保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論研究簡介

1、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論研究簡介1報(bào)告結(jié)構(gòu)古典風(fēng)險(xiǎn)模型保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢一類馬氏調(diào)制風(fēng)險(xiǎn)模型預(yù)備知識(shí)： 齊次Poisson過程2一、古典風(fēng)險(xiǎn)模型保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究的一個(gè)重要分支，主要借助概率論與隨機(jī)過程理論來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，描述各種風(fēng)險(xiǎn)業(yè)務(wù)，著重分析和研究與保險(xiǎn)公司資產(chǎn)盈余等相關(guān)指標(biāo)的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律（如破產(chǎn)概率等），為保險(xiǎn)公司的長期穩(wěn)定經(jīng)營提供理論依據(jù)。風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)發(fā)展了一個(gè)較長時(shí)期，較為系統(tǒng)的理論始于Lundberg和Cramer, 他們建立了風(fēng)險(xiǎn)理論與隨機(jī)過程理論之間的聯(lián)系。關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)理論系統(tǒng)的論述當(dāng)推Gerber和Grandell的著作。3近幾十年來，隨機(jī)過程理論在風(fēng)險(xiǎn)問

2、題研究中的地位不斷提高，應(yīng)用隨機(jī)過程新的理論和方法來研究風(fēng)險(xiǎn)理論，不僅大大簡化了一些經(jīng)典結(jié)果的證明，而且可以解決許多新問題（如平均破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)瞬間前后的盈余額的分布、破產(chǎn)前最大盈余額的分布、引起破產(chǎn)的索賠額分布以及破產(chǎn)到恢復(fù)期間的最大盈余額的分布等問題的研究）。所應(yīng)用的主要方法有鞅方法、更新理論方法和馬爾可夫過程理論等等。 4通常的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型描述如下 其中， 表示在時(shí)刻t公司的盈余額， u 為初始準(zhǔn)備金。古典風(fēng)險(xiǎn)模型 又稱為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型是研究時(shí)間最長并且理論最為完善的風(fēng)險(xiǎn)模型。它表述如下： 令 是一個(gè)完備的概率空間，模型中的所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過程均定義在這樣一個(gè)概率空間上。 （1）過程

3、是一個(gè)強(qiáng)度為 的Poisson過程 （2） 是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為 ，且 ，期望為 5（3） 與 相互獨(dú)立， 令： 其中， 是初始準(zhǔn)備金， 是常數(shù)，表示單位時(shí)間的保費(fèi)收入， 表示 時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的索賠的次數(shù)， 表示第 i 次的索賠量。 有時(shí)也稱 為復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型， 為此模型的盈利過程，這里的保費(fèi)收入過程 是時(shí)間t 的線性函數(shù)。 6 古典風(fēng)險(xiǎn)模型研究的一個(gè)主要問題就是破產(chǎn)概率，也就是盈余過程 在某時(shí)刻小于零的概率。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式破產(chǎn)概率即為： 而 稱為生存概率。7令： 假設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，有 。（即 為輕尾分布，或矩母函數(shù)存在）。 定義相對(duì)安全負(fù)荷 ，設(shè) 。 對(duì)于古典

4、風(fēng)險(xiǎn)模型， 的破產(chǎn)概率 主要結(jié)果有： （1） （2）當(dāng) 服從指數(shù)分布時(shí)， （3） （Lundberg-Cramer逼近）， （4） （Lundberg不等式）。 8 其中（3）（4）中出現(xiàn)的R稱為Lundberg指數(shù)，即 的正解。 古典風(fēng)險(xiǎn)模型除了上述主要結(jié)果外，另外還有大量文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了多方面的研究，得到了許多很好的結(jié)果，如Alfredo Egidio dos Reis(1993,2002) , Dickson, D.C.M.(1992), Hans U. Gerber and Elias S.W. Shiu(1973,1990,1997)等等。詳情可見Grandell的著作Aspects

5、of Risk Theory。 9二、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢古典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣離散風(fēng)險(xiǎn)模型的介紹保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論發(fā)展中的重要工作及經(jīng)典著作當(dāng)前國內(nèi)的研究情況10古典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣 古典風(fēng)險(xiǎn)模型的研究為風(fēng)險(xiǎn)理論的研究奠定了基礎(chǔ)，但其模型比較簡單條件要求強(qiáng)。隨著保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展、險(xiǎn)種的不斷增加，古典風(fēng)險(xiǎn)模型不能很好地反應(yīng)保險(xiǎn)公司的實(shí)際情況。因此，對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型作出更符合實(shí)際情況的推廣很有必要。這些推廣主要有以下幾個(gè)方面：將古典風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠到達(dá)過程（齊次Poisson過程）進(jìn)行推廣： 推廣為廣義齊次Poisson過程； 推廣為非齊次Poisson過程；推廣為Cox過程：Cox風(fēng)險(xiǎn)模型；推廣為一般

