電子科技大學(xué) 第12章 代數(shù)系統(tǒng)

1、離 散 數(shù) 學(xué)電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院示 范 性 軟 件 學(xué) 院15 八月 20222022/8/15第五篇 代數(shù)系統(tǒng)由于數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的發(fā)展，人們需要對若干不是數(shù)的事物，用類似普通計(jì)算的方法進(jìn)行相似的計(jì)算。如矩陣、向量等。研究代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)科稱為“近世代數(shù)”或“抽象代數(shù)”。 2022/8/15第五篇 代數(shù)系統(tǒng)內(nèi)容集合的概念1集合的表示方法2環(huán)與域3格與布爾代數(shù)4代數(shù)系統(tǒng)與性質(zhì)1半群與群22022/8/15第十二章 代數(shù)系統(tǒng)集合的概念1同態(tài)與同構(gòu)3代數(shù)系統(tǒng)與子代數(shù)1運(yùn)算性質(zhì)與特殊元22022/8/1512.1 本章學(xué)習(xí)要求重點(diǎn)掌握一般掌握了解11 代數(shù)系統(tǒng)與子代數(shù)2 二元運(yùn)算律3 特殊元

2、4 同態(tài)與同構(gòu) 3同態(tài)與同構(gòu)的應(yīng)用2同類型代數(shù)系統(tǒng)2022/8/15代數(shù)運(yùn)算定義12.2.1 設(shè)A, B, C是非空集合，從AB到C的一個映射（或函數(shù)） ：ABC稱為一個AB到C的二元代數(shù)運(yùn)算，簡稱二元運(yùn)算。稱自然數(shù)集合N上的加法“+”為運(yùn)算，這是因?yàn)榻o定兩個自然數(shù)a, b, 由加法“+”，可以得到唯一的自然數(shù)c = a + b。 加法“+” 是映射嗎？ N上的加法運(yùn)算“+”本質(zhì)上是一個NNN的映射 2022/8/15代數(shù)運(yùn)算 一個二元運(yùn)算就是一個特殊的映射 ，該映射能夠?qū)A和b B進(jìn)行運(yùn)算 ，得到C中的一個元c , 即 (a, b)c 。中綴方法表示為 a bc 2022/8/15例12.

3、2.1判別下面的映射或表是否是二元運(yùn)算：（1）設(shè)A = 0, 1, B = 1, 2, C = 奇, 偶，定義映射: ABC，其中 (0, 1) = 奇， (0, 2) = 偶， (1, 1) = 偶， (1, 2) = 奇。分析 “”是一個AB到C的映射，因此，按定義12.2.1，則“”是一個AB到C的運(yùn)算。2022/8/15例12.2.1（續(xù)）（2）一架自動售貨機(jī)，能接受五角和一元硬幣，而所對應(yīng)的商品是純凈水、礦泉水、橘子水，當(dāng)人們投入上述硬幣中的任何兩枚時，自動售貨機(jī)供應(yīng)出相應(yīng)的商品(右表)。表五角一元五角純凈水礦泉水一元礦泉水橘子水2022/8/15例12.2.1（續(xù)）分析 設(shè)集合A

4、= 五角，一元，集合C = 純凈水，礦泉水，橘子水，則表12.2.1實(shí)質(zhì)上是AAC的映射，也就是AA到C的一個運(yùn)算“”。解 (1)、(2)中定義的映射是二元運(yùn)算。2022/8/15運(yùn)算表運(yùn)算表b1b2bma1a1 b1a1 b2a1 bma2a2 b1a2 b2a2 bmanan b1an b2an bm當(dāng)集合A和B有限時，一個AB到C的代數(shù)運(yùn)算，可以借用一個表，稱為運(yùn)算表（乘法表 ）來說明。設(shè)“”是AAC的運(yùn)算，A = a1, a2, , an, B = b1, b2, , bm,則運(yùn)算“”可用下表說明。2022/8/15定義12.2.2設(shè)A1, A2, , An，A是非空集合，A1A2An

