線性代數(shù)課件：1-5 初等變換和初等矩陣

1、1.5 初等變換和初等矩陣學(xué)習(xí)思路引例一、初等變換的引入-線性方程組的同解變換求解線性方程組我們來分析用消元法解下列方程組的過程小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為Gauss消元法 2（1）交換兩個(gè)方程的次序；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的常數(shù)k倍（與相互替換）（以替換）（2）以不等于的常數(shù) 乘上某個(gè)方程；（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣 (方程組（I）的增廣矩陣）的變換線性方程組求解問題轉(zhuǎn)化為矩

2、陣問題！定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)(row,column)逆變換逆變換逆變換數(shù)學(xué)上將具有下述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣的概念第 i 列特別注意： 初等行變換與初等列變換所得初等矩陣之間的關(guān)系滿足： 定理1 設(shè)

3、是一個(gè) 矩陣，對(duì) 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣初等變換對(duì)應(yīng)初等矩陣，由初等變換可逆，可知初等矩陣可逆，且此初等變換的逆變換就對(duì)應(yīng)此初等矩陣的逆矩陣！四、初等矩陣的應(yīng)用特點(diǎn)：例如， 由于初等矩陣均可逆，可逆陣的乘積仍是可逆陣，所以定理2可改寫成：標(biāo)準(zhǔn)形 定理3 A為可逆方陣的充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣證充分性：A=P1P2Pl 其中Pi(1=i=l)為初等方陣。由初等方陣可逆，其乘積也可逆，可得A可逆。矩陣可逆的又一個(gè)重要定理必要性：（應(yīng)用一）利用初等變換求逆陣的方法：矩陣分塊思想特別注意：為什么不能既用行變換又用列變換？ 解例 2初等行變換例 3解列變換行變換1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等