02 第一章 矢量分析與場論基礎(chǔ)

1、第一章 矢量分析與場論基礎(chǔ)主要內(nèi)容：1.1 矢量的基本運(yùn)算1.2 矢量函數(shù)1.3 場論基礎(chǔ)1.4 常用正交曲線坐標(biāo)系1.1 矢量的基本運(yùn)算一、標(biāo)量和矢量： 標(biāo)量（scalar）： 只有大小沒有方向的量， 用數(shù)值表示，如溫度、質(zhì)量、體積。電磁理論中的標(biāo)量：電量、電位、電阻等等 矢量（vector） （又稱向量）： 既有大小又有方向的量，如力、速度、動(dòng)量。 電磁理論中的矢量：電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等。1.1.1 矢量的概念二、矢量的表示方法： 圖示法：一定長短的有向箭頭矢量的方向矢量的大?。ǚQ為模值、模） 矢量的模值表示為：或 A寫法上：手寫帶箭頭上標(biāo)的字母，如 、 印刷黑體（僅印刷品中采用） 矢量的

2、值與其所在的空間位置無關(guān)，因此空間平移不會改變一個(gè)矢量。 與其逆矢量 模值相同，方向相反三、矢量的基本性質(zhì)：四、單位矢量（Unit vector）： 定義：模值為1 的矢量（ 一般用來指示方向） 表示方法：(一般用小寫字母) 將兩矢量的起點(diǎn)重合； 以兩矢量為邊作平行四邊形； 兩矢量所夾的平行四邊形對角線為兩矢量之和，兩矢量的起點(diǎn)為和矢量的起點(diǎn)。1.1.2 矢量的基本運(yùn)算一、矢量加法和減法平行四邊形法多個(gè)矢量相加：（三角形法） 將相加的所有矢量首尾相連，形成矢量鏈條； 由鏈條起點(diǎn)指向鏈條終點(diǎn)的矢量為所有矢量之和。 若鏈條起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，則所有矢量之和為0。 規(guī)則：結(jié)合律交換律二、矢量與標(biāo)量的乘法

3、和除法例子： 模值：p0p 0 方向：設(shè) p , q均為實(shí)數(shù) 規(guī)則：三、兩矢量的點(diǎn)積： 計(jì)算公式： 規(guī)則：判斷兩矢量垂直的方法為單位矢量結(jié)論： 矢量與單位矢量的點(diǎn)積，等于矢量在單位矢量所在方向上的投影，或稱矢量在單位矢量所在方向上的分量。如果p曲線上某點(diǎn) p 處法線方向?yàn)?，切線方向?yàn)?表示 在該點(diǎn)的切向分量表示 在該點(diǎn)的法向分量 模值：右手螺旋關(guān)系：右手四指微屈，與從 轉(zhuǎn)向 的方向一致；大拇指豎直，大拇指方向?yàn)?的方向。三矢量的方向成右手螺旋關(guān)系。 方向：垂直于 兩矢量， 模值等于二矢量所夾的平行四邊形的面積。四、兩矢量的叉積 規(guī)則：判斷兩矢量平行的方法注意！五、標(biāo)量三重積它表示由三矢量構(gòu)成

4、的平行六面體的體積1.1.3 直角坐標(biāo)系及矢量的分解oxyz直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量：坐標(biāo)單位矢量：與坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸正方向相同的單位矢量用坐標(biāo)矢量表示任意矢量直角坐標(biāo)系中的任意矢量均可以表示為坐標(biāo)矢量的線性組合：z分別是 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影；分別稱為 的 x分量、y分量、z分量。xyo直角坐標(biāo)分量的求法方向角方向余弦xyo直角坐標(biāo)系中 矢量的模值計(jì)算公式：例1.1.1：xoy平面上的矢量 模值為40，其方向與 的夾角為60度，與 的夾角為150度。寫出其平面直角坐標(biāo)表示式。ovxvy解：例1.1.2：解：同理，可求出矢量的基本運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中的表示則設(shè)矢量的基本運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中的表示矢量的基

