利用向量知識(shí)求線線角,線面角,二面角的大小

1、第 頁直線和平面所成的角、二面角都是教學(xué)大綱和高考考綱要求掌握的，是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容.要熟練掌握它們，需要從以下四個(gè)方面入手。一、1個(gè)公式公式cosq=cosqcosq中涉及三個(gè)角，q是指平面的斜線l與平面內(nèi)過斜足且不同于射影的直線m12所在所成的角，q是指l與其射影l(fā)所成的角，q是指l與m所成的角.其中Ovcosq1,qq.由此可1221得最小角定理.二、2個(gè)定義線面角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角，叫做斜線和這個(gè)平面所成的角（斜線和平面的夾角）.如果直線和平面垂直，那么就說直線和平面所成的角是直角；如果直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，那么說直線和平面所成

2、的角是零度的角.直線和平面所成的角的取值范圍為0鞍,90，斜線和平面所成角的取值范圍為（0鞍,90）.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，其中直線、半平面分別叫做二面角的棱和面一個(gè)平面垂直于二面角a-l-b的棱l，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線OA、OB，O為垂足，則DAOB叫做二面角a-l-b的平面角.它決定著二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范圍為0鞍,180.三、3個(gè)定理最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角.平面與平面垂直的判定定

3、理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.四、4類求法幾何法求直線和平面的夾角：根據(jù)直線和平面所成角的定義，先找出或作出直線在平面內(nèi)的射影，然后把直線、射影對(duì)應(yīng)的線段放在三角形中進(jìn)行求解，其中能夠?qū)ふ业酱怪标P(guān)系用直角三角形求解更佳.向量法求直線和平面的夾角：主要適用于圖形比較規(guī)則，容易建立空間直角坐標(biāo)系或容易選擇空間向量的基底（要求作為基底的三個(gè)向量的模及夾角已知）的題目.（1）平面向量法：在斜線上取向量a和其射影上取向量a（注意方向，夾角為銳角），則cos=a-1，這里a

4、、a形式上在同一個(gè)平面內(nèi)；TOC o 1-5 h zIa|xaI一（2）法向量法：在斜線上取向量a，并求出平面的法向量n，所求夾角記為q，則IanIIaxnIsinq=IcosI=，所以q=arcsin.-IaIXnIIaIXnIf需要注意的是，當(dāng)法向量與坐標(biāo)平面平行或垂直時(shí)，可以直接給出法向量，當(dāng)法向量與坐標(biāo)平面不平行也不垂直時(shí)，由于法向量不唯一，不妨設(shè)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)中的某一個(gè)坐標(biāo)為1，而且盡量讓1以外的坐標(biāo)在點(diǎn)乘中與0相乘，這樣計(jì)算量較小.幾何法求二面角的大?。海?）定義法（垂面法）：過二面角內(nèi)的一點(diǎn)作棱的垂面，垂面與二個(gè)半平面的交線形成所求平面角.（2）等價(jià)定義法：在二面角的棱上

5、取一點(diǎn)（中點(diǎn)等特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角.（3）三垂線法：先作（或找）出二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出平面角.（4）射影面積法：利用面積射影公式S=Scosq其中為平面角的大小，特點(diǎn)在于不需要畫出平面射投角，也不需要找出棱，尤其適用于沒有畫出棱的二面角問題.向量法求二面角的大?。簣D形比較規(guī)則，又不容易直接作出平面角的具體頂點(diǎn)時(shí)，可采用此法.（1）平面向量法:在棱上取一平面角的頂點(diǎn)，利用向量垂直時(shí)點(diǎn)乘等于零，求出平面角頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，此時(shí)兩個(gè)向量形式上在同一個(gè)平面內(nèi).（2）空間向量法：方法基本同（1），此時(shí)兩個(gè)向量形式上

6、不在同一個(gè)平面內(nèi)，思維量、運(yùn)算都小一些，試題更具有一般性.法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩個(gè)平面的法向量m,n,利用公式-pmn.cos=求出平面角或其補(bǔ)角的余弦值，再數(shù)形結(jié)合確定二面角的大小Iml-1nI另外：證明兩個(gè)平面垂直的關(guān)鍵是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直；兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找出兩個(gè)平面交線的垂線.利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。(1)異面直線a、b所成的角：在空間中任取一點(diǎn)O,過點(diǎn)0分別引a/a,b/b，則a/,b/所兀成的銳角(或直角)叫做兩條異面直線所成的角。兩條異面直線所成角的范圍：(0,。求法：把兩條異面直線中的一條放入一個(gè)平面，另一條與

