(典型題)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 知識點總結(jié) 空間中的平行與垂直

1、空間中的平行與垂直高考對本節(jié)知識的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題真假實行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體實行考查，難度中等主干知識梳理1線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理ab、buaaa=aa日一X/線面平行的性質(zhì)定理allaauBanB=b=alb曰用b/線面垂直的判定定理aua,buaanb=OIda,l丄b一l丄a線面垂直的性質(zhì)定理a丄ab丄a芻alb2面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理

2、面面垂直的判定定理a丄aa丄BauBJ面面垂直的性質(zhì)定理a丄BanB=cauaa丄ca丄Ba面面平行的判定定理auBbuBanb=Oaa,ba丿aBn面面平行的性質(zhì)定理aBany=aBay=bnab提醒使用相關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可3平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖考點一空間線面位置關(guān)系的判斷例1(1)l,l,l是空間三條不同的直線，則下列命題準(zhǔn)確的是()123l丄l,l丄lnll122313l丄l,llnl丄l122313lllnl,l,l共面123123l,l,l共點nl,l,l共面123123(2)設(shè)】，m是兩條不同的直線，a是一個平面，則下列命題準(zhǔn)確的是()

3、若l丄m,mua,貝yl丄aB.若l丄a,lm,則m丄aC.若la,mua,貝ylmD.若la,ma，貝ylm答案(1)B(2)B解析(1)對于A,直線t與l3可能異面、相交；對于C,直線ll2、l3可能構(gòu)成三棱柱的三條棱而不共面；對于D,直線l、壬、l3相交于同一個點時不一定共面，如正方體一個頂點的三條棱.所以選B.(2)A中直線l可能在平面a內(nèi)；C與D中直線l,m可能異面；事實上由直線與平面垂直的判定定理可得B準(zhǔn)確.解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理實行判斷,必要時能夠利用正方體、長方體、

4、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中.(1)(2013廣東)設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，下列命題中準(zhǔn)確的是()若a丄B,mua,nuB,則m丄n若aB,mua,nuB,貝mn若m丄n,mua,nuB,貝a丄B若m丄a,mn,nB，貝a丄B(2)平面a平面B的一個充分條件是存有一條直線a,aa,aB存有一條直線a,aua,aB存有兩條平行直線a,b,存有兩條異面直線a,b,aua,buB,aB,baaua,buB,aB,ba答案(1)D(2)D解析(1)A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中m與n可平行、可異面；C中若aB，仍然滿足m

5、ln,mua,nuB,故C錯誤；故D準(zhǔn)確.(2)若anB=l,al,aQa,aQB,貝aa,aB，故排除A.若anB=l,aua,al.則aB，故排除B.若anB=l,aua,al.buB,bl,則aB,ba.故排除C.故選D.考點二線線、線面的位置關(guān)系例2如圖，在四棱錐PABCD中,ZABC=ZACD=90,ZBAC=ZCAD=60,PA丄平面ABCD,E為PD的中點，PA=2AB.(1)若F為PC的中點，求證：PC丄平面AEF；(2)求證：EC平面PAB.證明由題意得PA=CA,F為PC的中點,.AF丄PC.VPA丄平面ABCD,.PA丄CD.VAC丄CD,PAnAC=A,：CD丄平面PA

6、C,CD丄PC.VE為PD的中點，F(xiàn)為PC的中點,.EFCD,.EF丄PC.VAFnEF=F,.：PC丄平面AEF.(2)方法如圖，取AD的中點M,連接EM,CM.則EMPA.VEMQ平面PAB,PAu平面PAB,EM平面PAB.在RtAACD中，ZCAD=60,MC=AM,.ZACM=60.而ZBAC=60,：MCAB.TMCG平面PAB,ABu平面PAB,.MC平面PAB.TEMnMC=M,平面EMC平面PAB.VECu平面EMC,.EC平面PAB.方法二如圖，延長DC、AB,設(shè)它們交于點N,VZNAC=ZDAC=60,AC丄CD,C為ND的中點.VE為PD的中點，ECPN.VECQ平面P

7、AB,PNu平面PAB,.EC平面PAB.立體幾何中，要證線垂直于線，常常先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線.要證線平行于面,只需先證線平行于線,再用線平行于面的判定定理易得.證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，所以需要多畫出一些圖形輔助使用.如圖所示，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=BB,D為AC的中點.(1)求證：B1C平面A1BD；若AC丄平面ABD，求證:BC丄平面ABBA；在(2)的條件下，設(shè)AB=1,求三棱錐B-A1C1D的體積.證明如圖所示，連接人21交兔2于,連接ED./ABC-ABC是直三棱柱，且AB=BB,側(cè)面ABBA是正

8、方形，E是AB勺中點，又已知D為AC的中點，在4AB1C中，ED是中位線,BCED,.BC平面ABD.111證明VAC丄平面ABD,.AC丄AB.V側(cè)面ABBA是正方形，:A丄AB】.又ACnAB=A,11AB丄平面ABC,.AB丄BC.111111又VABC-ABC是直三棱柱，.BB丄BC,111ABC丄平面ABBA.1111解AB=BC,D為AC的中點,ABD丄AC,.BD丄平面DCA.ABD是三棱錐B-ACD的高.由(2)知BC丄平面ABBA,ABC丄平面ABBA.ABC丄AB,AABC是等腰直角三角形.又.AB=BC=1,ABD=AAC=AC=2.117A三棱錐B-ACD的體積V=jB

