線性映射和線性變換

1、關(guān)于線性映射與線性變換第一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種“動(dòng)態(tài)的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時(shí)也意味著線性變換的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。第二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2維空間的線性變換第三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3維空間的線性變換第四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 線性映射及其矩陣表示定義1 設(shè)V1，V2是數(shù)域P的兩個(gè)線性空間，A 是V1到V2的一個(gè)映射，如果對V1中任意

2、兩個(gè)向量,和任意數(shù)kP ，都有 A(+)= A ()+ A () A (k)=k A ()則稱A是V1到V2的線性映射或線性算子。若V1=V2=V，則稱A是V上的線性變換。第五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性映射與變換的舉例由數(shù)k決定的數(shù)乘變換： 事實(shí)上， 單位變換(恒等變換)：零變換：I :VV:I ()= ,VO :VV:O ()=0 ,VK:VV:K()= k ,V第六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性映射與變換的舉例線性空間Pxn的微分運(yùn)算是線性變換.I (f(x)=f(x)，f(x) Pxn線性空間Ca，b 的積分運(yùn)算是線性變換.作為數(shù)學(xué)分析的兩大運(yùn)算：微分

3、和積分，從變換的角度講都是線性變換當(dāng)然，非線性映射也是大量存在的，I (A)=detA，A P nn不是線性映射。第七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 設(shè)A 是線性空間V1到V2的線性映射，則 (1) A (0)=0, (2) A (-)=-A () (3)若1, 2 m 是V1的一組向量，k1, k2,kmP,有A (k11+ k22 +km m)=k1A (1)+ k2A (2)+km A (m) (4)若1, 2 m 是V1的一組線性相關(guān)向量，則A (1),A (2), , A (m)在V2中線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)A是一一映射時(shí)， V1中線性無關(guān)向量組的像在V2中也線性無關(guān)。

4、線性映射的性質(zhì)第八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 設(shè)A ,B 是線性空間V1到V2的兩個(gè)線性映射，若1， 2， n是V1的一組基，并且A (i)=B (i)(i=1,2n),則A = B.注：定理2說明線性映射由基像組唯一確定第九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 線性映射的運(yùn)算(1)設(shè) A,B 都是V1到V2的線性映射,A,B的和A+B為: (A+B)()= A()+B()，任意的 V1。 (2)設(shè) A是V1到V2的線性映射,B 是V2到V3的線性映射定義A,B的乘法BA為:(BA)()= B(A()，任意的 V1.(3)設(shè) A是V1到V2的線性映射, kP，定

5、義k與A的數(shù)量乘積kA為:(kA) ()=kA()，任意的 V1第十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性映射的加法適合交換律和結(jié)合律，線性運(yùn)算的乘法適合結(jié)合律。對線性映射定義了加法和數(shù)乘運(yùn)算后可知，V1到V2的所有線性映射組成的集合構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，記為L(V1,V2)。第十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 線性映射的矩陣表示 是 的基, 是 的基. 設(shè) 是線性映射， 記: 則存在唯一的 使得: 稱矩陣A為線性映射T在基 與基 下的矩陣第十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線性空間V1到V2的線性映射L與m

6、n矩陣一一對應(yīng)，且這種對應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算。L(V1,V2)與Pmn同構(gòu)。注：第十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理7 設(shè)T為V1到V2的線性映射， 則: 稱為線性映射在基 與基下的坐標(biāo)變換公式第十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 設(shè)V1=Rxn，V2=Rxn-1，取線性映射T：V1V2 T( f (x)=f (x) , f (x) R x n，求T 在Rxn的一組基1,x,xn-1與Rxn-1的基1,x,xn-2下的矩陣D第十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月D( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-

7、1D( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1 解 在R x n中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，則第十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月D( 1, 2 , n)=(1, 2 n-1)即于是D在基1，x, xn-1與1，x, xn-2下的矩陣為D=第十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2則D在基1，x, xn-1與1，2x, (n-1)xn-2下的矩陣為D=說明同一個(gè)

8、線性映射在不同基下的矩陣不同第十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理8 設(shè)A是n維線性空間V1到m維線性空間V2的線性映射， 1, 2, n和 是V1的兩組基,由1, 2, n 到 的過渡矩陣是Q ， 和是V2的兩組基。由 到 的過渡矩陣是P， A在基 與基 下的矩陣為A，而在基 與基 下的矩陣為B，則B=P-1AQ，（稱A與B相抵）第十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1 V是數(shù)域P上的線性空間，對V 中的任意兩個(gè)向量，和任意kP，映射T ：VV 滿足 (i) (可加性):T(+)= T()+ T() (ii) (齊次性):k T()= T(k) 稱T 為V上的線性

