復變函數(shù) -第3講

1、 第三講解析函數(shù) 解析函數(shù)的充要條件1第一節(jié) 解析函數(shù)的概念一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念2一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分1.導數(shù)的定義:3在定義中應注意:4例1 解5例2 解67例3 解892.可導與連續(xù): 函數(shù) f (z) 在 z0 處可導則在 z0 處一定連續(xù), 但函數(shù) f(z) 在 z0 處連續(xù)不一定在 z0 處可導.證10證畢113.求導法則: 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, 因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的.求導公式與法則:1213二、解析

2、函數(shù)的概念1. 解析函數(shù)的定義142. 奇點的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內解析與在區(qū)域內可導是等價的.但是,函數(shù)在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念. 即函數(shù)在一點處可導, 不一定在該點處解析.函數(shù)在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.15例4 解由本節(jié)例1和例3知:161718例5解19定理以上定理的證明, 可利用求導法則.20根據(jù)定理可知:(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的.21第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 一、主要定理22一、主要定理定理一23證(1) 必要性.2425(2) 充分性.由于262728證畢2930二. 舉例例1 判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解 (1)

3、 設z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則31解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny32僅在點z = 0處滿足C-R條件，故解 (3) 設z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則33例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)， 且f (z)0，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里C1 、 C2常數(shù).那么在曲線的交點處，i)uy、 vy 均不為零時，由隱函數(shù)求導法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為 解

4、利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交.34ii) uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=， k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的, 它們仍互相正交。35三、小結與思考 理解復變函數(shù)導數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念; 掌握連續(xù)、可導、解析之間的關系以及求導方法. 注意: 復變函數(shù)的導數(shù)定義與一元實變函數(shù)的導數(shù)定義在形式上完全一樣, 它們的一些求導公式與求導法則也一樣, 然而復變函數(shù)極限存在要求與z 趨于零的方式無關, 這表明它在一點可導的條件比實變函數(shù)嚴格得多.36思

5、考題37思考題答案反之不對.放映結束，按Esc退出.38本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質，并說明它的解析性。內 容 簡 介第三節(jié) 初等函數(shù)39一、指數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)三、乘冪 ab 與冪函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)40一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:41指數(shù)函數(shù)的定義等價于關系式:422. 加法定理證4344例2 解求出下列復數(shù)的輻角主值:454647例3 解48二、對數(shù)函數(shù)1. 定義49其余各值為特殊地, 50例4 解注意: 在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù), 而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.51例5解522. 性質53證

6、 (3)證畢54三、乘冪 與冪函數(shù)1. 乘冪的定義注意:5556特殊情況: 5758例7解答案課堂練習59例8解602. 冪函數(shù)的解析性它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,61它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,62四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減, 得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況.6364有關正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內都是解析函數(shù).65(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)66其他復變數(shù)三角函數(shù)的定義67例11解682. 雙曲函數(shù)的定義69它們的導數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以 為周期的周期函數(shù),70五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義兩端取對數(shù)得71 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復以上步驟, 可以得到它們的表達式:2. 反雙曲函數(shù)的定義72六、小結與思考 復變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復數(shù)范圍內的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質, 又有一些與后者不同的特性. 如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性2. 負數(shù)無對數(shù)的結論不再成立3. 三角正弦與余弦不再具有有界性4. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)73思考題 實變三角函數(shù)與復變三角函數(shù)在性質上有哪些異同?74思考題答案 兩者在函數(shù)