1.1 微分方程模型

1、常微分方程主講人:陳迪三TEL箱：563607372常微分方程課程簡(jiǎn)介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)

2、越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。 常微分方程 學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來(lái)解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過(guò)這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問(wèn)題，為他們將來(lái)從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教 材：常微分方程，(第三版）（97年國(guó)家教委一等獎(jiǎng)）， 王高雄等編（中山大學(xué)), 高教出版社。參考書目：

3、常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉(cāng)等編，科學(xué)出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上海科技出版社。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。第一章 緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動(dòng)控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,本章將通過(guò)幾個(gè)具體例子,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用,并講述一些最基本概念.1.1 微分方程模型 微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 為了定量地研究一些實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律,往往是要對(duì)所研究

4、的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問(wèn)題涉及變量的變化率時(shí),該模型就是微分方程,下面通過(guò)幾個(gè)典型的例子來(lái)說(shuō)明建立微分方程模型的過(guò)程.例1 鐳的衰變規(guī)律:解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的. 將某物體放置于空氣中, 在時(shí)刻時(shí), 測(cè)得它的溫度為10分鐘后測(cè)量得溫度為 試決定此物體的溫度 和時(shí)間 的關(guān)系.例2 物理冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型Newton 冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. 設(shè)物體在時(shí)刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律

5、, 得到 其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.解:例3 R-L-C電路 如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系. 電路的Kirchhoff第二定律: 設(shè)當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后, 電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t), 則電流 經(jīng)過(guò)電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirch

6、hoff第二定律, 得到 因?yàn)?于是得到這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 例4 一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在t=0時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？ 解: 以容器的底部O點(diǎn)為 原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。令h(t)為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得： 易見(jiàn)： 故有： RxySO圖3-3hr這是可分離變量的一階微分方程，得

7、 即：例5 （理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)牛頓第二定律可得： 這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程MQPmg圖3-1 （3.1）的近似方程從而得出兩階微分方程： （3.1） （3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)很小時(shí)，sin，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程： （3.2） （3.2）的解為: (t)= 0cost 當(dāng) 時(shí),(t)=0故有由此即可得出其中例6 傳染病模型: 長(zhǎng)期以來(lái),建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程,一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法建立模型.解:根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使由于病人總?cè)藬?shù)為所以每天共有于是病人增加率為從物理學(xué)、力學(xué)等以確定的自然規(guī)律出發(fā)，考慮主要因素，忽略次要因素；利用不同現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型的事實(shí)，采取類比方法建立相應(yīng)模型；根據(jù)對(duì)已搜集數(shù)據(jù)分析，通過(guò)合理邏輯推理，尋找出相關(guān)規(guī)律建立相應(yīng)的模型；根據(jù)一定目的，通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，尋找出適合要求的數(shù)學(xué)模型；通過(guò)以下例題可看出微分方程模型的特點(diǎn)是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界中量與量的變化關(guān)系，往往與時(shí)間有關(guān)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。建立微分方程模型的方法如下：思考與練習(xí)1.曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的