11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用 學(xué)案

1、113余弦定理、正弦定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.理解測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語的確切含義2.會利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關(guān)距離、角度等問題3.能夠運用正、余弦定理解決三角形中的面積等綜合問題1.直觀想象、數(shù)學(xué)建模：正、余弦定理的實際應(yīng)用2.直觀想象、數(shù)學(xué)運算：正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用1實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫作基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90)南偏西60(指

2、以正南方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角)方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角2.解三角形應(yīng)用題的基本步驟(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形).(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在同一個三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解3三角形的面積公式(1)S eq f(1,2)aha eq f(1,2)bhb eq f(1,2)chc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高).(2)S eq f(1,

3、2)ab sin C eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)ac sinB(3)S eq f(1,2)(abc)r(r為ABC內(nèi)切圓的半徑).三角形的面積公式S eq f(1,2)ab sin C與原來的面積公式S eq f(1,2)ah(h為a邊上的高)的關(guān)系為hb sin C，實質(zhì)上b sin C就是ABC中a邊上的高h(yuǎn).1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)方向角與方位角是同一概念()(2)方位角的范圍是 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).()(3)北偏西10指的是方位角()(4)若P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北44方向()答案：(1

4、)(2)(3)(4)2輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O，兩船航行方向的夾角為120，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則14時兩船之間的距離是()A50 n mileB70 n mileC90 n mileD110 n mile解析：選B如圖，設(shè)輪船A和輪船B兩個小時后分別到達(dá)點C，D兩處，則OC50，OD30，DOC120.由余弦定理可得CD2OC2OD22OCOD cos 12050230225030( eq f(1,2)2 5009001 5004 900，所以CD70 n mile.3在ABC中，A60，AB1，AC2，則SABC的值為()A

5、eq f(1,2)B eq f(r(3),2)C eq r(3)D2 eq r(3)解析：選BSABC eq f(1,2)ABAC sin A eq f(1,2)12 eq f(r(3),2) eq f(r(3),2).4.如圖，要測出山上一座天文臺BC的高，從山腳A處測得AC60 m，天文臺最高處B的仰角為45，天文臺底部C的仰角為15，則天文臺BC的高為_m.解析：由題圖，可得B45，BAC30，故BC eq f(ACsin BAC,sin B) eq f(60sin 30,sin 45)30 eq r(2)(m).答案：30 eq r(2)探究點1測量距離問題 海上A，B兩個小島相距10

6、 n mile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是_【解析】如圖，在ABC中，C180(BA)45，由正弦定理，可得 eq f(BC,sin 60) eq f(AB,sin 45)，所以BC eq f(r(3),r(2)105 eq r(6)(n mile).【答案】5 eq r(6) n mile測量距離問題的解題思路選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時，盡量把已知元素放在同一個三角形中 1要測量河對岸A，B兩點之間的距離，選取相距 eq r(3) km的C，D兩點，并測得

7、BCA75，BCD45，ADC30，ADB45，則AB()A2 kmB eq r(5) kmC3 kmD eq r(6) km解析：選B在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD eq r(3) km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，所以BC eq f(r(3)sin 75,sin 60) eq f(r(6)r(2),2)(km).在ABC中，由余弦定理，得AB23 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),2) eq sup12(2)2 eq r(3) eq f(r(6)r(2),2)cos 755，所以AB eq r(5) km.2如圖，

8、若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點A，B(AB與河岸平行)，測得數(shù)據(jù)：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，試求C，D之間的距離解：ABCABDDBC150.因為ABCD，所以C18015030.在ABD中，AB6，ADB180756045，所以AD eq f(ABsin ABD,sin ADB) eq f(6sin 60,sin 45)3 eq r(6)，所以BD eq f(ADsin DAB,sin ABD) eq f(3r(6)sin 75,sin 60)33 eq r(3).在RtDBC中，CD eq f(BD,sin C)