9、變換，T()為在變換T下的像， 稱為原像。 2.3 線性變換第二十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 對每個(gè)x=(1, 2, 3)R3,定義變換 T (x)=(1, 2,0)則變換T 是線性空間R3上的線性變換（稱為投影變換）第二十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 設(shè)T 是線性空間V上的線性變換，則 (1) T(0)=0, (2) T (-)=- T () (3)若1, 2 m 是V的一組向量，k1, k2,kmP,有T (k11+ k22 +kmm)=k1T(1)+ k2T(2)+kmT (m) (4)若1, 2 m 是V的一組線性相關(guān)向量，則T(1), T (

10、2), , T (m)也線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)T 是一一映射時(shí)， V中線性無關(guān)向量組的像也線性無關(guān)。線性變換的基本性質(zhì)第二十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 L (V,V )表示線性空間V 上的所有線性變換的集合，對任意的T,T1,T2L(V,V ), V,定義則可以驗(yàn)證，T1+T2,kT, T1T2都是線性變換，因此L (V,V ) 是數(shù)域P上的線性空間。注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運(yùn)算是兩個(gè)不同的概念.（1）線性變換的和：（2）線性變換的數(shù)乘：（3）線性變換的乘法：T1T2()=T1(T2()線性變換的運(yùn)算第二十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月特殊的變換：(1)對任意的

11、kP，定義數(shù)乘變換K(x)=kx，(2)恒等變換：I(x)=x，(3)零變換：O(x)=0(4)逆變換：設(shè)A 是線性空間V上的線性變換，如果存在V的變換B，使得AB =BA =I，稱A可逆，B 為A 的逆變換.(5)線性變換的冪：A0=I，Am=Am-1A=AAA指數(shù)法則：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第二十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性變換的矩陣用矩陣表示即為 設(shè)1,2,n為數(shù)域P上線性空間V的一組基， T為V上的線性變換. 基向量的象可以被基線性表出,設(shè)第二十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月其中 矩陣A稱為線性變換T在基下的矩陣. 第二十六張，PPT共

12、八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣； 零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣； 數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)乘矩陣； A的第i 列是 在基 下的坐標(biāo)，它是唯一的. 故T在取定一組基下的矩陣是唯一的. 注：第二十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性變換運(yùn)算與矩陣運(yùn)算定理1 設(shè) 為數(shù)域P上線性空間V的一組的唯一一個(gè)矩陣對應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：基，在這組基下，V的每一個(gè)線性變換都與 中 線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和； 線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積； 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積； 可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.L(V,V

13、)與Pnn同構(gòu)；第二十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 設(shè)線性空間 的線性變換為 求在自然基底下的矩陣. 解： ()=第二十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 設(shè)T是n維線性空間V的線性變換， 和 是V的兩組基,由 到 的過渡矩陣是P ，T在基 與基 下的矩陣分別為A和B，則B=P-1AP，（稱A與B相似）在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一線性變換 線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反過來，線性變換在不同基下的矩陣表示第三十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)B=P -1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA

14、=detB;(3)A與B的特征值相同和特征多項(xiàng)式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.補(bǔ)充:相似矩陣的性質(zhì)第三十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 在線性空間 中，線性變換定義如下：（1）求 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：(1)由已知，有第三十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為A，即即： 為過渡矩陣，又所以(1, 2, 3)= (1, 2, 3 )P)= (1, 2, 3 )P= (1, 2, 3 )AP第三十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月因而，第三十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)在1, 2,

15、 3下的矩陣為B，則B=P-1AP（2）求在1, 2, 3下的矩陣.第三十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 定義1 設(shè)T是數(shù)域P上的線性空間V 的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域P中任一元素，V中都存在一個(gè)非零向量 ，使得 T()= 那么稱為T的一個(gè)特征值，而 稱為 T的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。 2.4 特征值和特征向量第三十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月由此可得： 是線性變換T的特征值，則是對應(yīng)矩陣A的特征值. 是 線性變換T的屬于 的特征向量，則 是矩陣A的屬于 的特征向量. 設(shè)V是數(shù)域P上的n 維線性空間，V中取定一組基1 ,2 ， n.設(shè)線性變換T在這組基下的矩

16、陣是 A，向量在這組基下的坐標(biāo)是x,那么我們有 T()=Ax=x第三十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 因此，只要將矩陣A的全部特征值求出來，它們就是線性變換T的全部特征值；只要將矩陣 A的屬于 的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是線性變換T的屬于 的全部特征向量。 第三十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，T是V上的一個(gè)線性變換， 在 V的一個(gè)自然基下的矩陣是求線性變換T的全部特征值與特征向量。解： 的特征多項(xiàng)式為第三十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 的特征值是3（二重）與-6。 對于特征值 3，解齊次線性