5、到A的一個映射(或函數(shù)) ：A1A2AnA稱為一個A1A2An到A的n元代數(shù)運(yùn)算，簡稱n元運(yùn)算。當(dāng)n = 1時，稱為一元運(yùn)算。2022/8/151元代數(shù)運(yùn)算表當(dāng)元素有限時，一元運(yùn)算也可以用運(yùn)算表來說明。設(shè)“”是A到A的一元運(yùn)算，其中A = a1, a2, , an，則一元運(yùn)算“”可以用右表說明。1元運(yùn)算表a (a)a1 (a1)a2 (a2)an (an)2022/8/15代數(shù)運(yùn)算：封閉性定義12.2.3 如果“”是AA到A的二元運(yùn)算，則稱運(yùn)算“”對集合A是封閉的，或者稱“”是A上的二元運(yùn)算。定義12.2.4 設(shè)“”是一個A1A2An到A的n元代數(shù)運(yùn)算，如果A1A2AnA，則稱代數(shù)運(yùn)算“”對集

6、合A是封閉的，或者稱是A上的n元代數(shù)運(yùn)算。 2022/8/15說 明一般通常用大寫的英文字母表示集合，用符號“+”、“-”、“*”、“/”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“+”、“”、“”等抽象的符號來表示一個抽象的運(yùn)算。2022/8/15定義12.2.5 設(shè)A是非空集合，1, 2, , m分別是定義在A上k1, k2, km元封閉運(yùn)算，ki是正整數(shù)，i = 1, 2, , m。稱集合A和1, 2, , m所組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)，簡稱代數(shù)，記為。當(dāng)A是有限集合時，該代數(shù)系統(tǒng)稱為有限代數(shù)系統(tǒng)，否則稱為無限代數(shù)系統(tǒng)注意：判斷集合A和其上的代數(shù)運(yùn)算是否是代數(shù)系統(tǒng)，關(guān)鍵是判斷

7、兩點(diǎn)：一是集合A非空，二是這些運(yùn)算關(guān)于A是否滿足封閉性。 2022/8/15例子(1) R上的“+”、“”運(yùn)算； 解 構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)R，+，；(2) p（S）上的“”、“”、“”運(yùn)算； 解 構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng),稱集合代數(shù)；(3) 含有n個命題變元的命題集合A與A上的“”、“”、“”運(yùn)算； 解 構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)A，稱之為命題代數(shù)。2022/8/15同類型代數(shù)系統(tǒng)定義12.2.6 設(shè)和是兩個代數(shù)系統(tǒng)，若“oi”和“i”都是ki元運(yùn)算，i = 1, 2, , m，則稱這兩個代數(shù)同類型。如：代數(shù)系統(tǒng)Z，+,Z，,R，+,p（S），,p（S），都是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。代數(shù)系統(tǒng)I，+，、R，+，、 p（S），都是同

8、類型的代數(shù)系統(tǒng)。2022/8/15子代數(shù)定義12.2.7 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，如果： （1）BA并且B ； （2）1, 2, , m都是B上的封閉運(yùn)算。則也是一個代數(shù)系統(tǒng)，稱之為的子代數(shù)系統(tǒng)，簡稱子代數(shù)。又若B A，則稱是的真子代數(shù)。2022/8/15子代數(shù)子代數(shù)是抽象代數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，通過研究子代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，可以得到原代數(shù)系統(tǒng)的某些重要性質(zhì)。如在群論中，通過研究子群可得群的某些性質(zhì)。注意：在后面章節(jié)中，將會學(xué)習(xí)半群、群、格、布爾代數(shù)等典型的代數(shù)系統(tǒng)。將子代數(shù)的概念應(yīng)用到這些典型的代數(shù)系統(tǒng)，就會得到子半群、子群、子格、子布爾代數(shù)。因此，若沒有比要，后面不再贅述某些典型代數(shù)系統(tǒng)中子代數(shù)的

