湖南省衡陽市八中2021學年高二數(shù)學下學期期期末考試試題理（含解析）

1、湖南省衡陽市八中2018-2019學年高二數(shù)學下學期期期末考試試題理（含解析）PAGE PAGE - 34 -湖南省衡陽市八中2018-2019學年高二數(shù)學下學期期期末考試試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【詳解】圖中陰影部分所表示的集合中的元素除去集合B中的元素構(gòu)成的集合，故圖中陰影部分所表示的集合是，故選A.2.已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點，它們的離心率之和為，則雙曲線的標準方程為（ ）A. B. C.

2、 D. 【答案】C【解析】【分析】由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案【詳解】由橢圓，得，則，雙曲線與橢圓的焦點坐標為，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為設(shè)雙曲線的實半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是故選：C【點睛】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題3.在復平面內(nèi)，復數(shù)，則對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復數(shù)，計算，再計算對應點的象限.【詳解】復數(shù)對應點為： 故答案選A【

3、點睛】本題考查了復數(shù)的計算，共軛復數(shù)，復數(shù)對應點象限，意在考查學生的計算能力.4.已知點為拋物線： 的焦點. 若過點的直線交拋物線于，兩點， 交該拋物線的準線于點，且，則（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】將長度利用相似轉(zhuǎn)換為坐標關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理求得答案.【詳解】易知：焦點坐標為，設(shè)直線方程為： 如圖利用和 相似得到：，【點睛】本題考查了拋物線與直線的關(guān)系，相似，意在考查學生的計算能力.5.已知的展開式中的系數(shù)為 5，則（ ）A. 4B. 3C. 2D. -1【答案】D【解析】【分析】將化簡為：分別計算的系數(shù)，相加為5解得.【詳解】中的系數(shù)為：

4、 的系數(shù)為： 的系數(shù)為： 故答案選D【點睛】本題考查了二項式定理的計算，分成兩種情況簡化了計算.6.中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指孫子算經(jīng) 中記載的算籌. 古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算， 算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把 各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示， 十位、千位、十萬位用橫式表示， 以此類推例如 8455 用算籌表示就是，則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意直

5、接判斷即可.【詳解】根據(jù)“各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示”的原則，只有C符合，故選C.【點睛】本題主要考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題型.7.將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的 2 倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的解析式為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點向左平移個單位長度得，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得，選B.考點：三角函數(shù)圖像變換8.函數(shù)的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除選項得到答案.【詳解】取，

6、排除C取，排除BD故答案選A【點睛】本題考查了函數(shù)的圖像，通過特殊值排除可以簡化計算.9.某錐體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計算得到答案.【詳解】錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小 故答案選B【點睛】本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.10.已知函數(shù)，若只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.

7、 【答案】C【解析】【分析】由，令，解得或，令，利用導數(shù)研究其單調(diào)性、極值，得出結(jié)論.詳解】，令，解得或，令，可得，當時，函數(shù)取得極小值，所以當時，令，解得，此時函數(shù) 只有一個極值點，當時，此時函數(shù) 只有一個極值點1，滿足題意，當時不滿足條件，舍去.綜上可得實數(shù)的取值范圍是，故選C.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值、方程與不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.11.已知高為正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為 4 ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案

8、.【詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為 正切值為4 在中，根據(jù)勾股定理： 故答案選D【點睛】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12.已知實數(shù)，滿足約束條件，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標函數(shù)，由目標函數(shù)的幾何意義可知，目標函數(shù)在點處取得最大值，在點或點處取得最小值，即題中的不等式即：，則：恒成立，原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，整理函數(shù)的解析式有：，令，則，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，據(jù)此可得，當時

9、，函數(shù)取得最大值，則此時函數(shù)取得最小值，最小值為：綜上可得，實數(shù)的最大值為本題選擇A選項【方法點睛】本題主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等一正：關(guān)系式中，各項均為正數(shù)；二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；三相等：含變量的各項均相等，取得最值若等號不成立，則利用對勾函數(shù)的單調(diào)性解決問題二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 把答案填在答題卡中的橫線上）13.已知向量，若 ，則 _【答案】【解析】【分析】由得到，計算得到答案.【詳解】已知向量，若所以答案為：【點睛】本題考查了向量的計算，將條件轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.14.