5、本運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中的表示矢量的基本運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中的表示 求與矢量 方向相同的單位矢量。例1.1.3:解：例1.1.4:求在方向上的投影。 方向上的單位矢量表示為解：在 方向上的投影表示為例1.1.5：，并驗(yàn)證 與 是否垂直解：驗(yàn)證：1.2 矢量函數(shù)對于連續(xù)可微函數(shù) ，其導(dǎo)數(shù)定義為標(biāo)量函數(shù)當(dāng)一個(gè)矢量依某個(gè)變量的變化而變化，就稱該函數(shù)為矢量函數(shù)，簡稱矢函數(shù)，或者說矢量的每個(gè)分量都是函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中可表示為矢量函數(shù)單變量矢函數(shù)：導(dǎo)數(shù)：微分：結(jié)論：對矢函數(shù)的每個(gè)分量分別求導(dǎo)數(shù)或微分即可。1.2.1 矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分例1.2.1：（a、b為常數(shù)）解：多變量矢函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：結(jié)論：對矢函數(shù)的每個(gè)分

6、量分別求偏導(dǎo)數(shù)。說明：對電磁學(xué)來講，一般有x、y、z、t四個(gè)自變量。例1.2.2：求解：為常數(shù)結(jié)果是曲線下所圍的面積1.2.2 矢函數(shù)的積分曲線積分其中復(fù)習(xí)定積分有向線元矢量 ：大小為 ，方向?yàn)樵擖c(diǎn)處有向曲線的正方向有向曲線：定義了正方向的曲線一、標(biāo)量線積分當(dāng) 時(shí)， 變成有向線元 ，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)處的切線方向，亦即有向曲線的正方向在直角坐標(biāo)系中，有向線元矢量可表示為一、標(biāo)量線積分定義：矢函數(shù) 在L上的標(biāo)量線積分為特別地，環(huán)路和環(huán)量環(huán)路環(huán)量其中例1.2.3：解：例1.2.3：分段積分結(jié)論標(biāo)量線積分與積分路徑密切相關(guān)與積分路徑無關(guān)的矢函數(shù)是保守的二、標(biāo)量面積分正側(cè)面負(fù)側(cè)面有向曲面：定義了正側(cè)面的曲面

7、當(dāng) 時(shí)， 變成有向面元 ，其方向?yàn)樵撎幱邢蚯娴恼ň€方向法線方向： ，從負(fù)側(cè)面指向正側(cè)面并與該面垂直的方向有向面元：在直角坐標(biāo)系中，有向面元矢量可表示為二、標(biāo)量面積分定義： 在S上的標(biāo)量積分為稱為 在S上的通量如果S是封閉曲面，習(xí)慣上規(guī)定其外側(cè)面為正側(cè)面， 的通量記為S正側(cè)面正側(cè)面例1.2.4：解：在六個(gè)面上分別求面積分，然后相加同理可求出故三、幾個(gè)常用矢量法向單位矢量： (normal)切向單位矢量： (tangential) 一般令曲線的切向與曲線的正方向相同 曲線上任意點(diǎn)的法向、切向均唯一 曲面上任意點(diǎn)的法向唯一、切向有無數(shù)正方向0M ( x，y，z )xyz 模值： 任意點(diǎn) M 的坐

