全概率分析和總結(jié)

1、第三節(jié)條件概率、全概率公式1.條件概率的定義定義1.5 設(shè)A, B為兩個(gè)事件，目P (B) 0,那么稱P (AB) /P (B)為事件B已發(fā)生 的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P (AB),即P (A | B )= RAB)P(B)易驗(yàn)證，P (A | B )符合概率定義的三條公理，即：1對(duì)于任一事件A,有PR | BH);2 pg | b)=i； TOC o 1-5 h z 3P( A|B) P(AB), i ilil其中A, A, A,為兩兩互不相容事件. 12n這說明條件概率符合定義L3中概率應(yīng)滿足的三個(gè)條件，故對(duì)概率已證明的結(jié)果都適用 于條件概率.例如，對(duì)于任意事件A , A,有I

2、2P (A UA|B) =P (A |B) +P (A B) -P (A A |B)1212I 2又如，對(duì)于任意事件A,有P (Ap) =1-P (A|B).例L12 某電子元件廠有職工180人，男職工有100人，女職工有80人，男女職工中非 熟練工人分別有20人與5人現(xiàn)從該廠中任選一名職工，求： (1)該 職工為非熟練 工人的概率是多少？(2)假設(shè)被選出的是女職工，她是非熟練工人的概率又是多少？解 題(1)的求解我們已很熟悉，設(shè)A表示“任選一名職工為非熟練工人”的事件， 那么P (A) =25/180=5/36而題(2)的條件有所不同，它增加了一個(gè)附加的條件，被選出的是女職工，記“選 出女職

3、工”為事件B,那么題(2)就是要求出“在B事件發(fā)生的條件下A事件發(fā)生的概率”, 這就要用到條件概率公式，有P (A | B) WB)P(B)/=(5/180)/(80/180)= 1/16此題也可考慮用縮小樣本空間的方法來做，既然選出的是女職工，那么男職工就可排 除在考慮范圍之外，因此“B已發(fā)生條件下的事件A ”就相當(dāng)于在全部女職工中任選一人，并選 出了非熟練工人.從而。樣本席總數(shù)不是原樣本空間。的180人，而是全體女職工人數(shù) 80人，而上述事件中包含的樣本點(diǎn)總數(shù)就是女職工中的非熟練工人數(shù)5人，因此所求概率 為P (A | B) =5/80=1/16例1.13 某科動(dòng)物出生之后活到20歲的概率

4、為0,活到25歲的概率為0.56求現(xiàn)年為20歲的動(dòng)物活到25歲的概率.解設(shè)A表示“活到20歲以上”的事件，B表示“活到25歲以上”的事件，貝情P (A) =0.7PB)=0.5 阻BA.得P (B | A)=PRB)P(A) 4)0B)P(A) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中裝有5只產(chǎn)品，其中有3只正品，2只次品，從中取產(chǎn)品兩次，每次取一 只，作不放回抽樣，求在第一次取到正品條件下，第二次取到的也是正品的概率解 設(shè)A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由條 件得P (A) =(3x4)/4)=3/5 P(AB)= (3 2)/ 4)= 3/1P 故有P

5、(B | A) =P (AB) /P (A) =(3/10)/( 3/5)= 1/2.此題也可按產(chǎn)品編號(hào)來做，設(shè)L 2, 3號(hào)為正品，4, 5號(hào)為次品，那么樣本空間為Q=1, 2, 3, 4, 5,假設(shè)A已發(fā)生，即在1, 2, 3中抽走一個(gè)，于是第二次抽取所有可能結(jié)果的集合中共 有4只產(chǎn)品，其中有2只正品，故得P (B | A) =2/4=122.乘法定理由條件概率定義P (B | A)=P (AB) P (A), P (A) 0,兩邊同乘以P (A)可得P (AB) =P (A) P (B | A),由此可得定理(乘法定理)設(shè)P (A) 0,那么有P (AB ) =P (A) P (B |

6、A)易知，假設(shè)P (B) 0,那么有P (AB) =P (B) P (A | B)乘法定理也可推廣到三個(gè)事件的情況，例如，設(shè)A, B, C為三個(gè)事件，且P (AB) 0, 那么有P (ABC ) =P (C | AB) P (AB) =P (C | AB) P (B | A) P (A)般地設(shè)n個(gè)事件為人J，P (A .A )=般地設(shè)n個(gè)事件為人J，P (A .A )=PA (A1 2 n事實(shí)上，由AAAi1 212)P (A | A12 AA1 2,假設(shè)P (A A .)0,那么有nA1 2)P| A ) .P (A | A(AAA .A31 2n 1). n-1P(A 尸(AA? .P (

7、A A .A J 0 故公式右邊的條件概率每一個(gè)都有意義，由條件概率定義可知P (A)P I A ) P(A (A1216A P(A A ) P(A A A) P (A)P I A ) P(A (A1216A P(A A ) P(A A A) =P(A )，一1 P(A ) P(AA )11 2P(AA A) n/A A 八、 n_. =P(AA .A )P(AAA )12n1 2 n 1例L15一批彩電，共100臺(tái)，其中有10臺(tái)次品，采用不放回抽樣依次抽取3次，每次抽一臺(tái)，求第3次才抽到合格品的概率.解 設(shè)A (日,2,3為第i次抽到合格品的事件，那么有1=10/100-9/99-90/98