7、這個(gè)平面有交點(diǎn)，過這個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)作第一條的平行線，則這兩條直線所成的角為兩條異面直線所成的角。然后解三角形得到。運(yùn)用向量：在直線a上取兩點(diǎn)A、B，在直線b上取兩點(diǎn)C、D，若直線a與b的夾角為0，貝卩cos0=IcosI。例3、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，ABDC,AC丄BD,AC與皿相交于點(diǎn)0,且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為0點(diǎn)，又B0=2,P0=f2,PB丄PD.求異面直接PD與BC所成角的余弦值；解法一：PO丄平面ABCD，PO丄BD，又PB丄PD,BO=2,PO=、遼，由平面幾何知識(shí)得：0D=1,PD=3,PB=：6(I)過D做DE/BC交于AB于E，連結(jié)PE，則

8、ZPDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角,TOC o 1-5 h z；四邊形ABCD是等腰梯形，0C=0D=1,OB=0A=2，0A丄0B，BC=、5AB=2人2,CD=*2，又AB/DC，四邊形EBCD是平行四邊形。_ED=BC=5,BE=CD=2，E是AB的中點(diǎn)，且AE=，又PA=PB=弋6，PEA為直角三角形，PE=；PA2-AE2=%Q2=2在APED中，由余弦定理得PD2+DE2-PE23+5-42厲cosZPDE=2J3$152PD-DE故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為亍解法二：P0丄平面ABCD，P0丄BD，又PB丄PD，B0=2,P0=丫2，由平面幾何知識(shí)得：0D=0

9、C=1,B0=A0=2以0為原點(diǎn)，0A,0B,0P分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為0(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,、；2)(I)PD=(0,-1,-Q,BC=(-1,-2,0),*3;|bc=J5,pd-bc=2。若pd與bc所成的角為0，貝ycos0=IcosD,BCMPDBCI2屆一:.pd|=V3;|PDBC1=。故直線PD與BC所成的角的余弦值為152(2)直線a與平面a角：斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。兀直線與平面所成角的范圍為：0,。乙求法：求斜線與平面所

10、成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足,這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定,可考慮用三棱錐體積等量來求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。運(yùn)用向量：設(shè)n是平面a的法向量，A、B是直線m上的點(diǎn)，如果直線m與平面a所成的角為9,則Sin9|coS|。例4、(07湖北理)如圖，在三棱錐V-ABC中,VC丄底面ABC,AC丄BC,D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a,ZVDC=9$D22,0V0,0,-atan9丿設(shè)直線BC與平面VAB所成的角為T，平面VAB的一個(gè)法向量為nAB0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o

11、Current Document ._,/XXXXXX、/XXXX、T-k/XXXX、T-x.n則寸C(0,0,0)A(a,u,0)B(0,a,)d,n=(x,y,z)，則由n-VD二0 xn0,4即直線BC與平122丿-ax+ay=0,aa2c八x+yaztan901222可取n(11,2cot9)，又BC(0,a,0)，于是.n-BC|aV2.nSinT=1Isin9,1n1-1BC1aJ2+2cot2920e!，.0Sino1,0Sin#.又0T*f，(n)面VAB所成角的取值范圍為0,I4丿二面角al-卩：從一條直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的幾何圖形，叫二面角a-1-卩。二面角a-1-

12、卩的范圍為0,兀)。求二面角a-1-卩大?。赫页龆娼堑钠矫娼?，然后利用解三角形來求出。利用面積射影定理。運(yùn)用向量：從相交棱上一點(diǎn)(或兩點(diǎn))出發(fā)，找與相交棱方向向量n垂直的兩個(gè)向量a、b,則a、b這兩個(gè)向量所成的角的大小等于二面角的大小。例5(06年全國II)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC,DE分別ii1為叫、AC的中點(diǎn)設(shè)AA=AC./2aB,求二面角A-AD-C的大小.解：(I)如圖，建立直角坐標(biāo)系0 xyz,其中原點(diǎn)0為AC的中點(diǎn).設(shè)A(1,0,0)，則B(0,10),C(-1,0,0),A(1,0,2),D(0,1,1),設(shè)M分AD11九九1九一1的比為九，則M(-,工，廠T，而E(Q0，1),EM=(工,工,),AD(-1,1,1)，由EMA)(丄厶1-一=-1+-1+-11+-+-所以ME二(-1,-3,