《異面直線及其所成的角》教案及說明

1、異面直線及其夾角【學(xué)目標(biāo):知識目標(biāo)：1、掌握異面直線的概念，會畫空間兩條異面直線的圖形, 會判斷兩直線是否為異面直線。2、掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能 求出一些較簡單的異面直線所成的角.能力目標(biāo)：在問題解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生的實驗觀察能力、空間想能 力象、邏輯思維能力、分析問題、解決問題的能力。教學(xué)重點、難點：重點;異面3線所成角的概念，能求出一些較簡單的異面直線所成的角。難點：異面直線所成角的定義，如何作出異面直線所成的角。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件教學(xué)課時：二課時教學(xué)過程：第一課時一、導(dǎo)入新課 1.引導(dǎo)學(xué)生觀察立交橋上的車輛為什么能暢通無阻？兩條道路所在的直線不在同一平面內(nèi)。它

2、們既不平行也不相交，這樣的兩條直線 有什么特點呢？2,請學(xué)生做一個小實驗，拿兩支筆在空間中你能擺出幾種位置關(guān)系？有3種：平行、相交、不平行也不相交的兩條直線（對于這樣的兩條直線以前我 們沒有學(xué)習(xí)過，那么它們之間有什么特點和關(guān)系呢？ ）o （板書課題）二、新課講解前面我們學(xué)習(xí)過平行線，相交線，它們是同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,通過 前面的實驗和動畫的觀察，在空間還存在另一種兩條直線的位置關(guān)系（不平行也不相 交）。我們給它一個新的名稱“異面直線”。.異面直線的定義：不同在住伸一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。.兩條異面直線的性質(zhì)：既木*行，也不相交。（如前面我們所說的兩個例子，同學(xué) 們還能找出具有

3、這種性質(zhì)的兩條直線嗎？）找兩位學(xué)生說說他們所找的情況。.空間兩條異面直線的畫法。如何用圖形來表示兩條異面直線，通常怎么樣畫？（老師板演，同時讓學(xué)生總結(jié)其b這三種表示方法有一個共同的特點，就是用平面來襯托，離開平面的襯托，不同在任 何一個平面的特征難以體現(xiàn)。（今后我們也可以不用平面來襯托） 同學(xué)們想一想如果這樣表示兩條異面直線行嗎？為什么？.異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直 線是異面直線。（這一過程主要老師進(jìn)行分析，讓學(xué)生完成證明過程，并及時進(jìn)行改 正，完善證明過程）證明：（反證法）假設(shè)直線AB與1共面，VBea,lca,Bl，點B和1確定的平面為a,.

4、二直線AB與1共面于a ,，Aw a ,與A任a矛盾，所以，AB與1是異面直線.歸納異面直線的三種判定方法：定義、定理、性質(zhì)：（既不平行，也不相交）。.異面直線所成的角：由動畫引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生如何尋找異面直線所成的角的大小，同學(xué)們都知道兩條相交直 線所成的角大小可以度量，那么兩條異面直線的夾角我們?nèi)绾吻竽兀浚ㄑ菔緞赢嫴⒆?同學(xué)們思考）用化歸的思想，將兩條異而直線平移成相交，找到所成的角（所成的角 共有4個，兩對對頂角，這時根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng) 該是那一個角）。已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點0作直線aa,bb, a,b所成的角的大小與點O的選擇無關(guān)，把球卜所成的銳

5、角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）.為了簡便，點。通常取在異面直線的一條線上. （蠅調(diào)：這不是唯一的方法） （這是根據(jù)平行線的性質(zhì)定理；如果一個角的兩條邊和另一個角的兩條邊分別平行并 且方向相同，那么這兩個角相等。）a.同學(xué)們想一想兩條直線在什么條件下是垂直，進(jìn)一步提出問題，兩條異面直線能 不能垂直呢？如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直.兩條異面 直線a,b垂直，記作a J.b.異面直線所成的角的范圍：（0,2.2由動畫演示得出異面直線所成的角的范圍：及異面直線垂直的概念。（這一環(huán)節(jié)主要是先讓學(xué)生觀察動畫，然后讓他們討論異面直線所成角的范圍）三、例題講解例1在正方

6、體ABCD-AECD中，E是AB的中點,（1）求BA，與CC7夾角的度數(shù).（2）求BA，與CB，夾角的度數(shù).（3）求Me與CB，夾角的度數(shù).解： 由BBCC可知NBBA等于異面直線BA，與CC的夾角，所以異面直線BA，與CU的夾角為45。（2）連結(jié)CD7, B,則BA）/CM NB/Ciy等于異面直線BA，與CBZ的夾角，由CB，D/ 為等邊三角形，NB/CD，=60BA，與CB，的夾角為60（3）連結(jié)Xd, de,則Mdcb/, nda/e等于異面直線Me與cb，的夾角。設(shè) AA12, AE= 1, A住DE=G AzD=241,在三角形 DAE 中,NDA傳包空了二叵,NDA/E二arcc