17、方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： 1=-2 1 0T, 2=2 0 1T,于是 T屬于 3的全部特征向量是 k11+ k22,k1,k2P這里 為數(shù)域 P中不全為零的數(shù)對。第四十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于特征值-6 ，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： 3=1 2 -2T于是T的屬于-6的全部特征向量 k3,kP這里k為數(shù)域P中任意非零數(shù)。第四十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)： （1） n 階矩陣A的屬于特征值0的全部特征向量再添上零向量，可以組成V的一個(gè)子空間，稱之為矩陣A的屬于特征值0特征子空間，記為V0 ，不難看出 V0 正是特征

18、方程組 (0I-A)X=0的解空間。顯然，V0的維數(shù)是屬于0的線性無關(guān)特征向量的最大數(shù)目，稱dim(V0 )為特征值0的幾何重?cái)?shù).（2） V0屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。 第四十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月（3） 設(shè)1, 2, r, 是A的r個(gè)互不同的特征值， i 的幾何重?cái)?shù)為qi, ，i1, i2, iqi, 是對應(yīng)于i的qi 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則所有這些特征向量 11, 12, 1q1, 21, 22, 2q2, r1, r2, rqr,仍然是線性無關(guān)的。第四十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月由代數(shù)基本定理知，n階矩陣A在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰有n個(gè)特征值1,

19、2, n，其中i作為特征方程的根的重?cái)?shù)，稱為i的代數(shù)重?cái)?shù),記為mi (A)，矩陣A的特征值的全體稱為A的譜，最大特征值的模稱為A的譜半徑，記為(A).（4）任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。 (5) A是 n階矩陣，其特征值為1,2, n，則 第四十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1 數(shù)域 P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換T 稱為可以對角化的，如果V中存在一組基，使得T在這個(gè)基底下的矩陣為對角矩陣。定義2 如果n階矩陣A與對角矩陣相似，則稱矩陣A是可對角化的。(單位矩陣只和自己相似) 2.5 矩陣的相似對角形第四十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1

20、n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；定理2 若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值，則A是可對角化的。（注：不是充要條件）定理3 n階矩陣A可對角化的充要條件每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。 第四十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 判斷矩陣是否可以對角化？ 解： 先求出A的特征值第四十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月于是A的特征值為 （二重）由于 是單的特征值，它一定對應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。下面我們考慮于是 從而不相似對角矩陣。第四十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，T是V上的一個(gè)線性變換， 在

21、V的一個(gè)基1, 2, 3 下的矩陣是判斷線性變換T是否可對角化。解： 根據(jù)上一節(jié)例1的討論可知 T有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量:第四十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月由基 到基 的過渡矩陣是于是有因此，T可以對角化，T在這組基下的矩陣是第五十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1 設(shè)T是數(shù)域P的線性空間V上的線性變換 ,W是V的子空間。如果對任意向量 都有 ，則稱W是T的不變子空間。2.6 線性變換的不變子空間*（Invariant subspace）第五十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2 設(shè)T 是數(shù)域 P上的線性空間V上的線性變換 。令R(T)=Im(T)

22、=T(a)|aVKer(T )=N(T)=aV|T( a)=0稱R(T)是線性變換T的值域，而Ker(T)是線性變換的核。R(T)的維數(shù)稱為T的秩，Ker(T)的維數(shù)稱為T的零度。線性變換的值域與核第五十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 設(shè)T是數(shù)域 P上的線性空間V上的線性變換 。令T 在V的一組基1,2,n下的矩陣表示為A，則（1）R(T)和Ker(T )都是V的子空間；（2）R(T)=span(T(1),T(2),T(n) （3）rank(T)=dim(R(T)=rank(A) （4）dim(R(T )+dim(Ker(T )=n第五十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于202

23、2年6月證明（1）顯然R(T )是V的非空子集，對任意T(),T() R(T )，kP 有 T()+T()=T(+) R(T ) kT()=T(k) R(T )所以R(T )是V的子空間 又T(0)=0,所以Ker(T )是V的非空子集,對任意, Ker(T )，kP T(+)=T()+T()=0Ker(T ) T(k)=kT()=0Ker(T )所以Ker(T )是V的子空間 第五十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 設(shè)線性變換 T在4維線性空間V的基1, 2, 3,4 下的矩陣為（2）求Im(T )的一組基;（1）求Ker(T ) 的一組基;第五十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作