10、設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接為_【答案】【解析】【分析】分別判斷出，從而得到三者大小關(guān)系.【詳解】，則的大小關(guān)系用“”連接為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查指對數(shù)比較大小類的問題，解決此類問題的方法主要有兩種：1.構(gòu)造合適的函數(shù)模型，利用單調(diào)性判斷；2.利用臨界值進行區(qū)分.15.某細胞集團，每小時有2個死亡，余下的各個分裂成2個，經(jīng)過8小時后該細胞集團共有772個細胞，則最初有細胞_個.【答案】7.【解析】【分析】設(shè)開始有細胞a個，利用細胞生長規(guī)律計算經(jīng)過1小時、2小時后的細胞數(shù)，找出規(guī)律，得到經(jīng)過8小時后的細胞數(shù)，根據(jù)條件列式求解.【詳解】設(shè)最初有細胞a個，因為每小時有2個死亡，余下的

11、各個分裂成2個，所以經(jīng)過1個小時細胞有，經(jīng)過2個小時細胞有=，經(jīng)過8個小時細胞有，又，所以，.故答案為7.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，找出規(guī)律、構(gòu)造數(shù)列是解題關(guān)鍵，考查閱讀理解能力及建模能力，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖所示，在三棱錐中，若，是的中點，則下列命題中正確的是_(填序號) 平面平面； 平面平面；平面平面，且平面平面； 平面平面，且平面平面.【答案】【解析】【分析】由AB=BC，AD=CD，說明對棱垂直，推出平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE，即可得出結(jié)論【詳解】因為ABCB，且E是AC的中點，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE因為AC在平面ABC內(nèi)，所

12、以平面ABC平面BDE又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，故答案為：【點睛】本題考查了平面與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（一）必考題：60 分17.已知在中，角、的對邊分別是、，且（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到2（1cos2A）3cosA=0，解出角A的余弦值，進而得到角A；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理得到a=，再結(jié)合正弦定理得到最終結(jié)果.【詳解】（1）在ABC中2sin2A+3co

13、s（B+C）=0，2（1cos2A）3cosA=0，解得cosA=，或cosA=2（舍去），0A，A=；（2）ABC的面積S=bcsinA=bc=5，bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=21，a= ， sinB+sinCsinB+sinC的值是.【點睛】這個題目考查了同角三角函數(shù)的化簡求值，考查了三角形面積公式和正余弦定理的應用，解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用

14、正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)計算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）證明：取中點，連結(jié)，因為底面為菱形，所以 因為為的中點，所以 在中， 為的中點，所以設(shè),則，因為，所以 在中，為的中點，所以在 和 中，因為，所以 所以所以 因為，平面，平面，所以平面因為平面，所以平面平面 （2）因為，平面，平面，所以平面所以 由（1）

15、得，所以，所在的直線兩兩互相垂直以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系 設(shè)，則， 所以，設(shè)平面的法向量為，則 令，則，所以 設(shè)平面的法向量為，則 令，則，所以設(shè)二面角為，由于為銳角，所以 所以二面角的余弦值為 【點睛】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.19.已知橢圓:的離心率，過橢圓的上頂點和右頂點的直線與原點的距離為，（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線經(jīng)過橢圓左焦點與橢圓交于,兩點，使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點？若存在,求出直線方程；若不存在,請說明理由.【答案】（1）；（2），

16、或.【解析】試題分析：（1）由題意，根據(jù)離心率定義得到與的關(guān)系式，再由點求出直線的方程，根據(jù)點到直線距離公式，得到與的關(guān)系式，再結(jié)合，從而得出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可將直線斜率存在與否進行分類討論，由“線段為直徑”，得，再利用向量數(shù)量積的坐標運算，從而解決問題.試題解析：（1）由已知得，因為過橢圓的上頂點和右頂點的直線與原點的距離為，所以 ，解得 故所求橢圓的方程:（2）橢圓左焦點，當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于兩點，顯然不存在滿足條件的直線.6分當直線斜率存在時，設(shè)直線 聯(lián)立，消得， 由于直線經(jīng)過橢圓左焦點，所以直線必定與橢圓有兩個交點，恒成立設(shè)則， 若以為直徑的圓過點，則，即 (*