9、eq f(33r(3),sin 30)66 eq r(3).所以C，D之間的距離為(66 eq r(3)m.探究點2測量高度問題如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.【解析】由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得 eq f(600,sin 45) eq f(BC,sin 30)，解得BC300 eq r(2) m在RtBCD中，CDBCtan 30300 eq r(2) eq f(r(

10、3),3)100 eq r(6)(m).【答案】100 eq r(6) eq avs4al()測量高度問題的解題思路這里要解決的主要是一些底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題常用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達(dá)的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度 如圖，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60和45，AB長為40 m，斜坡與水平面成30角，則鐵塔CD的高為_

11、m.解析：延長CD交過A，B的水平線于點E，F(xiàn)，因為CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40 m，在ACD中，由正弦定理，得 eq f(AC,sin ADC) eq f(CD,sin CAD)，即 eq f(40,f(r(3),2) eq f(CD,f(1,2)，解得CD eq f(40r(3),3).答案： eq f(40r(3),3)探究點3測量角度問題 如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處( eq r(3)1)n mile的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2 n m

12、ile的C處的我方緝私船奉命以10 eq r(3) n mile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10 n mile/h的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間【解】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10 eq r(3)t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABAC cos A( eq r(3)1)2222( eq r(3)1)2cos 1206.所以BC eq r(6).又因為 eq f(BC,sin A) eq f(AC,sin ABC)，所以sin ABC eq f(ACsin

13、 A,BC) eq f(2sin 120,r(6) eq f(r(2),2)，又ABC(0，60)，所以ABC45，所以B點在C點的正東方向上，所以CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得 eq f(BD,sin BCD) eq f(CD,sin CBD)，所以sin BCD eq f(BDsin CBD,CD) eq f(10tsin 120,10r(3)t) eq f(1,2).又因為BCD(0，60)，所以BCD30，所以緝私船沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD120，BCD30，所以CDB30，所以BDBC，即10t eq r(6).所以t eq f(r(6),10) h

14、15 min.所以緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15 min.測量角度問題的基本思路(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，在圖形中標(biāo)出相關(guān)的角和距離(2)根據(jù)實際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解 若點A在點C的北偏東30方向上，點B在點C的南偏東60方向上，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15方向上B北偏西15方向上C北偏東10方向上D北偏西10方向上解析：選B如圖所示，ACB90.又因為ACBC，所以CBA45.因為30，所以90453015.所以點A在點B的北偏西15方向上探究點4三角形中

15、的幾何計算 已知四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積【解】(1)連接BD，則由題設(shè)及余弦定理得，BD2BC2CD22BCCD cos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDA cos A54cos C由得cos C eq f(1,2)，故C60，BD eq r(7).(2)四邊形ABCD的面積S eq f(1,2)ABDA sin A eq f(1,2)BCCD sin C eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12f(1,2)32)sin 602 eq r(3).三角形中幾何計算問題的解題思路(1

16、)正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決(2)此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件 (2021南通調(diào)研)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若cos2Acos2Ccos2B1sinA sin C(1)求角B的大??；(2)若b eq r(3)，求2ac的最大值解：(1)因為cos2Acos2Ccos2B1sin A sin C，所以(1sin2A)(1sin2C)(1sin2B)1sinA sin C所以sin2Bsin2Asin2CsinA sin C所以由正弦定理可得b2a2c2ac

17、.所以由余弦定理可得cos B eq f(a2c2b2,2ac) eq f(1,2).因為B(0，)，所以B eq f(,3).(2)記R為ABC外接圓半徑因為b eq r(3)，B eq f(,3)，由正弦定理可得 eq f(b,sin B)2R2.所以2ac4R sin A2R sin C4sin A2sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)4sin A2sin eq f(2,3)cos A2cos eq f(2,3)sin A5sin A eq r(3)cos A2 eq r(7)sin (A) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,2)，其中tan

18、 eq f(r(3),5).因為0A eq f(2,3)，所以A eq f(2,3)，結(jié)合0 eq f(,2)可知2ac的最大值為2 eq r(7).1若P在Q的北偏東4450方向上，則Q在P的()A東偏北4510方向上B東偏北4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上解析：選C如圖所示2如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，從地面上C，D兩點望山頂A，測得它們的仰角分別為45和30，已知CD200 m，點C位于BD上，則山高AB等于()A100 eq r(2) mB50( eq r(3)1)mC100( eq r(3)1)mD200 m解析：選C設(shè)ABx m，在RtACB中

