山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件26隨機變量函數(shù)的分布

1、隨機變量函數(shù)的分布一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積 A= 的分布.例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.已知t=t0 時刻噪聲電壓 V的分布，求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等. 設(shè)隨機變量X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？下面進行討論. 這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.二、離散型隨機變量函數(shù)的分布解： 當(dāng) X 取值 1，2，5 時， Y 取對應(yīng)值 5，7，13，例1設(shè)X求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù).而且X取某值與Y取其

2、對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項即可.一般，若X是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為X則 Y=g(X)如：X則 Y=X2 的概率函數(shù)為：Y三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，例2設(shè) X 求 Y=2X+8 的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )于是Y 的密度函數(shù)故注意到 0 x 4 時， 即 8 y 0 時, 注意到 Y=X2 0，故當(dāng) y 0時，解： 設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為 和 ，若則 Y=X2 的概率密度為： 從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過程

3、中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X,從而得到與 g(X) y 等價的X的不等式 .例如，用 代替 2X+8 y X 用 代替 X2 y 這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.例4 設(shè)隨機變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度.當(dāng) y 0時, 當(dāng) y 1時, 當(dāng)時故解：注意到,xsinx01 =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 解：當(dāng)0y1時, 例4 設(shè)隨機變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度.xsinx01y當(dāng)0y1, G(y)=1;對y0 , G(y)=0;由于對0y1,G(y)=P(

4、Y y)=P(F(X) y)=P(X (y)=F( (y)= y即Y的分布函數(shù)是求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)可見, Y 服從0，1上的均勻分布.本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用. 例如，想得到具有密度函數(shù)為的隨機數(shù). 參數(shù)為 的指數(shù)分布 根據(jù)前面的結(jié)論， Y=F(X)服從0,1上的均勻分布. 由于 當(dāng)x0時， 是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) .應(yīng)如何做呢？ Y=F(X)服從0,1上的均勻分布. 由于 當(dāng)x0時， 是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) .記 u=F(x)為0,1上的隨機數(shù), u=1-則由x即為指數(shù)分布的隨機數(shù).得由于1-u仍為0,1上的隨機數(shù),上式也可寫為r為0,1上的隨機數(shù) 于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方法

5、如下:均勻隨機數(shù) r給指數(shù)分布參數(shù)指數(shù)隨機數(shù)令x其中，此定理的證明與前面的解題思路類似.x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)定理 設(shè) X是一個取值于區(qū)間a,b，具有概率密度 f(x)的連續(xù)型r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對于任意x, 恒有 或恒有 ，則Y=g(X)是一個連續(xù)型r.v，它的概率密度為例6 設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)lnx0, 于是 y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)由前述定理得注意取絕對值已知X在(0,1)上服從均勻分布，代入 的表達式中得即Y服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布. 對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X)