8、標(biāo)為（x , y , z）， 矢徑 ：一般用某點(diǎn)的矢徑來指代某點(diǎn)，即：矢徑為 的點(diǎn)常常被稱為點(diǎn) 或 點(diǎn)。M 的矢徑為：1.3.1 場的基本概念 一、場(field)的定義： 若某個(gè)物理量在某區(qū)域中每一點(diǎn)處，在每一時(shí)刻都有確定值，就稱在該區(qū)域中定義了這個(gè)物理量的場，該物理量稱為場量。 1.3 場論基礎(chǔ)舉例：溫度場、流速場、重力場等等按場量的數(shù)學(xué)性質(zhì)劃分：按場量的時(shí)間變化特性劃分:二、場的分類似穩(wěn)場：準(zhǔn)靜態(tài)場，變化很慢的時(shí)變場，低頻電子學(xué)三、場的數(shù)學(xué)表示式時(shí)空函數(shù)注：1、u、Ax 、Ay 、Az都是單值、連續(xù)且有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。 2、時(shí)變場的任意瞬間都可以認(rèn)為是靜態(tài)的。 標(biāo)量場：用標(biāo)量函數(shù)

9、表示u = u (x, y, z, t)u = u (x, y, z)靜態(tài)場：時(shí)變場： 矢量場：用矢函數(shù)表示靜態(tài)場：時(shí)變場：四、場的直觀表示方法等值面u=c1u=c2u=c3 定義： 場值相同的空間點(diǎn)組成的曲面或曲線。1、標(biāo)量場的等值面、等值線u=c1u=c2u= c3等值線 方程： 等值面方程：u ( x,y,z )= c （c為常數(shù)）等值線方程：u ( x,y )= c （c為常數(shù)）等高線和等值線圖 線與線之間的高度差相等等高線密：山勢陡等高線疏：山勢緩300m400m200m100m100m100m緩陡等高線地圖例1.3.1:標(biāo)量場的等值面是何形狀？ 等值面方程為: 解：（c為常數(shù)）為以

10、原點(diǎn)為圓心的球面即：即：矢量線2、矢量場的矢量線或流線 定義：處處與矢量相切的曲線，線上每一點(diǎn)處的切線方向與該點(diǎn)處矢量的方向相同。矢量線和流線的例子矢量線和流線的例子矢量線和流線的例子 矢量線方程： 矢量場：M矢量線方程 形 態(tài)：1、無頭無尾的閉合曲線；2、有起點(diǎn)有終點(diǎn)；3、有起點(diǎn)，終止于無窮遠(yuǎn)處；4、起始于無窮遠(yuǎn)處，有終點(diǎn)。閉合曲線自無窮遠(yuǎn)處終點(diǎn)至無窮遠(yuǎn)處起點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn) 矢量線密度：畫矢量線時(shí)，使得穿過垂直于矢量線的單位面積的矢量線根數(shù)與該處矢量的模值成正比，因此某處矢量線的密度大小就體現(xiàn)了該處矢量的模值大小。矢量模值大矢量模值小1.3.2 標(biāo)量場的梯度一、方向?qū)?shù) 定義： 標(biāo)量場 u 在某點(diǎn)

11、沿某個(gè)方向的變化率。特例：方向?qū)?shù)的求解 y z梯度： 計(jì)算公式： y z二、梯度 ( gradient )定義：1. 標(biāo)量場 u 中任意點(diǎn)處的一個(gè)矢量, 2. 其方向是該處 u 的方向?qū)?shù)取最大值的方向，3. 其模值等于該最大方向?qū)?shù)值。 性質(zhì)：2. 梯度指向標(biāo)量場增加最快的方向； 1. 某點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面（線）；3. 梯度在某個(gè)方向上的投影等于該方向上的方向?qū)?shù)：4. 梯度場：標(biāo)量場各點(diǎn)的梯度形成的矢量場，例1.3.2 求標(biāo)量場 在點(diǎn)(2,-1,1) 處的梯度。解：例1.3.3例1.3.4例1.3.5例1.3.6例1.3.7三、哈米爾頓(Hamilton)算符為哈米爾頓算符 是