6、的更新過程：更新風(fēng)險(xiǎn)模型； 等等。 11將古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的保費(fèi)收入為線性函數(shù)（ ）進(jìn)行推廣： 常數(shù)保費(fèi)率推廣為受馬氏調(diào)制的可變費(fèi)率情況； 常數(shù)保費(fèi)率推廣為隨當(dāng)前資產(chǎn)盈余而變化的情況； 考慮離散時(shí)間收取保費(fèi)的情況（固定時(shí)間、隨機(jī)時(shí)間等等）。 考慮利息率、通貨膨脹率、投資收益及隨機(jī)干擾等因素: 帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型； 帶隨機(jī)干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型（Brown運(yùn)動(dòng)干擾、其它干擾）； 隨機(jī)環(huán)境中的風(fēng)險(xiǎn)模型。12把單險(xiǎn)種模型推廣為多險(xiǎn)種模型：雙險(xiǎn)種模型； 多險(xiǎn)種模型； 具有延遲的多險(xiǎn)種模型。把索賠額分布 （輕尾分布）進(jìn)行推廣：重尾分布風(fēng)險(xiǎn)模型。 為輕尾分布： ；重尾分布：不是輕尾分布）。 13離散風(fēng)險(xiǎn)模型的介紹 相

7、對(duì)連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)模型來說，離散風(fēng)險(xiǎn)模型研究的要少一些，且大都集中在完全離散復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的研究方面。離散風(fēng)險(xiǎn)模型實(shí)際背景描述如下： 在保險(xiǎn)公司的事務(wù)中，假定： 只在每個(gè)離散時(shí)刻收取保費(fèi)并可能進(jìn)行一次賠付（在連續(xù)時(shí)間段 中發(fā)生的賠付以及收取的保費(fèi)均視為在時(shí)刻n進(jìn)行）；保險(xiǎn)公司在時(shí)刻 ，有初始準(zhǔn)備金（ ），而且只通過收取保費(fèi)獲得收入，假定每單位時(shí)間收取的保費(fèi)為 ，僅有的支出為投保人發(fā)生事故后，公司對(duì)其進(jìn)行賠付； 14記第i次賠付量為 ， 為到 n 時(shí)刻的總索賠； 表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻n的盈余資產(chǎn)。完全離散復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)一步滿足： , ； ,是取值于 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，相同的分布列為： ,

8、；索賠計(jì)數(shù)過程 ,是具有參數(shù)為 p的二項(xiàng)隨機(jī)序列， ；即N具有零初值、獨(dú)立平穩(wěn)增量，且具有參數(shù)為p 、項(xiàng)數(shù)為n的二項(xiàng)分布 ； 與 獨(dú)立。 令： ， ， 15 則稱 為完全離散復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，記為 FDCBRM ； 對(duì)于此模型，通常假定： ， 。目前有許多文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了研究，如：Willmot(1993)和Shiu(1989)、成世學(xué)和伍彪（1998）、成世學(xué)和朱仁棟（2001）等等。 復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型與完全離散復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的差別在于 ， 不必取離散值（非負(fù)整數(shù)和正整數(shù)）。進(jìn)一步，可考慮帶利息率、通貨膨脹率、投資收益及隨機(jī)干擾等因素的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型。 16保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論發(fā)展中的重要工作及經(jīng)

9、典著作保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論的形成起源于Lundberg和Cramer的工作，他們建立了風(fēng)險(xiǎn)理論與隨機(jī)過程理論之間的聯(lián)系： Lundberg：1903,1926 Cramer：1930,1945,1955 關(guān)于保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論系統(tǒng)的論述是Gerber和Grandell的著作：Gerber（1979）：An Introduction to Mathematical Risk Theory. 1973：使用“鞅方法”估計(jì)破產(chǎn)概率上界；Grandell（1991）：Aspects of Risk theory. 主要從索賠到達(dá)過程進(jìn)行推廣這個(gè)角度全面介紹了經(jīng)典模型、Cox模型、更新模型、平穩(wěn)模型等等。 17關(guān)于保