24、于2022年6月解（1）對任意有0=T()=T (x13+x44)因此AX=0,對A做初等變換第五十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解得其基礎(chǔ)解系則 的基為第五十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）由于從而這說明Im(T)=span(T1, T2,T3,T4)= span(T1,T2)第五十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 線性空間 和零子空間 都是 上的線性變換 的（平凡）不變子空間。 例3 線性空間V上的線性變換T的值域Im(T)和核Ker(T) 都是V的不變子空間。 第五十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 線性空間V上的線性變換T

25、的對應(yīng)于某個(gè)特征值 的所有特征向量加上零向量 組成的集合也是 的子空間，稱為 的特征子空間(eigenspace) 。進(jìn)一步， 也是 的不變子空間。第六十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 線性變換T的不變子空間的交與和仍然是T的不變子空間。定理3 設(shè)線性空間V的子空間W=span1, 2, m，則W是線性變換T的不變子空間的充要條件是T(i)W(i=1,2,m)第六十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4 線性空間V上的線性變換T有非平凡的不變子空間的充要條件是T在V的一組基下的矩陣表示為塊上三角矩陣，即形如有不變子空間的線性變換，其矩陣表示是否有什么特殊形式呢？第

26、六十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理5 線性空間V上的線性變換T在V的一組基下的矩陣表示為塊對角矩陣的充要條件是V可以分解為T的若干個(gè)非平凡不變子空間的直和。不變子空間是特征值的根子空間定理6 n維線性空間V上的線性變換T在V的某個(gè)基下的矩陣表示為對角矩陣 的充要條件是V可以分解為T的n 個(gè)一維特征子空間的直和 V= V1 V2Vn這里 為T的兩兩不同的特征值。第六十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性變換T的矩陣化簡為一個(gè)塊對角矩陣（對角矩陣）與線性空間分解為若干個(gè)不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)?。第六十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：設(shè)A 為一個(gè)n 階

27、復(fù)矩陣，如果其滿足 AAH=AHA=I則稱A是酉矩陣，一般記為AUnn。 設(shè)A為一個(gè)n 階實(shí)矩陣，如果其滿足 AAT=ATA=I則稱A 是正交矩陣,一般記為AEnn。 2.7 酉變換與酉（正交）矩陣Unitary transformation and Unitary matrix（Orthogonal matrix）第六十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣第六十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月是一個(gè)酉矩陣第六十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè) A,B是酉矩陣，那么設(shè) ，那么定理1： 設(shè) ，A是一個(gè)酉矩陣

28、的充分必要條件為A 的 n個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第六十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2 設(shè)T是n為酉（歐氏）空間V的線性變換，如果對任意的，V都有則稱T是V的酉（正交）變換。正交變換保持V中的內(nèi)積不變，根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。酉（正交）變換第六十九張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2設(shè) 是歐氏空間 上的一個(gè)線性變換，則下列命題是等價(jià)的：（1） T是正交變換；（2） T保持向量的長度不變，即 |T|=|;（3） 若 是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基；（4） T在V的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交

29、基下的矩陣表示 A為正交矩陣。第七十張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月證明： 若線性變換保持長度不變，即展開上式同樣有 根據(jù)定義顯然成立。左式=(T, T)+2(T(), T()+(T, T)=(,)+2(T(),T()+(, )右式=(, )+2(,)+(, )化簡得(T(), T()=(,) #第七十一張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月因此則 對任意 ，令 顯然成立。第七十二張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) 在 下的矩陣為 ，即由于 也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以 A 是兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣，因此 A是正交矩陣。第七十三張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月

30、設(shè) 是正交矩陣，則所以 也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。第七十四張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Householder變換（即反射變換）和Givens變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交變換，它們的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。 補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換第七十五張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將線性空間 中的所有向量均繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ，這時(shí)像 與原像 之間的關(guān)系為第七十六張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例2（反射變換或Householder變換）將 中任一向量x 關(guān)于橫軸做反射得向量y。這時(shí)像(x2,y2) 與原像 (x1,y1)之間的關(guān)系為第七十七張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 從幾何上看，圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換或反射變換后只是位置改變了，形狀和大小都沒有改變，也就是說變換前后的圖形是全等的，即這兩種變換都是正交變換。將這兩種變換擴(kuò)展到n維歐氏空間，得到兩類重要的正交變換：第七十八張，PPT共八十七頁，創(chuàng)作于2022年6月一般形式的Givens矩陣為：第j列第i列對應(yīng)的變換稱為Givens變換，或初等旋轉(zhuǎn)變換：在n維歐式空間中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2en，沿平面ei,ej旋轉(zhuǎn)。第i行第