是完全平方數(shù)，那么當且僅當時，。【例題精講】【例1】分解因式：【穩(wěn)固】分解因式：1、； 2、；【例2】是一個三角形的三邊，那么的值是 A.恒正 B.恒負 C.可正可負 D.非負3、為何值時，多項式能分解成兩個一次因式的積？【例3】是實數(shù)，且，問之間有怎樣的關(guān)系？請推導(dǎo)?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、，求的值為_；2、多項式的一個因式是，試確定的值為_；3、設(shè)，求的值。4、假設(shè)，且設(shè)，那么

32、_5、，那么_；6、，且，那么_7、當變化時，分式的最小值為_8、設(shè)，那么_；9、實數(shù)滿足，那么_；10、化簡_；11、，那么_12、設(shè)的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，那么_；13、設(shè)等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中兩兩不同，那么_；14、使等式成立的整數(shù)對的個數(shù)為_；15、設(shè)正整數(shù)滿足，那么這樣的的取值有_組；16、求和：17、，化簡。18、假設(shè)，計算的值。19、計算：20、設(shè)，它的小數(shù)局部為P，求的值。第十一講：專題復(fù)習：代數(shù)式的恒等變形【知識梳理】1、恒等式的意義兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，那么稱這兩個代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒

33、等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等。3、根本思路1由繁到簡，即從比擬復(fù)雜的一邊入手進展恒等變形推到另一邊；2兩邊同時變形為同一代數(shù)式；3證明：，或，此時。4、根本方法在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項法、綜合法、分析法、比擬法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】，求證：。思路點撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊。【穩(wěn)固】為三個不相等的實數(shù)，且，求證：?！就卣埂考僭O(shè)，求證：?！纠?】證明：。思路點撥：此題可采用比差法以及拆分法兩種方法進展證明?！痉€(wěn)固】1、求證。2、求證：?！就卣埂壳?/p>

34、證：【例3】，求證：思路點撥：左邊和右邊，變形為同一個代數(shù)式。【穩(wěn)固】，求證：?！就卣埂繉崝?shù)滿足，求證：，其中是正整數(shù)。【例4】，且，求證：。【穩(wěn)固】1、，求證：2、設(shè)。求證：【拓展】設(shè)，且，求證：?！纠?】正數(shù)滿足，求證：。思路點撥：此題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開場進展推理，一步一步地推到我們所要證明的結(jié)論，就是我們平時說的“正面突破。第十二講：專題復(fù)習：相似三角形【知識梳理】1、比例線段的有關(guān)概念：b、d叫后項，d叫第四比例項，如果bc，那么b叫做a、d的比例中項。2、平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，如圖：l1l2l3。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長線所