12.4　復數的三角形式 學案

1、124復數的三角形式*探究點1復數的代數形式化為三角形式 把下列復數的代數形式化為三角形式：(1) eq r(3)i；(2)1i.【解】(1) eq r(3)i2( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i)2(cos eq f(7,6)isin eq f(7,6)(2)1i eq r(2)( eq f(r(2),2) eq f(r(2),2)i) eq r(2)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4).把復數的代數形式轉化為三角形式只要找到復數的模和復數的輻角主值即可 把ai(a0)的代數形式化為三角形式解：因為a0，所以aia(cos eq f(,2)isin eq

2、f(,2).探究點2復數的三角形式化為代數形式 把下列復數的三角形式化為代數形式：(1)2(sin eq f(,3)icos eq f(,3)；(2)8(cos eq f(11,6)isin eq f(11,6) ).【解】(1)2(sin eq f(,3)icos eq f(,3)2( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i) eq r(3)i.(2)8(cos eq f(11,6)isin eq f(11,6)8cos ( eq f(,6)isin ( eq f(,6)8( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i)4 eq r(3)4i .把復數的三角形式化為代數形式只需將

3、三角函數計算出值即可 把下列復數的三角形式化為代數形式：(1)6(cos isin )；(2)sin eq f(2,3)icos eq f(2,3).解：(1)6(cos isin )6(1i0)6.(2)sin eq f(2,3)icos eq f(2,3) eq f(r(3),2)i( eq f(1,2) eq f(r(3),2) eq f(1,2)i.探究點3復數三角形式的乘除法運算 計算下列各式的值：(1)8(sin eq f(,6)icos eq f(,6)3；(2) eq r(3)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4)(cos eq f(3,4)isin eq f

4、(3,4).【解】(1)8(sin eq f(,6)icos eq f(,6)38(cos eq f(,3)isin eq f(,3)38(cos isin )8(1)8.(2) eq r(3)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4)(cos eq f(3,4)isin eq f(3,4) eq r(3)cos ( eq f(7,4) eq f(3,4)isin ( eq f(7,4) eq f(3,4) eq r(3)(cos isin ) eq r(3). 復數三角形式的乘除法運算只需要利用復數乘除法的運算法則進行計算即可 化簡下列各式：(1)5(cos eq f(4,3)

5、isin eq f(4,3) eq blcrc(avs4alco1(2（cos f(5,6)isin f(5,6)）) ；(2) eq f(（cos isin ）2,blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）)blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）).解：(1)5(cos eq f(4,3)isin eq f(4,3) eq blcrc(avs4alco1(2（cos f(5,6)isin f(5,6)）) eq f(5,2) eq blcrc(avs4alco1(cos （f(4,3)f(5,6)）isin （f(4,3)f(5,6)）) eq f(5,2

6、) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,2)isin f(,2) eq f(5,2)i.(2) eq f(（cos isin ）2,blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）)blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）) eq f(cos 2isin 2,cos 2isin 2)1.1.將復數1 eq r(3)i化成三角形式，正確的是()A2(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)B 2(cos eq f(5,6)isin eq f(5,6)C2(cos eq f(5,3)isin eq f(5,3)D2(cos eq f(1

7、1,6)isin eq f(11,6)解析：選A1 eq r(3)i2( eq f(1,2) eq f(r(3),2)i)2(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)，故選A2.復數zsin 100icos 100的輻角主值是()A80B100C190D260解析：選Czsin 100icos 100cos 10isin 10cos 190isin 190，故選C3兩個復數z1，z2的模與輻角分別相等，是z1z2成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A復數z1，z2的模與輻角分別相等，則z1z2成立；反之輻角不一定相等，可以相差2的整數