10、險(xiǎn)、金融中使用的隨機(jī)數(shù)學(xué)方法的全面介紹的著作首推Tomasz Rolski(Poland)、Hanspeter Schmidli (Denmark)、Volker Schmidt(Germany,Ulm)、Jozef Teugels(Belgium)四人合著的Stochastic Processes for Insurance and Finance(1998) 。關(guān)于破產(chǎn)概率研究最新進(jìn)展的介紹見Asmussen的專著： （2001）Ruin probabilities。本書對(duì)風(fēng)險(xiǎn)理論中的破產(chǎn)概率這個(gè)核心問題，從理論到方法進(jìn)行了全面的論述。 18當(dāng)前國內(nèi)的研究情況 南開大學(xué)：應(yīng)用馬氏過程和Br

11、own運(yùn)動(dòng)研究帶隨機(jī)干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型； 清華大學(xué)：離散風(fēng)險(xiǎn)模型（隨機(jī)模擬）； 中國科大：大索賠重尾分布的風(fēng)險(xiǎn)模型；中南大學(xué)：馬氏過程及馬氏骨架過程應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)理論研究；上海大學(xué)：隨機(jī)環(huán)境中的風(fēng)險(xiǎn)模型；湖南師大：離散風(fēng)險(xiǎn)模型。 19三、一類馬氏調(diào)制風(fēng)險(xiǎn)模型 針對(duì)與索賠無關(guān)的這類隨機(jī)環(huán)境（比如經(jīng)濟(jì)形勢，政策因素，保險(xiǎn)公司內(nèi)部的經(jīng)營狀況等），以下給出了一種特殊的隨機(jī)環(huán)境下的風(fēng)險(xiǎn)模型：具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型。模型的基本假設(shè)設(shè) 是一具有有限狀態(tài)的平穩(wěn)遍歷馬氏跳過程，其狀態(tài)空間記為S. 當(dāng) 它處于狀i 時(shí)，離開狀態(tài)i 的強(qiáng)度是 ，轉(zhuǎn)移矩陣 ，密度矩陣 ，平穩(wěn)分布為 ；保險(xiǎn)費(fèi)率是受馬氏過程

12、 控制的，即時(shí)刻t的費(fèi)率為 ，當(dāng)時(shí)，費(fèi)率為常數(shù) ；20N(t)是在時(shí)間（0，t內(nèi)保險(xiǎn)公司發(fā)生的索賠次數(shù)，這個(gè)記數(shù)過程是參數(shù)為的齊次Poisson過程；第i次索賠量記為 ，索賠量是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，有共同分布F(x)和 期望 ；假設(shè) 、索賠量和索賠到達(dá)過程三者是相互獨(dú)立. 令 其中 u=R(0)0是保險(xiǎn)公司的初始資產(chǎn) R(t)是在時(shí)刻t公司的盈余資產(chǎn) 這就是我們要研究的具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型。21 對(duì)于給定的初始狀態(tài)i, 破產(chǎn)概率記為 ； 為具有初始分布 的最終破產(chǎn)概率； 定義保險(xiǎn)公司經(jīng)營的相對(duì)安全負(fù)荷為 其中 ，且總假設(shè) 。 主要結(jié)果和方法 應(yīng)用馬氏過程理論和微分法

13、討論該風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率。在相對(duì)安全負(fù)荷大于零的條件下，當(dāng)初始資產(chǎn)趨向于無窮時(shí)，破產(chǎn)概率趨向于零。以下分別給出條件破產(chǎn)概率和最終破產(chǎn)概率所滿足的積分方程，并導(dǎo)出了在零初始資產(chǎn)的條件下，最終破產(chǎn)概率的明確表達(dá)式。22結(jié)論1 對(duì)于上述風(fēng)險(xiǎn)模型，若 ，則有結(jié)論2 對(duì)于上述風(fēng)險(xiǎn)模型，當(dāng) 時(shí)，初始狀態(tài)為i的破產(chǎn)概 率 滿足如下的積分方程：其中23結(jié)論3 若馬氏鏈 的初始分布為 則最終破產(chǎn)概率 滿足如下的積分方程 特別地有本模型可做的進(jìn)一步研究估計(jì)破產(chǎn)概率的收斂速度估計(jì)破產(chǎn)概率的lundberg型不等式資產(chǎn)盈余的瞬時(shí)分布24四、預(yù)備知識(shí)： 齊次Poisson過程 定義1 計(jì)數(shù)過程 稱作齊次Poisson過程，如果它滿足以 下幾個(gè)條件： ；對(duì)于任意 ，增量 有參數(shù)為 的Poisson分布，即對(duì) ； 這里 是常數(shù)，稱作過程的強(qiáng)度。具有獨(dú)立增量。 25 在以上定義中，條件（1）是對(duì)過程初始狀態(tài)的規(guī)定，它不是實(shí)質(zhì)性的限制。條件（2）蘊(yùn)含過程具有平穩(wěn)增量，即 的分布只依賴于差數(shù) 而與 的具體值