9、定義。2022/8/15例12.2.4 在代數(shù)系統(tǒng)中，令Q = 5z | z Z，證明是的子代數(shù)。分析 根據(jù)定義，只需證明兩點(diǎn)：（1）Q是非空子集；（2） “+”對集合Q封閉。顯然，集合Q非空。對任意的5z1，5z2Q，有5z1 + 5z2 = 5(z1 + z2)Q，因此“+”對集合Q封閉。 證明 略。2022/8/1512.3.1 二元運(yùn)算律例12.3.1 設(shè)“+”是定義在自然數(shù)集合N上的普通加法運(yùn)算，試回憶N上的加法運(yùn)算“+”滿足哪些運(yùn)算性質(zhì)？分析 對 a, b, cN，有(a + b) + c = a + (b + c)，即結(jié)合律成立；a + b = b + a，即交換律成立； x,

10、yN，如果a + x = b + y，則x = y， 即消去律成立； 0N，0 + 0 = 0，即0是冪等元，但其他自然數(shù)不是冪等元，即不滿足冪等律。2022/8/15結(jié)合律與交換律定義12.3.1 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的a, b, cA，都有 (a*b) *ca* (b*c)則稱“*”在A上是可結(jié)合的，或稱滿足結(jié)合律。定義12.3.2 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的a, bA，都有a * bb * a則稱“”在A上是可交換的，或稱滿足交換律。2022/8/15消去律定義12.3.3 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，元素aA， （1）對任意x, yA，都有 如果a x = a y，那么x = y，則

11、稱a在A中關(guān)于“”是左可消去元； （2）對任意x, yA，都有 如果x a = y a，那么x = y，則稱a在A中關(guān)于“”是右可消去元；2022/8/15消去律（續(xù)）（3）如果a既是A左可消去元又是右可消去元，則稱a是A的可消去元；（4）若A中所有元素都是可消去元，則稱“”在A上可消去，或稱“”滿足消去律。2022/8/15冪等律定義12.3.4 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，若元素aA，滿足 aa = a，則稱a是A中關(guān)于“”的一個冪等元，簡稱a為冪等元。若A中的每一個元素都是冪等元，則稱“”在A中是冪等的，或稱“”滿足冪等律。2022/8/15冪等律設(shè)“”是集合A上的二元運(yùn)算，aA，則aaA，aaa

12、A，,由此，可以歸納定義a的正整數(shù)冪方：a1 = a，a2 = aa，a3 = a2a，an = an1a，對任意的正整數(shù)n，m，有以下等式： an am = an+m， （an）m = anm。2022/8/15分配律定義12.3.5 ：設(shè)“”、“”是集合A上的二元運(yùn)算，是一個代數(shù)系統(tǒng)， 對a,b,cS，有（1）a(b*c)=(ab)*(ac)，則稱運(yùn)算“”對“*”在S上滿足左分配律(或第一分配律)；（2) (b*c) a=(ba)*(ca)，則稱運(yùn)算“”對“*”在S 上滿足右分配律(或第二分配律) ；（3) 如果“”對“*”既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱”對“*”在S上滿足分配律。20

13、22/8/15吸收律定義12.3.6 設(shè)“”、“”是集合A上的二元運(yùn)算，是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的x, yA，都有 x (x y) = x， x (x y) = x，則稱“”和“”滿足吸收律2022/8/15特殊元在代數(shù)系統(tǒng)中，有些元素有特殊性質(zhì)，叫特殊元 。例如在代數(shù)系統(tǒng)，其中N是自然數(shù)，“”是普通加法，0 N ，并且對任意的自然數(shù)x N ，有 x0 x0 x 2022/8/15幺元（單位元）定義12.3.7 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1）若存在eA，對任意aA，都有 a e = e a = a，則稱e是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個幺元（單位元）（2）若存在elA，使得對任意aA，都有 el a =