8、倍，故選A4.復數z(sin 25icos 25)3的三角形式是()Acos 195isin 195Bsin 75icos 75Ccos 15isin 15Dcos 75isin 75解析：選Az(sin 25icos 25)3(cos 65isin 65)3cos 195isin 195，故選A5設34i的輻角主值為，則(34i)i的輻角主值是()A eq f(,2)B eq f(,2)C eq f(,2)D eq f(3,2)解析：選A(34i)i5(cos isin )(cos eq f(,2)isin eq f(,2)5 eq blcrc(avs4alco1(cos （f(,2)）is

9、in （f(,2)）)，因為34i的輻角主值為，則(34i)i的輻角主值是 eq f(,2).A基礎達標1下列表示復數1i的三角形式中， eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(,4)； eq r(2) eq blcrc(avs4alco1(cos blc(rc)(avs4alco1(f(,4)isin f(,4)； eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(9,4)isin f(9,4)； eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(3,4)；正確的個數是()A1B2C

10、3D4解析：選B因為r eq r(1212) eq r(2)，cos eq f(r(2),2)，sin eq f(r(2),2)，所以輻角主值為 eq f(,4)，所以1i eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(,4) eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(9,4)isin f(9,4)，故的表示是正確的，的表示不正確，故選B2設z1，z2是復數，arg z1，arg z2，則arg(z1z2)有可能是下列情況中的哪些？()；2；2()；.ABCD解析：選B，均為銳角時，z1z2的輻角主值為，輻角主值均為鈍角時

11、，z1z2的輻角主值為，若，均大于時，z1z2的輻角主值為2.3. 設z112i，z21i，z313i，則arg z1arg z2arg z3()A eq f(,2)B eq f(3,2)C eq f(5,2)D eq f(7,2)解析：選Cz112i在第四象限，設輻角主值為，z313i在第二象限設輻角主值為，則tan 2，tan 3, 所以tan ()1，所以 eq f(9,4)，z21i的輻角主值為 eq f(,4)，所以arg z1arg z2arg z3 eq f(5,2).4設z為復數，且z的輻角主值為 eq f(,6)，z2的輻角主值為 eq f(2,3)，則復數z為()A eq

12、r(3)2iB2 eq r(3)iC1 eq r(3)iD1 eq r(3)i解析：選D設z的輻角為，因為z的輻角主值為 eq f(,6)，所以z位于第一象限且tan eq f(r(3),3)，故選D5已知|z|1，且非零復數(zi)2的輻角主值是 eq f(,2)，則這樣的z共有()A1個B2個C3個D4個解析：選A設zcos isin ， eq blcrc)(avs4alco1(0，2)，則2(cos isin )i2cos ( eq f(,2)isin ( eq f(,2)；因為復數(zi)2的輻角主值是 eq f(,2)，所以0，故選A 6若復數z滿足| eq f(z1,z)| eq

13、f(1,2)，arg( eq f(z1,z) eq f(,3)，則z_解析：設 eq f(z1,z)z0，則|z0| eq f(1,2)，arg z0 eq f(,3)，所以z0 eq f(1,2)(cos eq f(,3)isin eq f(,3) eq f(1,4) eq f(r(3),4)i，從而可由 eq f(z1,z) eq f(1,4) eq f(r(3),4)i解得z1 eq f(r(3),3)i.答案：1 eq f(r(3),3)i7若動點P對應的復數為z，且滿足|z4i|2，則z的輻角主值的范圍為_，|z|取得最大值時，z_解析：結合圖形，即把代數問題幾何化、圖形化，見下圖：

14、|z4i|2表示動點P到點(0，4)距離為2的點組成的曲線，|z|取得最大值時即曲線上的點|y|取最大值時，即點(0，6)，對應z6i.答案： eq f(,3)， eq f(2,3)6i8. eq f(1,1r(3)i) 的三角形式為_解析： eq f(1,1r(3)i) eq f(1,4)(1 eq r(3)i) eq f(1,2)cos ( eq f(4,3)isin ( eq f(4,3).答案： eq f(1,2)cos ( eq f(4,3)isin ( eq f(4,3)9設復數z1 eq r(3)i，復數z2滿足|z2|2，已知z1z eq oal(sup1(2),sdo1(2)