12、矢量，遵守矢量的運(yùn)算規(guī)則 是微分運(yùn)算符號，對其他變量作微分運(yùn)算定義： 的運(yùn)算規(guī)則：對標(biāo)量：的散度u的梯度1、點(diǎn)積： 對矢量:2、叉積的旋度四、梯度運(yùn)算規(guī)則教材 P12總 結(jié)： 標(biāo)量場的等值面只能反映標(biāo)量分布的總體趨勢； 標(biāo)量場的梯度則體現(xiàn)了場中每一點(diǎn)處標(biāo)量變化最快的方向和最大的變化率；1.3.3 矢量場的散度一、正負(fù)通量的物理意義負(fù)側(cè)面正側(cè)面流體向正側(cè)面流過面積元，為正流量流體向負(fù)側(cè)面流過面積元，為負(fù)流量通量 即為向S正側(cè)面流過的正負(fù)流量的代數(shù)和表示正流量多于負(fù)流量表示正流量多于負(fù)流量一、正負(fù)通量的物理意義正側(cè)面SSMS正源負(fù)源泉源（正源）：產(chǎn)生流體漏洞（負(fù)源）：排泄流體統(tǒng)稱通量源二、閉曲面中

13、的通量源與閉曲面上通量的關(guān)系：正源負(fù)源結(jié) 論：的值正比于S面中 的凈通量源的值。 凈通量源的絕對值越大，矢量線越密， 的絕對值也越大。對于靜電場而言： 的值正比于S 面中 的凈通量源的值，即S 面中的凈電量。結(jié) 論：三、散度（ divergence ） 體現(xiàn)了閉曲面S 內(nèi)凈通量源的值；SMS 1、導(dǎo)出思路：正源負(fù)源 體現(xiàn)了閉曲面S 內(nèi)通量源的平均密度； 當(dāng) S 收縮到僅包含一個(gè)點(diǎn)時(shí)， 就體現(xiàn)了該點(diǎn)處通量源的密度。 包含某點(diǎn)的閉合面 S 以任意方式向該點(diǎn)無限縮小時(shí)， S所圍體積v 也趨于0，此時(shí) 的值稱為 在該點(diǎn)的散度。2、定義：Sv3、計(jì)算公式：四、散度的物理意義：正比于 點(diǎn)處 的通量源密度對

14、于靜電場 而言： 正比于 點(diǎn)處 的通量源密度，即 點(diǎn)處的電荷密度。五、有散場和無散場： 有散場：有非0散度值的矢量場，存在通量源，矢量線有端點(diǎn)。 無散場： 散度恒等于0 的矢量場，無通量源，矢量線是無頭無尾的閉合曲線。例1.3.8例1.3.9例1.3.10教材p15六、奧氏公式（散度定理）：（V是S面所圍的體積）1、通量等于散度的體積分2、面積分與體積分的轉(zhuǎn)換公式S八、拉普拉斯（Laplace）算子：拉普拉斯算子1.3.4 矢量場的環(huán)量和旋度一、矢量場的環(huán)量： 有向曲線：指定了從一 端到另一端的方向?yàn)檎较虻那€。M2M1正方向 有向線元：有向曲線上長度趨于0的小線元（可看作直線），方向與正方

15、向相同，記為 。 為小線元的長度。 在有向曲線上任意一點(diǎn)處，矢量 都有確定值 在有向曲線 L 上任意點(diǎn)處均可求出一個(gè) 值。L正方向 定義：將有向閉曲線L上所有的 相加，得到矢量 在有向閉曲線 L上的線積分，稱為 在 L 上的環(huán)量，記為 打開出水口水流下漏二、旋渦源與環(huán)量： 旋渦矢量場：矢量線為閉合曲線的矢量場 旋渦源：能激勵(lì)出旋渦矢量場的激勵(lì)源 下漏的水柱激勵(lì)出旋渦流速場 ，是旋渦源 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線L，有L例1：出水口關(guān)閉水池 旋渦源（下漏水流）越大，則 越大。例2：無電流導(dǎo)線載流導(dǎo)線通電L 電流激勵(lì)出旋渦磁場 ，是旋渦源 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線L，有 旋渦源（電流）越大，則 越大。

