44高斯型求積公式

1、4.4 高斯型求積公式1在Newton-Cotes求積公式中,節(jié)點是等距的,從而限制了求積公式的代數(shù)精度.下面的討論將取消這個限制條件,使求積公式的代數(shù)精度盡可能高.首先以簡單情形論證這樣做是可行的,然后給出概念和一般理論。例 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解 按代數(shù)精度的概念，分別令 時上式左邊與右邊分別相等，有由第二式和第四式可得 ，結(jié)合第一式和第三式得 取 得于是得到求積公式它有3次代數(shù)精度，而以兩個端點為節(jié)點的梯形公式只有1次代數(shù)精度。一般地，考慮帶權(quán)求積公式其中 為2n+2個待定參數(shù)，適當(dāng)選擇這些參數(shù)，有可能使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度。定義 如果上述求積公式

2、具有2n+1次代數(shù)精度，則稱該公式高斯型求積公式，稱 其節(jié)點為高斯點，系數(shù) 稱為高斯系數(shù)。 如果象前面例子那樣，直接利用代數(shù)精度的概念去求n+1個Gauss點和n+1個求積系數(shù)，則要聯(lián)立2n+2個非線性方程組。方程組是可解的，但當(dāng)n稍大時，解析的求解就很難，數(shù)值求解非線性方程組也不容易。所以下面從分析Gauss點的特性著手研究Gauss公式的構(gòu)造問題 。由插值余項知插值型求積公式的代數(shù)精度不可能低于n，另一方面，若取 則有截斷誤差說明插值型求積公式的代數(shù)精度不可能達到2n+2,高斯型求積公式是具有最高階代數(shù)精度的求積公式。定理 1 對于插值求值公式其節(jié)點 是Gauss點的充分必要條件是多項式

3、與任意不超過n次多項式 P(x)帶權(quán)正交,即 證. 先證必要性.設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過n的多項式,則 的次數(shù)不超過 2n+1。因此,如果 是Gauss點，則求積公式對于 是準確成立的，即有但 故結(jié)論成立。再證充分性。設(shè)f(x)是任意個次數(shù)不超過2n+1的多項式，用 除f（x），記商為P（x），余式為Q(x)，即其中P(x)和Q(x)都是次數(shù)不超過n的多項式，于是有由于是插值型求積，它對于Q(x)能準確立即注意到 知 ，從而有由此可見，求積公式對于一切次數(shù)不超過2n+1的多項式均能準確成立。因此，是Gauss點，定理得證。由于n+1次正交多項式與比它次數(shù)低的任意多項式正交，并且n+1次正交多

4、項式恰好有n+1各互異的實的單根，我們有下面的推論。 推論 n+1次正交多項式的零點是n+1點Gauss公式的Gauss點。 利用正交多項式得出Guass點后，利用插值原理可得Gauss公式的求積系數(shù)為其中 是關(guān)于Gauss點的Lagrange插值基函數(shù)。定理2 高斯型求積公式總是穩(wěn)定的。證明 只需證明高斯系數(shù)全為正即可。由于插值公式對次數(shù)不超過2n+1的多項式精確成立，若取 是n次拉格朗日插值基函數(shù)，有 即高斯系數(shù)全為正，從而算法是穩(wěn)定的。定理3 設(shè) ,則高斯型求積公式是收斂的。定理4 設(shè) ，則高斯型求積公式的截斷誤差為4.4.2 高斯-勒讓德求積公式在區(qū)間-1，1上取權(quán)函數(shù) ，取正交多項式

5、為Legendre多項式以n+1次Legendre多項式的零點 為Gauss點的求積公式為 稱之為Gauss-Legendre求積公式。其中由前面的討論知，正交多項式的零點就是高斯點，因此取不同的正交多項式就得到不同的高斯型求積公式。高斯-勒讓德求積公式的余項為當(dāng)n=0時，一次Legendre多項式x的零點為0， 為2；當(dāng)n=1時，二次Legendre多項式零點為 , 為1（k=0,1) ; 當(dāng)n=2時，三次Legendre多項式零點為 ，以此為Gauss點，可構(gòu)造出具有五次代數(shù)精度的3點Gauss-Legendre求積公式kAGuass-Legendre求積公式中的Gauss點和求積系數(shù)見書

6、上表4-4。對于一般區(qū)間a，b上的求積，如果用Gauss-Legendre求積公式，那么必須作變量替換使 時， ，并有 對于上式右邊的積分可以應(yīng)用Guss-Legendre求積公式。1,1-tbax,例 用Gauss-Legendre求積公式(n=1,2)計算積分解 由于區(qū)間為0,1,所以先作變量替換x=(1+t)/2,得對于n=2,由三點Gauss-Legendre公式有令 對于n=1,由兩點Gauss-Legendre公式有此定積分的精確值為 I=e-2=0.718281828,得n=1時的誤差為0.0063340054, n=2時的誤差為0.000030049。2.高斯-切比雪夫求積公式

7、 在區(qū)間-1,1上取權(quán)函數(shù) 的正交多項式是Chebyshev正交多項式。n+1次Chebyshev多項式 的零點為 以此為Gauss點,利用Chebyshev多項式的性質(zhì)可得相應(yīng)的求積系數(shù) 為其中 是關(guān)于Gauss點的Lagrange插值基函數(shù).從而有Gauss-Chebyshev求積公式如下對于n=1, 二次Chebyshev多項式為 ，二點Gauss-Chebyshev求積公式為對于n=2,三次Chebyshev多項式為 ，三點Gauss-Chebyshev求積公式為例 計算積分解 選用n=2的Gauss-Chebyshev求積公式計算,這時 于是有3.高斯-拉蓋爾求積公式 將插值型求積公式中的區(qū)間a,b換成區(qū)間0， ，權(quán)函數(shù)取為 ，取節(jié)點為n+1次拉蓋爾多項式的零點，稱這樣的高斯型求積公式為高斯-拉蓋爾求積公式，其表示式為其中截斷誤差為書上表4.6給出了部分高斯-拉蓋爾