19、，ACB45，所以BCABx.在RtABD中，D30，則BD eq r(3)AB eq r(3)x.因為BDBCCD，所以 eq r(3)xx200，解得x100( eq r(3)1).故選C3已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北(為銳角)度的150公里處，以v km/h沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北(為銳角)度的200公里處，若cos eq f(3,4)cos ，則v()A60B80C100D125解析：選C畫出圖象如圖所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos ()，由正弦定理得 eq f(150,sin ) eq f(200,sin )，所以sin

20、eq f(4,3)sin 又cos eq f(3,4)cos ，sin2 cos21，解得sin eq f(3,5)，故cos eq f(4,5)，sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，故cos () eq f(12,25) eq f(12,25)0，代入解得v100.4在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向北偏東30方向刮去，風(fēng)速是20 km/h.水向正東方向流去，流速是20 km/h.若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_，大小為_km/h.解析：如圖所示，由題意知四邊形OACB為菱形，| eq

21、o(OA,sup6()|20，| eq o(AC,sup6()|20，OAC120，由余弦定理知| eq o(OC,sup6()|220220222020cos 1201 200，故| eq o(OC,sup6()|20 eq r(3)，COY303060.答案：6020 eq r(3)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某觀察站C與兩燈塔A，B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C的北偏東30方向上，燈塔B在觀察站C的正西方向上，則兩燈塔A，B間的距離為()A500米B600米C700米D800米解析：選C由題意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250

22、022300500cos 120，所以AB700米故選C2若某人在點A測得金字塔頂端仰角為30，此人往金字塔方向走了80 m到達(dá)點B，測得金字塔頂端的仰角為45，則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110 mB112 mC220 mD224 m解析：選A如圖，設(shè)CD為金字塔，AB80 m設(shè)CDh，則由已知得(80h) eq f(r(3),3)h，h40( eq r(3)1)109.從選項來看110最接近，故選A3有一坡面長為10 m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，要通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長()A5 mB10 mC10 eq r(2) mD1

23、0 eq r(3) m解析：選C如圖，BDA75，ACB30，DBC45，BD10 m由正弦定理，得 eq f(BD,sin BCD) eq f(CD,sin DBC)，所以CD eq f(BD sin DBC,sin BCD) eq f(10sin 45,sin 30)10 eq r(2)(m).4一船向正北方向航行，看見正西方向有相距10 n mile的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這艘船的速度是()A5 eq r(2) n mile/hB5 n mile/hC10 eq r(2) n mile/hD10

24、n mile/h解析：選D如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10 n mile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5 n mile，所以這艘船的速度是10 n mile/h.故選D5(2021無錫檢測)如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔20 000 m，速度為900 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過80 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０螢?)A5 000( eq r(3)1)mB5 000( eq r(3)1)mC5 000(3 eq r(3)mD5 000(5 eq r(3)m解析：選C如圖，過點C作

25、CDAB于點D.由題意知A30，CBD75，則ACB45，AB90080 eq f(1,3 600)20(km).所以在ABC中，由正弦定理，得BC10 eq r(2) km.因為CDAD，所以CDBC sin CBDBCsin 7510 eq r(2)sin 7555 eq r(3)(km).山頂?shù)暮０螢?0(55 eq r(3)km5 000(3 eq r(3)m.故選C6如圖所示為一角槽，已知ABAD，ABBE，并測量得AC3 mm，BC2 eq r(2) mm，AB eq r(29) mm，則ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cos ACB eq f(32（2r(2)）2（r(29