7、os典 2A/DWE 55AZE 與 CB，的夾角為 arccos總結(jié)出求異面直線所成的角的方法：（板書）（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線，這兩條相交直 線所成的銳角（或直角）即為所求的角。（2）同時作兩條異面直線的平行線，并使它們相交所成的銳角（或直角）即為所求 的角。（3）向量法：用向量的夾角公式求解。（這一部分主要通過前面我們所學(xué)的向量知識 求解，教師分析出用向量求角的過程）。（4）求異面直線的夾角的一般步驟是：“作一證一算一答”.注：無論用哪種方法都應(yīng)注意到異而直線所成角的范圍.以及利用二角形中位線平 移法、三角形相似、構(gòu)造平行四邊形等知識進(jìn)行直線的平移。例

8、2、如圖空間四邊形ABCD中，四條棱AB, BC, CD, DA及對角線AC, BD均相等，E 為AD的中點，F(xiàn)為BC中，（1）求直線AB和CE所成的角。（初步應(yīng)用）（2）求直線AF和CE所成的角。（深化提高）解：（1）取BD中點M,連結(jié)MC, ME,則MEAB, NCEM等于異面直線AB和CE的夾角，取 ME 中點 0,連結(jié) CO, CM=CE, 0C1ME設(shè) AB=2, CM=CE= y3 , OE=-ME=-AB=-, 242OEcosZCEM=CE 6，直線AB和CE所成的角二arccos J6（2）連結(jié)FD,取FD中N,連結(jié)EN,CN.則NEAF, NCEN等于異面直線AF和CE的夾

9、 角。設(shè)AB=2,在RtANFC中，CN二，十（手尸:與NE=-AF=, CE=5 在ANFC 中, 22cosNCEN 二ce2 + en3-cn22CE.ENNCEN= arccos 3AF和CE的夾角為arccos 3請同學(xué)們思考：如果上式中我們求出的esNCEN-：時我們所求的夾角應(yīng)該等于多少呢？主要根據(jù)是什么？四、課堂練習(xí)：正方體ABCD - ABCD中.（1）正方體棱所在的直線中與直線BA，是異面直線有幾條？ 答案6條（2）方體棱所在的直線中與直線CC7垂直的直線 幾條？ 答案8條2.如圖，正方體ABCD-AB，CD中.E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，0為正方形 ABdl/的中心必

10、做題：（1）求直線A,E與BZF夾角的度數(shù).4答案（arccos ）選做題：（2）求直線Me與do夾角的度數(shù).答案（arccos ）五、小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了兩條異面直線的概念及它的判斷方法，明確了空間兩條直 線的位置關(guān)系有三種，“平行、相交、異面”。認(rèn)真分析研究了異面直線夾角的概念， 夾角的范圍，擴充空間兩條直線垂直的定義。能用平移的方法求異面直線的夾角和 用向量法求夾角的主要過程和它們各自所具有的特點和要求，求異面直線的夾角的一 般步驟是：“作一證一算一答”.六、課后作業(yè)：課后作業(yè):必做題:P課本15： 3, 4, 5, 7選做題：如圖，4BC-ABC是直三棱柱,立，艮分別是AB，AC的

11、中點，若AB=BC=CA=2, CC產(chǎn)1,求BE與AF1所成的角的余弦值。板書設(shè)計922異面直線及其夾角異面直線的定義及畫法：例1:例2課堂練習(xí) 1異面直線所成的角的定義：23求異面直線夾角的一般步驟： 課后反思:異面直線及其夾角教案說明“異面直線及其夾角”是人教版高中數(shù)學(xué)第二冊（下B,必修）第九章 “空間的直線與平面”中的內(nèi)容。整個課題按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與我校實際 情況來看，大概需要2個課時完成，我提交的是第一課時教案?，F(xiàn)對教案的設(shè) 計做以下說明：一、授課內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)定位及它的數(shù)學(xué)本質(zhì)1、教學(xué)目標(biāo)定位我校地處西部偏避地區(qū)，是一所面向農(nóng)村的高中學(xué)校，學(xué)生的基礎(chǔ)比較薄 弱，發(fā)散性思維和抽象思

12、維還未能得到充分的開發(fā)。因此，一直以來，我的數(shù) 學(xué)課堂教學(xué)的側(cè)重點是：運用探究性教學(xué)方式，積極調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性， 大力培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維，而“異面直線及其夾角”是立體幾何教學(xué)的起始 階段。因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖向?qū)W生展示嘗試觀察、歸納、類比、平行變化 等思想方法，為了降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，我按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求制定了適合 本地學(xué)生實際水平的教學(xué)目標(biāo)：（1）知識目標(biāo)：.掌握異面直線的概念，會畫空間兩條異面直線的圖形，會判斷兩直線是否為異面直線。.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較簡單的異面直線所成的角（2）能力目標(biāo)：在問題解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生的實驗觀察能力、空間想象能