14、a，則稱el是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個左幺元（左單位元）（3）若存在erA，使得對任意aA，都有 a er = a，稱er是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個右幺元（右單位元）2022/8/15例12.3.5 下列代數(shù)系統(tǒng)是否存在幺元(左幺元或右幺元)，如果存在計(jì)算之。（1），R是實(shí)數(shù)集，“+”是加法運(yùn)算；（2），R+是正實(shí)數(shù)集，“+”是加法運(yùn)算；（3），其中P (AA)表示集合A上的所有二元關(guān)系集合，運(yùn)算“”表示關(guān)系的復(fù)合；（4），其中A = a, b, c，二元運(yùn)算“”,“”,“”如表12.3.2、表12.3.3和表12.3.4分別所示。是一樣的。2022/8/15例12.3.5（續(xù)）分析 可以直接通過

15、定義計(jì)算幺元，即首先假設(shè)幺元存在，然后計(jì)算之，最后驗(yàn)證所計(jì)算的元是否是幺元。2022/8/15例12.3.5（續(xù)）（1）設(shè)x是的幺元，則由定義，對任意的aR，有 x + a = a，讓a = 1，有x + 1 = 1，則x = 0，xR。這說明，如果的幺元存在，那么幺元必是0。對任意的aR，0 + a = a + 0 = a，即驗(yàn)證可得，0是的幺元。2022/8/15例12.3.5（續(xù)）（2）設(shè)x是的幺元，對任意的aR+，有 x + a = a，讓a = 1，有x + 1 = 1，則x = 0，但0 R+。這說明不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在。2022/8/15例12.3.5（續(xù)）（3）

16、設(shè)X是的幺元，對任意的YP(AA)，有XY = Y，讓Y = IA，則XIA = IA，又XIA = X，因此X = IA。這說明，如果的幺元存在，則幺元必是IA。對任意的YP(AA)，IAY = Y IA = Y，即驗(yàn)證可得IA是的幺元。2022/8/15例12.3.5（續(xù)）（4）由于給出了運(yùn)算表，因此可以根據(jù)運(yùn)算表直接觀察可得。解（1）中的幺元是0；（2）中無幺元；（3）中的幺元是恒等關(guān)系IA；（4）中關(guān)于運(yùn)算“”有左幺元a和b，但無右幺元，因此無幺元，關(guān)于運(yùn)算“”無左幺元，但有右幺元b和c，因此無幺元；關(guān)于運(yùn)算“”有幺元a。2022/8/15結(jié)論（1）計(jì)算幺元可根據(jù)定義直接進(jìn)行，即首先假

17、設(shè)幺元存在，并根據(jù)定義計(jì)算，然后進(jìn)行驗(yàn)證。（2）可以直接從運(yùn)算表中看出運(yùn)算是否有左幺元或右幺元。具體方法是： 如果元素x所在的行上的元素與行表頭完全相同，則x是一個左幺元； 如果元素x所在的列上的元素與列表頭完全相同，則x是一個右幺元； 同時滿足和。2022/8/15零元定義12.3.8 設(shè)是一個二元代數(shù)系統(tǒng)，（1）若存在A，使得對任意aA，都有a = a =，則稱是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個零元；（2）若存在lA，使得對任意aA，都有l(wèi) a = l，則稱l是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個左零元；（3）若存在rA，使得對任意aA，都有a r = r，則稱r是A中關(guān)于運(yùn)算“”的一個右零元。2022/8/15

18、逆元定義12.3.9 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，e是幺元，aA，若存在一個元素bA，（1）使得： a b = b a = e，則稱a可逆，并稱b是a的一個逆元，記為a1；（2）使得： ba = e，則稱a左可逆，并稱b是a的一個左逆元，記為al1；（3）使得： a b = e，則稱a右可逆，并稱b是a的一個右逆元，記為ar1。2022/8/15定理12.3.1設(shè)是一個代數(shù)系統(tǒng)，“” 滿足結(jié)合律，aA，a可逆，則a是可消去元。證明 記幺元為e，a的逆元為a1，設(shè)x、y是A中的任意元素，假設(shè)a x = a y。由a x = a y，有a1 (a x) = a1 (a y)，又結(jié)合律成立，所以有(a1 a)