15、的對應點在虛軸的負半軸上且arg z2(0，)，求z2的代數形式解：因為z12 eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,6)isin f(,6)，設z22(cos isin )，(0，)，所以z1z eq oal(sup1(2),sdo1(2)8cos eq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)isin eq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6).由題設知2 eq f(,6)2k eq f(3,2)(kZ)，所以k eq f(2,3)(kZ).又(0，)，所以 eq f(2,3)，所以z22(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)1 eq

16、 r(3)i.10已知z eq f(1i,i)2i，z1 eq o(z,sup6()z20，arg z2 eq f(7,12)，若z1，z2在復平面上分別對應點A，B，且|AB| eq r(2)，求z1的立方根解：由題設知z1i，因為|AB| eq r(2)，即|z1z2| eq r(2)，所以|z1z2| eq o(z,sup6()z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2| eq r(2)，又arg z2 eq f(7,12)，所以z2 eq r(2)(cos eq f(7,12)isin eq f(7,12)，z1 eq o(z,sup6()z2(1i)z2 eq r(2)(cos eq

17、f(,4)isin eq f(,4) eq r(2)(cos eq f(7,12)isin eq f(7,12)2(cos eq f(5,6)isin eq f(5,6)，所以z1的立方根為 eq r(3,2)(cos eq f(f(5,6)2k,3)isin eq f(f(5,6)2k,3)，k0，1，2，即 eq r(3,2)(cos eq f(5,18)isin eq f(5,18)， eq r(3,2)(cos eq f(17,18)isin eq f(17,18)， eq r(3,2)(cos eq f(29,18)isin eq f(29,18).B能力測試11在復平面內有五個點與

18、方程x51i的五個根相對應，則這五個點中有兩個點在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：選Bx51i eq r(2)(cos eq f(3,4)isin eq f(3,4)，x eq r(10,2)(cos eq f(f(3,4)2k,5)isin eq f(f(3,4)2k,5)，k0，1，2，3，4，故選B12設復數2i和3i的輻角主值分別為，則()A135B315C675D585解析：選C復數2i和3i均位于第四象限，(270，360)，因為tan ()1，所以675 .13若一個復數z的模為2，輻角為 eq f(2,3)，則 eq f(z,i)()A1 eq r(3)iB1

19、 eq r(3)iC eq r(3)iD eq r(3)i解析：選D由復數z的模為2，輻角為 eq f(2,3)，可得z2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(2,3)isin f(2,3)1 eq r(3)i.所以 eq f(z,i) eq f(1r(3)i,i) eq f(blc(rc)(avs4alco1(1r(3)i)i,1) eq r(3)i.故選DC拓展探究14(多選)任何一個復數zabi(其中a，bR，i為虛數單位)都可以表示成zr eq blc(rc)(avs4alco1(cos isin )的形式，通常稱之為復數z的三角形式法國數學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn eq

20、blcrc(avs4alco1(rblc(rc)(avs4alco1(cos isin )nrn(cos nisin n)(nN)，我們稱這個結論為棣莫弗定理根據以上信息，下列說法正確的是()A eq blc|rc|(avs4alco1(z2) eq blc|rc|(avs4alco1(z)2B當r1， eq f(,3)時，z31C當r1， eq f(,3)時， eq o(z,sup6() eq f(1,2) eq f(r(3),2)iD當r1， eq f(,4)時，若n為偶數，則復數zn為純虛數解析：選AC對于A選項，zr(cos isin )，則z2r2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos 2isin 2)，可得|z2|r2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos 2isin 2)|r2，|z|2|r(cos isin )|2r2，A選項正確；對于B選項，當r1， eq f(,3)時，z3 eq blc(rc)(avs4alco1