26、)）2,232r(2) eq f(r(2),2).因為ACB(0，)，所以ACB eq f(3,4).答案： eq f(3,4)7湖中有一小島，沿湖有一條南北方向的公路，在這條公路上的一輛汽車上測得小島在南偏西15方向，汽車向南行駛1 km后，又測得小島在南偏西75方向，則小島到公路的距離是_km.解析：如圖，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得 eq f(BC,sin CAB) eq f(AB,sin ACB)，BC eq f(sin 15,sin 60) eq f(r(6)r(2),2r(3)(km).設(shè)C到直線AB的距離為d，則dBC

27、 sin 75 eq f(r(6)r(2),2r(3) eq f(r(6)r(2),4) eq f(r(3),6)(km).答案： eq f(r(3),6)8.如圖，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個點C和D，測得CD200 m，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45和30，且CBD30，則塔高AB_ m解析：在RtABC中，ACB45.設(shè)ABh，則BCh，在RtABD中，ADB30，所以BD eq r(3)h.在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22h eq r(3)h eq f(r(3),2)，解得h20

28、0(負(fù)值舍去)，所以塔高AB200 m.答案：2009.如圖，在ABC中，B30，D是BC邊上的一點，AD5，AC7，DC3.(1)求ADC的面積；(2)求邊AB的長解：(1)在ADC中，由余弦定理得cos ADC eq f(AD2DC2AC2,2ADDC) eq f(523272,253) eq f(1,2).因為ADC為三角形的內(nèi)角，所以ADC120，所以sin ADC eq f(r(3),2).所以SADC eq f(1,2)ADDCsin ADC eq f(1,2)53 eq f(r(3),2) eq f(15r(3),4).(2)在ABD中，ADB60，由正弦定理得 eq f(AB,

29、sin ADB) eq f(AD,sin B)，所以AB eq f(5,f(1,2) eq f(r(3),2)5 eq r(3).10空中有一氣球D，在它正西方向的地面上有一點A，在此處測得氣球的仰角為45，同時在氣球的南偏東60方向的地面上有一點B，在此處測得氣球的仰角為30，兩觀察點A，B相距266 m，計算氣球的高度解：如圖，設(shè)CDx m，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx m.在RtBCD中，CBD30，所以CB eq f(CD,tan 30) eq r(3)x(m).在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，所以2662x2(

30、eq r(3)x)22x eq r(3)x eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2).解得x38 eq r(7)(負(fù)值舍去).所以氣球的高度為38 eq r(7) mB能力提升11.如圖，A，B兩船相距10 n mile，B船在A船南偏西45方向上，B船向正南方向行駛，A船以B船速度的 eq r(2)倍追趕B船，A船若用最短的時間追上B船，A船行駛的角度為()A南偏西30 B南偏西15C南偏東30 D南偏東15解析：選B設(shè)B船的速度為v，A船的速度為 eq r(2)v，經(jīng)過t時，A船在C點追上B船，則BCtv，AC eq r(2)tv，ABC135，如圖所示：在ABC中，由

31、正弦定理得， eq f(AC,sin 135) eq f(BC,sin BAC)，所以sin BAC eq f(BCsin 135,AC)tv eq f(r(2),2) eq f(1,r(2)tv) eq f(1,2).因為0sin BAC90，所以BAC30，則A船行駛的角度為南偏西453015.故選B12.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，則A，B兩點間的距離為()A80 eq r

32、(3)B80C160D80 eq r(5)解析：選D在ADC中， ADCADBCDB13515150，所以DAC180ACDADC15，所以ADDC80，在BDC中，DCBACBACD12015135，所以DBC180BCDBDC30.所以 eq f(BD,sin BCD) eq f(DC,sin DBC)，所以BD eq f(80sin 135,sin 30)80 eq r(2).在BDA中， AB2AD2BD22ADBDcos 135802(80 eq r(2)228080 eq r(2)( eq f(r(2),2)8025，所以AB80 eq r(5)，故選D13已知ABC的三個內(nèi)角滿足2BAC，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為_解析：由2BAC，及ABC知，B eq f(,3).在ABD中，AB1，BD eq f(BC,2)2，所以AD2AB2BD22ABBD cos eq f(,3)3.因此AD eq r(3).答案： eq r(3)14我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章