19、 x = (a1 a) y，即e x = e y，可得x = y2022/8/15定理12.3.2設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1）如果存在幺元，則幺元唯一；（2）如果存在幺元，則該幺元一定是左、右幺元；（3）如果存在左、右幺元，則該左、右幺元相等，且是幺元。2022/8/15定理12.3.2（續(xù)）證明（1）（反證法）設(shè)S,*存在兩個以上的幺元，不妨假設(shè)e1，e2是S,*的兩個幺元，則對xS， x*e1=e1*x=x，此時，取x=e2，有e2*e1=e1*e2=e2 則對xS，有x*e2=e2*x=x，此時，取x=e1，有e1*e2=e2*e1=e1 由、可知e1=e2，即S,*的幺元是唯一的。2022

20、/8/15定理12.3.2（續(xù)）（2）顯然成立（3）若el、er是S,*的左、右幺元，則對xS,有el*x=x，此時，取x=er，有el*er=er則對xS,有x*er=x，此時，取x=el，有el*er=el由、可知el=er，即左、右幺元相等；顯然可得 e=el。2022/8/15定理12.3.3 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1）如果存在零元，則零元唯一；（2）如果存在零元，則該零元一定是左、右零元；（3）如果存在左、右零元，則該左、右零元相等，且是零元。分析 該定理的證明方法與定理12.3.2證明相似。證明 略。2022/8/15定理12.3.4 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，“”滿足結(jié)合律且設(shè)e是幺元，則

21、對任意的aA，（1）如果a存在逆元，則逆元唯一；（2）如果a存在逆元，則該逆元一定是左、右逆元；（3）如果a存在左、右逆元，則該左、右逆元相等，且是逆元。分析 該定理的證明方法與定理12.3.2證明相似 2022/8/15定理12.3.4（續(xù)）證明 （1）（反證法）設(shè)aA存在逆元，且不唯一，不妨設(shè)a1，a2都是a的逆元，則有a a1 = a1 a = e，a a2 = a2 a = e，由于“”滿足結(jié)合律，所以有a1 = a1 e = a1 (a a2) = (a1 a) a2 = e a2 = a2，即a1 = a2即a的逆元唯一；2022/8/15定理12.3.4（續(xù)）（2）由逆元、左逆元

22、和右逆元的定義直接可得；（3）設(shè)aA的左、右逆元分別是al1和ar1，則有al1 a = e，aar1 = e，“”滿足結(jié)合律，所以有 ar1 = e ar1 = (al1 a) ar1 = al1 (a ar1) = al1 e = al1，所以a1 = ar1 = al12022/8/15推論12.3.1 設(shè)是二元代數(shù)系統(tǒng)，“”滿足結(jié)合律，a, bA，（1）如果a, b分別有逆元a1, b1，則 (ab)1 = b1a1；（2）如果a是左（獲右）可逆的元素，則a是左（右）可消去的元素；（3）如果a是可逆的元素，則a是可消去的元素。2022/8/15推論12.3.1（續(xù)）分析 (1) 根據(jù)逆

23、元的定義，只需證明(a b) (b1 a1) = (b1 a1) (a b) = e；同理，(2)和(3)可以直接根據(jù)消去元的定義證明。2022/8/15推論12.3.1（續(xù)）證明 (1) 由于“”滿足結(jié)合律，所以有 (a b) (b1 a1) = a (b b1) a1 = a e a1 = a a1 = e， (b1 a1) (a b) = b1 (a1 a) b = b1 e b = b1 b = e，即 (ab)1 = b1a1。2022/8/15推論12.3.1（續(xù)）（2）若a是左可逆的元素，設(shè)左逆元為al1 ，則對任意的x, yA,如有ax = ay，則al1 (a x) = al

24、1 (a y)，即 (al1 a) x = (al1 a) y，e x = e y，所以x = y則a是左可消去元。同樣可證，如果a是右可逆的，則a是右可消去元。（3）由(2)和定理12.3.4直接可證。2022/8/15例12.3.7設(shè)G = fa, b(x) = ax+b | a0, a, bR，其中R是實(shí)數(shù)， “”是G上關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 。（1）驗(yàn)證是代數(shù)系統(tǒng)；（2）如有幺元計(jì)算之；（3）如有零元計(jì)算之；（4）如有冪等元，計(jì)算出這些冪等元；（5）說明G中的那些元有逆元，并計(jì)算這些元的逆元。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：封閉性分析 （1）要說明是代數(shù)系統(tǒng)，只需要說明“”對G封閉