8、0.0083.P(A AA P(A)P(A-|a)p(a 1 2 3213=10/100-9/99-90/980.0083.例1.16設(shè)盒中有m只紅球，n只白球，每次從盒中任取一只球，看后放回，再放入k只 與所取顏色相同的球.假設(shè)在盒中連取四次，試求第一次，第二次取到紅球，第三次，第四次取 到白球的概率.解 設(shè)R (曰234標(biāo)第詼取到紅球的事件，R 一(i=l,2,3,4表)示第i次取到白球的事件.那么有例L17袋中有n個(gè)球，其中n-1個(gè)紅球，1個(gè)白球n個(gè)人依次從袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i(=12.n)人取到白球的概率.解 設(shè)A表示“第i人取到白球”(i=12.，n)的事件

9、，顯然P (A ) =l/n.1由瓦 A ,故二T 于是12 41 2= l/n.n 1P (A )=P (穴 A ) =P (A-p (A | A-) J2I 2I 2= l/n.n 1類似有P (A ) =P (A AP (A ) =P (A A312n 1 nn nP(A )用 A Nn12P (A ) =P (A A312P (A ) =P (A A312n 1 nn nP(A )用 A Nn12A1=P(A)P(l0P21=l/n.1 n 2a-n 1.K A)=n 1 n n1- l=l/n2因此，第i個(gè)人(J2,.n)取到白球的概率與i無關(guān)，都是這個(gè)例題與例1.7(3實(shí))際上是同

10、一個(gè)概率模型.3.全概率公式和貝葉斯公式為建立兩個(gè)用來計(jì)算概率的重要公式，我們先引入樣本空間Q的劃分的定義定義L6設(shè)。為樣本空間，A1A，A為。的一組事件，假設(shè)滿足lAA=,4 12.大nu2 A =Q, i1 TOC o 1-5 h z 那么稱A, A, .，A為樣本空間C的一個(gè)劃分. I 2n例如：A,仄就是。的一個(gè)劃分.假設(shè)A, A,，A是。的一個(gè)劃分，那么，對(duì)每次試驗(yàn)，事件A, A,，A中必有12n12n一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.定理L2 (全概率公式)設(shè)B為樣本空間Q中的任一事件，A,., A瞥的一 個(gè)劃分,且P (a)oe,2,m,那么有P (B) =P P (B) =P ) P (B

11、|) +PP (B) =P ) P (B |) +P)P (B |) P (B) =P ) P (B |) +P)P (B |) +.+PA(A22i 1稱上述公式為全概率公式.全概率公式說明，在許多實(shí)際問題中事件B的概率不易直接求得，如果容易找到。的 一個(gè)劃分A，A,且P (A )和P (BA)為，或容易求得，那么就可以根據(jù)全概 1nii率公式求出P (B).證 P (B ) =P (BQ)=P (B (A U A U .U A )=P (BA U BA U .U BA ) 12n12n=P (BA ) +P (BA ) +.+P (BA) 12n=P(A)P(B | A )+P(A)P(B

12、 | A ) +.+P (A ) P (B | A )I122nn另一個(gè)重要公式叫做貝葉斯公式.定理13(貝葉斯(Bayes)公式)設(shè)樣本空間為Q, B為Q中的事件，A , A ,，A 12為。的一個(gè)劃分，且P (B) 0, P (A)0i=l,2,.n,那么有ii=12i=12,n.i=12,n.P (AI Bi=12,n.n P(E| a )P(A)j 1稱上式為貝葉斯(Bayes公式，也稱為逆概率公式.證由條件概率公式有P(AB)=P(AB) P(A)P(M)i , =12e,Pn P(B k )P(A)j j ji例1.18某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多

13、不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)1234概率0.10.2 0.4 0.2 0.1現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，從每批中隨機(jī)取出1。件來檢驗(yàn)，假設(shè)發(fā)現(xiàn)其中有次品，那么認(rèn)為該批產(chǎn)品不 合格，求一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率.P(B I A)=l,P (A ) =0.1,oP(A尸.2,P(B I A 尸i解 以A表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i-0,12334,表示通過檢驗(yàn)，那么由題意得 P(B I A)=l,P (A ) =0.1,oP(A尸.2,P(B I A 尸i10()P(AP(A20.4,P(A20.4,P(B | A P(A20.4,P(B | A )=2C10一坪.=0.809,Cio100P

14、(A 0.2,3P(B | A 尸3=0.727,Cio100P(P(A 0.1,4一 m .Cio100由全概率公式,P (B)P (B)P (B)P(AF(B A)=o. lx 1 +0.20.2,P(B | A 尸0.04,P(B | A 2=0.02,P(B | A 尸).05.由全概率公式得P (B) =P (A ) P (B | A ) +P (A ) P (B | A ) +P (A ) P (B | A)=0.45x0.04+0.35:0.02+0.20.05=0.035由貝葉斯公式得P (A1| B ) =(0.450.04)/0.035=0.5,14PA 21 B )=(0

15、.3S 0.02)/0.035=0.200P(AJ B)=(0.28 0.05)/0.035=0.286由此可疝，該次品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大.例L20由以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下效果：被診斷者有癌癥，試驗(yàn)反響為陽性的概率為0.95;被診斷者沒有癌癥，試驗(yàn)反響為陰性的概率為0.95現(xiàn)對(duì) 自 然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人群中患有癌癥的概率為0.005,求：試驗(yàn)反響為陽性，該被 診斷者確有癌癥的概率.解 設(shè)A表示“患有癌癥：A袤1示“沒有痛癥；B表示“試驗(yàn)反響為陽性：那么由條件得P (A) =0.005,P( A )=0.995, P(B | A)=0.95,P(B | A) =0.95由此 P (B | A) =1-0.95=0.05由貝葉斯公式得, I 、P(A)P(B、)P (A B) =；=0.087.P(A)P(B,) P(A)P(Bk)這就是說，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析可以得到，患有癌癥的被診斷者，試驗(yàn)反響為陽性的概 率為95% ,