17、)而，代入(*)式得， 即，解得，即或所以存在或使得以線段MN為直徑的圓過原點故所求的直線方程為，或.20.已知函數(shù).（1）若在點處的切線方程為,求的值;（2）若是函數(shù)的兩個極值點,試比較與的大小.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先求得切點的坐標，然后利用切點和斜率列方程組，解方程組求得的值.（2）將轉(zhuǎn)化為只含有的式子.對函數(shù)求導，利用二次函數(shù)零點分布的知識求得的取值范圍并利用韋達定理寫出的關(guān)系式.化簡的表達式，并利用構(gòu)造函數(shù)法求得.用差比較法比較出與的大小關(guān)系.【詳解】（1）根據(jù)題意可求得切點為,由題意可得,即,解得.（2）,則.根據(jù)題意可得在上有兩個不同的根.即,解得,且.

18、令,則,令,則當時,在上為減函數(shù),即,在上為減函數(shù),即,又,即,.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解有關(guān)切線方程的問題，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點問題，難度較大.21.某飲料公司根據(jù)市場調(diào)查數(shù)據(jù)分析得到以下結(jié)果：如果某款飲料年庫存積壓率低于千分之一，則該款飲料為暢銷產(chǎn)品，可以繼續(xù)大量生產(chǎn). 如果年庫存積壓率高于千分之一，則說明需要調(diào)整生產(chǎn)計劃. 現(xiàn)公司 20132018 年的某款飲料生產(chǎn)，年銷售利潤及年庫存積壓相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份201320142015201620172018年生產(chǎn)件數(shù)（千萬件）3568911年銷售利潤（千萬元）2240486882100年庫存積壓件數(shù)（千件）29583

19、0907580注：（1）從公司 20132018 年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取 2 年的數(shù)據(jù)，求該款飲料這 2 年中至少有 1 年暢銷的概率.（2）公司根據(jù)上表計算出年銷售利潤與年生產(chǎn)件數(shù)的線性回歸方程為.現(xiàn)公司計劃 2019 年生產(chǎn) 11 千萬件該款飲料，且預計 2019 年可獲利 108 千萬元. 但銷售部 門發(fā)現(xiàn)，若用預計的 2019 年的數(shù)據(jù)與 20132018 年中暢銷年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程， 再通過兩個線性回歸方程計算出來的 2019 年年銷售利潤誤差不超過 4 千萬元，該款飲料的 年庫存積壓率可低于千分之一. 如果你是決策者，你認為 2019 年的生產(chǎn)和銷售計劃是否需要調(diào)整？請說明

20、理由.【答案】（1）；（2）不需要調(diào)整.【解析】【分析】（1）計算出每年的年度庫存積壓率，可知13，15，17，18年暢銷，14，16年不暢銷；列舉出所有年份中任取2年的取法共15種，其中2年均為不暢銷的取法僅有1種，故根據(jù)古典型及對立事件的概率可求得結(jié)果；2）數(shù)據(jù)重組后依據(jù)公式計算出新的回歸直線方程，并求出2019年的年銷售利潤預估值；再計算出原回歸直線方程的2019年的年銷售利潤預估值，可知兩值相差3.66千萬元，由此可得結(jié)論【詳解】（1）公司2013-2018年年度存積壓率分別為：，則該飲品在13，15，17，18年暢銷記，14，16年不暢銷記為，任取2年的取法有：，共15種.其中2年均不暢銷的取法是，共1種該款飲料這年中至少有1年暢銷的概率為：（2）由題意得，2019年數(shù)據(jù)與2013，2015，2017，2018年數(shù)據(jù)重組如下表：年份20132015201720182019年生產(chǎn)件數(shù)（千萬件）3691111年銷售利潤（千萬元）224882100108經(jīng)計