25、，即說明對任意fa, b，fc, dG，fa, bfc, dG，又 (fa, bfc, d)(x) = fc, d( fa, b(x) = fc, d(ax+b) = c(ax+b)+d = cax+bc+d = fca, bc+d(x)，即 fa, bfc, d = fca, bc+d，顯然ca 0，故fca, bc+dG，所以“”對G是封閉的，即G, 是代數(shù)系統(tǒng)。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：幺元（2）不妨假設(shè)幺元是fc, dG，則對fa, bG，有fa, bfc, d = fa, b，又fa, bfc, d = fca, bc+d，則fa, b = fca, bc+d，因此，x

26、R，有fa, b (x) = ax+b = fca, bc+d (x) = cax+bc+d，特別取x = 0, x = 1，可得bc+d = b, ca = a。由于fa, b是G中的任意元，取a = 1，b = 2,可得 c = 1, d = 0。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：幺元上面的分析說明，如果有幺元，則此幺元必是f1, 0，所以需進(jìn)一步驗(yàn)證f1, 0就是幺元。即對任意的fa, bG，驗(yàn)證等式fa, bf1, 0 = f1, 0fa, b = fa, b顯然此等式成立，所以f1, 0是幺元。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：零元（3）按同樣的思路，不妨假設(shè)零元是fc,

27、 dG，由零元的定義， fa, bG，有fa, bfc, d = fc, d，fa, bfc, d (x) = cax+bc+d = fc, d (x) = cx+d，取x = 0，有 bc = 0,又fa, b是任意的，取b = 1，可得c = 0，又fc, dG，則c 0, 矛盾，故fc, d是零元不成立，故代數(shù)系統(tǒng)沒有零元。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：冪等元（4）不妨假設(shè)冪等元是fc, dG，有fc, d fc, d = fc, d，fc, d fc, d(x) = c2x+cd+d = fc, d(x) = cx+d，取x = 0，有cd = 0，又c 0，則d = 0，取

28、x = 1，有c2+cd+d = c+d，又d = 0, c 0，則c = 1。因此，fc, d = f1, 0，又f1, 0 f1, 0 = f1, 0，所以f1, 0是唯一冪等元。2022/8/15例12.3.7（續(xù)）：逆元（5）對fa, bG，不妨假設(shè)它的逆元為fc, d，當(dāng)然fc, dG，有fa, bfc, d = f1, 0，fa,bfc,d (x) = cax+bc+d = f1, 0(x) = x，特別取x = 0, x = 1，可得bc+d = 0, ca = 1，因?yàn)閍0，顯然c = 1/a, d = b /a，故fc, d = f1/a, b/a，2022/8/15例12.

29、3.7（續(xù)）：逆元同理，上面分析說明，如果fa, b有逆元，則此逆元是f1/a, b/a,因此還需驗(yàn)證f1/a, b/a是fa, b逆元，即驗(yàn)證等式fa, bf1/a, b/a = f1/a, b/afa, b = f1,0，顯然此等式成立，所以f1/a, b/a是fa, b的逆元。由fa, b的任意性，可得G中的任何一個元都有逆元。2022/8/15結(jié)論（1）是代數(shù)系統(tǒng)；（2）幺元是f1, 0；（3）中沒有零元；（4）中唯一冪等元是f1, 0；（5）中任意元fa, b的逆元是f1/a, b/a 。 計(jì)算幺元、零元、冪等元、逆元等特殊元時，首先可以假設(shè)這些元存在，然后根據(jù)定義直接得到方程，解這