16、結(jié) 論 ： 的值正比于穿過閉曲線 L 的 的凈旋渦源的值。對于靜磁場而言： 的值正比于穿過閉曲線 L 的 的凈旋渦源的值，即穿過L的凈電流強(qiáng)度。三、環(huán)量面密度1、導(dǎo)出思路：LML 體現(xiàn)了穿過閉曲線 L 的凈旋渦源的大??； 當(dāng) L 收縮到僅包含一個(gè)點(diǎn)時(shí)， 就體現(xiàn)了該點(diǎn)處穿過L的旋渦源的密度。旋渦源 體現(xiàn)了穿過L的凈旋渦源的平均密度；注意： 值與L的空間方位有關(guān) 設(shè) L 無限縮小時(shí)包圍M點(diǎn)及其鄰域，所圍面積 也趨于0 ，M點(diǎn)處垂直于L的方向?yàn)?。定義此時(shí)的 為 在該點(diǎn)處、 方向上的環(huán)量面密度。MLL的正方向：與 成右手螺旋方向2、定義：正方向3、計(jì)算公式： 、 、 是 的方向角 矢量場在某點(diǎn)、在某

17、個(gè)方向上的 等于0，并不意味著沒有旋渦源流過該點(diǎn)。 與方向 有關(guān)。在同一點(diǎn)取不同的 可得到不同的 。因此不能根據(jù)某點(diǎn)在某個(gè)方向上的 來確定該點(diǎn)旋渦源的大小。4、性質(zhì)：四、旋度（Rotation 或 Curl）1、定義： 1. 矢量場 中任意一點(diǎn) M 處的一個(gè)矢量， 2. 其方向?yàn)镸點(diǎn)處環(huán)量面密度取最大值的方向， 3. 其模值等于最大的環(huán)量面密度。 （類似于梯度的定義）2、計(jì)算公式：旋 度：教材P18 例1-6 的模值體現(xiàn)了 點(diǎn)處 的旋渦源密度的大??；五、旋度的物理意義： 的方向體現(xiàn)了 點(diǎn)處 的旋渦源密度的方向；對于靜磁場而言： 的模值體現(xiàn)了 點(diǎn)處 的旋渦源密度的大小，即 點(diǎn)處電流密度的大??；

18、的方向體現(xiàn)了 點(diǎn)處 的旋渦源密度的方向，即 點(diǎn)處電流密度的方向；六、有旋場和無旋場： 有旋場： 有非0旋度值的矢量場，存在旋渦源，矢量線是閉合曲線。 無旋場： 旋度恒等于0 的矢量場，無旋渦源，矢量線是有端點(diǎn)的非閉合曲線。七、旋度的基本公式：教材 P18注意兩個(gè)公式：1、環(huán)量等于旋度的面積分2、線積分與面積分的轉(zhuǎn)換公式（S是L所張成的曲面）八、斯托克斯公式（旋度定理）：總 結(jié)：閉曲面 S 面內(nèi)的凈通量源穿過閉曲線 L 的凈旋渦源點(diǎn)處的通量源密度點(diǎn)處的旋渦源密度閉曲面 S 面內(nèi)的凈電量穿過閉曲線 L 的凈電流強(qiáng)度點(diǎn)處的電荷密度點(diǎn)處的電流密度對于靜態(tài)電磁場而言：1.3.5 亥姆霍茲（Helmholtz）定理一、場的分類二、邊界條件全空間半空間三、亥姆霍茲定理： 且該矢量場可以表示為一個(gè)無散場和一個(gè)無旋場的矢量和。 對于有限區(qū)域V內(nèi)的任意矢量場，如果給定了它的散度、旋度和它在有限區(qū)域V的邊界面S上的值（即它的邊界條件），則該矢量場就可以被惟一地、定量地確定下來。 （唯