山大《線性代數》輔導課件08投入產出問題

1、投入產出問題1. 背景介紹 一個國家或區(qū)域的經濟系統(tǒng)中,各部門(或企業(yè))既有消耗又有生產,或者說既有“投入” 又有“產出”.生產的產品供給各部門和系統(tǒng)外的需求,同時也消耗系統(tǒng)各部門所提供的產品,消耗的目的是為了生產；生產的結果必然要創(chuàng)造新價值. 顯然對每一部門,物資消耗和新創(chuàng)造的價值等于它生產的總產值. 這就是“投入”和“產出”之間的平衡關系. 俄裔美國經濟學家W.Leontief于20世紀30年代首先提出并成功地建立了研究國民經濟的投入產出的數學模型，他數次主持制定了美國的國民經濟投入產出表，且由此對國民經濟各部門的結構和各種比例關系進行了定量分析. 這一方法即投入產出法以其重要的應用價值迅

2、速為世界各國經濟學界和決策部門所采納. W.Leontief因此于1973年獲得了Nobel經濟學獎.2. 實際問題 一個城鎮(zhèn)有三個主要生產企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經濟系統(tǒng).生產價值1元的煤，需消耗0.25元的電費和0.35元的運輸費；生產價值1元的電，需消耗0.40元的煤費、0.05元的電費和0.10元的運輸費；而提供價值1元的鐵路運輸服務，則需消耗0.45元的煤、0.10元的電費和0.10元的運輸費. 在某個星期內，除了這三個企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25000元的電量供應要求，而地方鐵路得到價值30000元的運輸需求. 試問 這三個企業(yè)在這星期各應生

3、產多少產值才能滿足內外需求？3. 數學模型 設煤礦、電廠和地方鐵路在這星期生產總產值分別為x1 x2和x3(元)，那么(分配平衡方程組)(直接消耗矩陣)鱹鱹鱹鴠鰙鐌鐌鐌鑮鎪-=-90.010035.010.095.025045.040.01AE求各生產總值我們把分配平衡方程寫成解上述方程可知，在該星期中,煤礦、電廠和地方鐵路的總產值分別為114458元, 65395.4元和85111元.其中4. 新創(chuàng)價值問題 除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價值(即產值中除去各企業(yè)的消耗所剩的部分)分析 將x1=114458分別乘以0，0.25，0.35得到各企業(yè)為煤礦的總

4、產值所作消耗，寫為把上面三個向量寫成矩陣即得下面的關系式 類似地各企業(yè)對電廠、鐵路的產值所作消耗分別為 設 z1 , z2和z3(元)分別為煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)價值，那么應有 容易得到 z1 = 45783.2 z2= 29427.9 z3= 29766.8 產出 中間產品 最終產品 總產值投入 煤礦 電廠 鐵路 小計 煤礦 0 26158 38300 64458 50000 114458 電廠 28614 3270 8511 40395 25000 65395 鐵路 40060 6540 8511 55111 30000 85111 小計 68674 35968 55322 1

5、59964 105000 264964新創(chuàng)價值 45784 29427 29789 105000 總產值 114458 65395 85111 264964 一般說，在對一個國家或區(qū)域的經濟用投入產出法進行分析和研究時，首先根據統(tǒng)計數字制定投入產出表，進而計算出有關的技術系數.對這些系數的分析，可以了解經濟系統(tǒng)的結構和各部門之間的數量關系，還可通過求解方程組來獲知最終需求的變動對各部門生產的影響投入產出表5. 完全消耗 如果煤礦需要增加總產值10000元，它對各個企業(yè)的產品或服務的完全需求分別將是多少？ 在某個企業(yè)生產或提供服務時，對任何一個產品的直接消耗事實上還蘊含著其他產品的間接消耗.例如

6、地方鐵路在運輸時直接消耗了煤，但它還通過消耗電而間接消耗煤，因為電的生產需要消耗煤.這樣就有了完全消耗系數的概念. 設煤礦、電廠和地方鐵路生產單位產值對煤、電和鐵路運輸的總消耗值(即完全消耗系數)分別為bij；那么記 完全消耗矩陣反映了煤礦、電廠和鐵路在生產需求上的關系.而且從完全需求的角度揭示了它們在更深層次上的相互依賴關系.這意味著如果該城鎮(zhèn)要擴大煤的生產而每周增加產值1萬元，那就不僅需要相應增產0.25萬元的電和0.35萬元的運輸能力作為直接消耗，事實上而且還將有約近0.46萬元的煤、0.20萬元的電和0.27萬元的運輸能力作為間接消耗可得6. 經濟預測 若在以后的三星期內,企業(yè)外部需求的增長速度是煤每周增長15，電力每周增長3，鐵路每周運輸增長12；那么各企業(yè)的總產值將平均每周增長多少？ 根據問題中給出的增長率，可知在以后的第三周，煤、電和鐵路運輸的外部需求(最終產品)量分別為根據外部需求，解方程組 利于Mathematica,就可以解出第三周的產出應為 即屆時這三企業(yè)的總產值分別達到元、元和元.以目前這周的產出向量為