30、個方程就可以計(jì)算出這些元，如果方程無解，則特殊元不存在，如果方程存在解，則根據(jù)特殊元的定義還需要進(jìn)一步驗(yàn)證所求解是否是對應(yīng)的特殊元。 2022/8/15作業(yè)P268：2. (2)、（3）4、6、9、132022/8/1512.4 同態(tài)與同構(gòu)在現(xiàn)實(shí)社會中，存在著很多代數(shù)系統(tǒng)，但仔細(xì)分析這些眾多的代數(shù)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，有些代數(shù)系統(tǒng)，他們之間表面上似乎不相同，但他們實(shí)際上 “相同” 。如有兩個代數(shù)系統(tǒng)和，其運(yùn)算“*”和“”分別定義如下表 2022/8/15定義12.4.1設(shè)和為兩個二元代數(shù)系統(tǒng)，是A到B的映射。對任意x, yA，都有(xy) = (x) (y)， (1)則稱是從到的同態(tài)映射，稱(A)為同態(tài)象

31、，其中(A) = (x) | xA。如果存在一個從到的同態(tài)映射，則稱與同態(tài)，記為。當(dāng)A = B時，稱其同態(tài)為自同態(tài)。2022/8/15定義12.4.1（續(xù)）當(dāng)同態(tài)映射分別是單射、滿射、雙射時，分別稱是單一同態(tài)映射、滿同態(tài)映射、同構(gòu)映射。如果存在一個從到的同構(gòu)映射（單一同態(tài)映射、滿同態(tài)映射），則稱代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)（單一同態(tài)、滿同態(tài)）。用表示與同構(gòu)。2022/8/15同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)與同構(gòu)是代數(shù)系統(tǒng)中一個非常重要的概念，它體現(xiàn)了兩個代數(shù)系統(tǒng)之間的某種聯(lián)系，后面章節(jié)將會學(xué)習(xí)半群、群、格、布爾代數(shù)等典型的代數(shù)系統(tǒng)，那么將同態(tài)與同構(gòu)的概念應(yīng)用到這些典型的代數(shù)系統(tǒng)，就會得到半群、群、格、布爾代數(shù)的同態(tài)與同態(tài)。

32、注意，后面章節(jié)中半群、群、格、布爾代數(shù)的同態(tài)與同態(tài)本質(zhì)上就是把半群、群、格、布爾代數(shù)看作一般代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)，即定義12.4.1。因此，后面不再贅述半群、群、格、布爾代數(shù)中同態(tài)與同構(gòu)的定義。2022/8/15例12.4.1設(shè)代數(shù)系統(tǒng)和中，Z、E分別是整數(shù)集和偶數(shù)集，“+”是加法，證明。分析 證明兩個代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，關(guān)鍵是找出同構(gòu)映射。假設(shè)f是到的同構(gòu)映射，根據(jù)同構(gòu)映射的定義，有x, yZ，f(x + y) = f(x) + f(y),特別取x = 0, y = 0，有f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)，可得f(0) = 0。2022/8/15例12.4.1（續(xù)）nZ,

33、 f(n) = f(n1 + 1) = f(n1) + f(1), 可得遞推公式如下：f(n) = f(n1) + f(1),如果f(1) 0，則f(n)是遞增函數(shù)，0 = f(0) f(1) f(2)，而f又是Z到E的雙射，因此此時必有f(1) = 2，同理，如果f(1) 0，可得 f(1) = 2。根據(jù)以上分析可知，nZ, f(n) = 2n或f(n) = 2n，2022/8/15例12.4.1（續(xù)）以上說明，如果f是同構(gòu)映射，則f(n) = 2n或f(n) = 2n，因此需進(jìn)一步驗(yàn)證f(n) = 2n或f(n) = 2n是否是同構(gòu)映射。證明 nZ，令f(n) = 2n，則顯然f是Z到E的雙射，又對x，yZ，有f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)，因此f是同構(gòu)映射，同理可證f(n) = 2n也是同構(gòu)映射。故有。 結(jié)論 證明兩個代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)關(guān)鍵是構(gòu)造出同態(tài)與同構(gòu)映射，構(gòu)造同態(tài)與同構(gòu)映射沒有一個通用的方法，但一般思路如下：首先可以假設(shè)f就是同態(tài)或同構(gòu)映射，然后利用同態(tài)與