13、力、 邏輯思維能力等分析和解決問題的實際能力。經(jīng)歷異面直線所成角 的形成過程體驗“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而“親近”數(shù)學(xué)。（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的審美觀，讓學(xué)生體會客觀世界事物普遍聯(lián)系的辯證 唯物主義的觀點，會用聯(lián)系的觀點，運動變化的思想去分析問題， 解決問題。形成刻苦鉆研，實事求是，嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì)。2、剖析本節(jié)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)立體幾何中的“異面直線及其夾角”是今后學(xué)習(xí)空間幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，通 過掌握“異面直線”和“夾角”的概念，揭示各種空間圖形中的線線、線面、 面面的位置關(guān)系的判斷和推理的規(guī)律，還可以通過它來找一些距離問題。主要 是把一個空間圖形進(jìn)行變化（平移）轉(zhuǎn)化為一個平面圖，然后利用三

14、角函數(shù)的 知識求解。其實就是利用圖形變化建立數(shù)學(xué)模型，把一個抽象的空間問題轉(zhuǎn)化 成一個解三角函數(shù)式的問題，也就是把一個幾何問題轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)問題。這 是我們學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵所在。二、授課內(nèi)容的地位作用及應(yīng)用立體幾何初步是空間與圖形領(lǐng)域的重要組成部分，主要發(fā)展學(xué)生的空間觀 念，使人們更好地認(rèn)識和描述生活空間并進(jìn)行交流，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí) 了平面內(nèi)的直線位置關(guān)系，這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，線線關(guān)系是 線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)，而異面直線是線線關(guān)系中的主要內(nèi)容，占據(jù)重要 地位。本節(jié)內(nèi)容也是立體幾何中的基礎(chǔ)，要引導(dǎo)學(xué)生去積極探索，逐步構(gòu)建立 體幾何的知識體系，異面直線所成角的大小是一種重

15、要的定量計算，它是立體 幾何中承上啟下的關(guān)鍵章節(jié)，一方面本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)鞏固深化了前一節(jié)“空間 的平行直線”的內(nèi)容，另一方面為以后的線面的垂直、空間向量等內(nèi)容的學(xué)習(xí) 作準(zhǔn)備。它在實際生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如對一些實物距離的測算、立交橋 的設(shè)計，等等。三、授課內(nèi)容的診斷分析1、本節(jié)內(nèi)容易了解的地方：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中我認(rèn)為學(xué)生容易掌握的知識是利用平移法（三角形中位 線、三角形的相似以及構(gòu)造平行四邊形）添加輔助線找出兩條異面直線的夾角 或用向量法等手段直接利用正余弦定理進(jìn)行求解，這些內(nèi)容是本節(jié)課的重點內(nèi) 容，從學(xué)生的基礎(chǔ)來看都能比較好地掌握。同樣對異面直線的概念、異面直線 的夾角的概念，也是學(xué)生容易掌

16、握的知識，因為這些知識都是從以前學(xué)過的知 識的基礎(chǔ)上引申而出的，學(xué)生理解起來不難.2、本節(jié)內(nèi)容中最容易誤解的地方在本節(jié)內(nèi)容中最容易出錯的地方，我認(rèn)為是當(dāng)利用余弦定理或利用向量法 求角度時，如果計算出的余弦值為負(fù)值時，學(xué)生不注意異面直線所成角的范圍, 而導(dǎo)致表示錯誤，或者在求解一些實際問題時也注意不到這一知識而出現(xiàn)錯誤 （如一條直線和一個面成60度角時，它與這個面中的所有直線所成的角中最 大的角是多少？這個問題有許多同學(xué)可能出現(xiàn)120度的答案）。上面這兩個問 題出錯的原因在于同學(xué)們對異面直線所成角的范圍沒有考慮，而直接從圖形當(dāng) 中去回答的。這是這節(jié)課當(dāng)中最為關(guān)鍵的一點，所以我在備課的過程中對這點

17、 知識進(jìn)行了細(xì)化，要想讓學(xué)生在今后的做題中不出現(xiàn)錯誤，我把異面直線的夾 角范圍以及它的作用講得比較詳細(xì)，而且在講題時特別提到了這種問題，就是 想讓學(xué)生明白我們在求角度時必須在它的范圍之內(nèi)。它的表示與三角函數(shù)中的 表示不一樣。特別強調(diào)的是不管在什么樣的問題中，兩條異面直線所成角的大 小必須在之內(nèi)。U!1、授課（口于內(nèi)容的教法特點及預(yù)期效果分析1、教法特點數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué) 生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然:為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循 學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)與啟發(fā)式的教學(xué)原則，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和 學(xué)習(xí)策略，學(xué)會學(xué)習(xí)，這是高中數(shù)學(xué)教育追求的

18、重要理念，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、 樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，獲取新知識的能力， 分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力:數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心課 程之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且有利 于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。我以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，輔以多媒體手段, 采用著重于學(xué)生探索研究的啟發(fā)式教學(xué)方法，結(jié)合師生共同討論、歸納。在課 堂結(jié)構(gòu)上，我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，我設(shè)計了創(chuàng)設(shè)情境一一引入概念 觀察歸納一一形成概念討論研究一一深化概念動畫演示一突破難點 例題講解一一突破重點歸納總結(jié)一一積累經(jīng)驗及時訓(xùn)練一鞏固新知 總結(jié)反思一一提高認(rèn)識 任務(wù)后延一一自主探究九個層次的學(xué)法，它們環(huán) 環(huán)相扣，層層