2022-2023學年人教A版必修第一冊 第五章 5.5.2簡單的三角恒等變換（二） 學案

1、5.5.2簡單的三角恒等變換(二)學習任務一角的變換問題(邏輯推理)1求值：sin eq f(,12) eq r(3) cos eq f(,12) _【解析】sin eq f(,12) eq r(3) cos eq f(,12) 2( eq f(1,2) sin eq f(,12) eq f(r(3),2) cos eq f(,12) )2(sin eq f(,12) cos eq f(,3) cos eq f(,12) sin eq f(,3) )2sin ( eq f(,12) eq f(,3) )2sin eq f(,4) eq r(2) .答案： eq r(2) 2已知tan ( eq

2、 f(5,4) ) eq f(1,5) ，則tan _【解析】因為tan ( eq f(5,4) ) eq f(1,5) ，所以tan ( eq f(,4) ) eq f(1,5) ，則tan tan ( eq f(,4) eq f(,4) ) eq f(tan blc(rc)(avs4alco1(f(,4)tan f(,4),1tan blc(rc)(avs4alco1(f(,4)tan f(,4) eq f(f(1,5)1,1f(1,5)1) eq f(15,51) eq f(3,2) .答案： eq f(3,2) 3函數(shù)f eq blc(rc)(avs4alco1(x) eq f(r(2

3、),4) sin ( eq f(,4) x) eq f(r(6),4) cos ( eq f(,4) x)的周期是_，最大值是_【解析】f eq blc(rc)(avs4alco1(x) eq f(r(2),2) eq f(1,2) sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) eq f(r(3),2) cos eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) eq f(r(2),2) sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) cos eq f(,3) cos eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) sin eq f(,3)

4、 eq f(r(2),2) sin ( eq f(,4) x eq f(,3) ) eq f(r(2),2) sin ( eq f(7,12) x)；所以周期為2，最大值為 eq f(r(2),2) .答案：2 eq f(r(2),2) 角的三種變換(1)配角變換：2 eq f(,2) ，()，()， eq f(1,2) ()()， eq f(1,2) ()()， eq f(,4) eq f(,2) ( eq f(,4) )等(2)輔助角變換：a sin xb cos x eq r(a2b2) sin (x)，其中tan eq f(b,a) .(3)常值代換：1sin2cos2，1sin90t

5、an 45， eq f(1,2) sin 30， eq f(r(3),2) cos 30等學習任務二三角恒等變換的實際應用(數(shù)學運算)【典例】如圖，半圓的直徑AB2，O為圓心，C，D為半圓上的點(1)請你確定點C的位置，使ABC的周長最大，并說明理由；(2)已知ADDC，設ABD，當為何值時，四邊形ABCD的周長最大？并求出最大值【解析】(1)如圖，當C在半圓中點位置時，ABC的周長最大理由如下：因為點C在半圓上，且AB是圓的直徑，所以ACB eq f(,2) ，即ABC是直角三角形設BCa，ACb，ABC(0 eq f(,2) )，又AB2，則a2cos ，b2sin ，ABC的周長ab22

6、cos 2sin 22(cos sin )22 eq r(2) sin ( eq f(,4) )2.因為0 eq f(,2) ，所以 eq f(,4) eq f(,4) 0，0)的最大值為2，設x1，x2是函數(shù)f(x)的任意兩個零點，|x1x2|的最小值為 eq f(,2) .(1)求a，的值；(2)若f() eq f(2,3) ，求sin( eq f(5,6) 4)的值【解析】(1)f(x)a sin 2x eq r(3) cos 2x eq r(a23) sin (2x)，其中tan eq f(r(3),a) ，由題意知 eq r(a23) 2，a0，則a1.因為|x1x2|的最小值為 eq f(,2) ，所以f(x)的周期為，則 eq f(2,2) ，解得1.(2)由(1)知f(x)2sin (2x eq f(,3) ).由f() eq f(2,3) 知，2sin (2 eq f(,3) ) eq f(2,3) ，即sin (2 eq f(,3) ) eq f(1,3) ，所以sin ( eq f(5,6) 4)sin eq f(3,2) eq