9、DSACD=12X1ACAA=2,，2X1=1.ii3ii322ii112*6考點三面面的位置關(guān)系例3如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=2,AB丄AD,AE丄平面ABD.M為線段BD的中點，MCAE,AE=MC=；2.求證：平面BCD丄平面CDE；若N為線段DE的中點，求證：平面AMN平面BEC.證明(1)AB=AD=2,AB丄AD,M為線段BD的中點,/.AM=|bD=；2,AM丄BD.AE=MC=/2,aae=mc=|bd2,abc丄CD.AE丄平面ABD,MCAE,MC丄平面ABD.A平面ABD丄平面CBD,AM丄平面CBD.又MC綊AE,A四邊形AMCE為平行四邊形，AECAM,

10、AEC丄平面CBD,ABC丄EC,*.*ECnCD=C,ABC丄平面CDE,A平面BCD丄平面CDE.M為BD中點，N為ED中點,.MNBE且BEnEC=E,由（1）知ECAM且AMnMN=M,平面AMN平面BEC.(1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行,再轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存有這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決CFDCFLf如圖所示，已知AB丄平面ACD,DE丄平

11、面ACD,ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB,F為CD的中點.求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE丄平面CDE.證明(1)如圖，取CE的中點G,連接FG,BG.F為CD的中點，GFDE且GF=2dE.TAB丄平面ACD,DE丄平面ACD,.ABDE,GFAB.又ab=|de,agf=ab.四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.*.*AF平面BCE,BGu平面BCE,.AF平面BCE./ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點,.AF丄CD.DE丄平面ACD,AFu平面ACD,DE丄AF.又CDnDE=D，故AF丄平面CDE.BGAF,.BG丄平面CDE.*.*BGu平面BCE,.平面B

12、CE丄平面CDE.考點四圖形的折疊問題例4(2012北京)如圖(1),在RtAABC中,ZC=90,D,E分別為AC,AB的中點，點F為線段CD上的一點，將MDE沿DE折起到小単的位置，使A”丄CD,如圖.求證:DE平面ACB；求證：A”丄BE；線段A1B上是否存有點Q,使Ag丄平面DEQ?說明理由.折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些量沒有變化第(1)問證明線面平行，能夠證明DEBC；第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明Af丄平面BCDE；第問取A1B的中點Q,再證明Ag丄平面DEQ證明因為D,E分別為AC,AB的中點，所以DEBC.又因為DE平面ACB,BCu平面AR

13、B,所以DE平面ACB.證明由已知得AC丄BC且DEBC,所以DE丄AC.所以DE丄AD,DECD.所以DE丄平面ADC.而AFu平面ADC,所以DE丄A”.又因為AF丄CD,所以A”丄平面BCDE,所以AF丄BE.解線段A1B上存有點Q,使A丄平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由知,DE丄平面ADC,1所以DE丄AR.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,所以AC丄DP.所以AC丄平面DEP.從而AC丄平面DEQ.故線段A1B上存有點Q,使得A1C丄平面DEQ(1)解決與折疊相關(guān)的問題

14、的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時,要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形(2013廣東)如圖(1),在邊長為1的等邊三角形ABC中，D,E分別是AB,AC上的點，AD=AE,F是BC的中點，AF與DE交于點&將厶ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC-.證明:DE平面BCF；證明:CF丄平面ABF；2當(dāng)AD=-,求三棱錐FDEG的體積人叭.3FDEG(1)證明在等邊AABC中，AD=AE,AE=EC在折疊后的三棱錐ABCF中也成立.D

15、EBC,又DE平面BCF,BC平面BCF,.DE平面BCF.證明在等邊ABC中，F(xiàn)是BC的中點，AF丄CF.在三棱錐ABCF中，BC=.bc2=bf2+cf2=4+1=2，：cf丄bf.又BFnAF=F,.CF丄平面ABF.解=仁=-忌吋皿=-送春卜申卜-=.證明線線平行的常用方法利用平行公理,即證明兩直線同時和第三條直線平行利用平行四邊形實行轉(zhuǎn)換；利用三角形中位線定理證明；利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明證明線面平行的常用方法利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找

16、到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行.證明線線垂直的常用方法利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；利用勾股定理逆定理；利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.證明線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等.1.證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線

17、，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存有這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決.E,F,且EF=2，則下列結(jié)論中錯誤的是如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段BR上有兩個動點A.AC丄BEEF平面ABCD三棱錐A-BEF的體積為定值A(chǔ)AEF的距離與ABEF的面積相等答案D解析VAC丄平面BBDD,又BE平面BBDD,1111.AC丄BE,故A準(zhǔn)確.VBD平面ABCD,又E、F在線段BD上運動，故EF平面ABCD故B準(zhǔn)確.C中因為點B到直線EF的距離是定值，故ABEF的面積為定值，又點A到平面BEF的距離為定值，故V不變.故C準(zhǔn)確.ABEF因

18、為點A到B1D1的距離與點B到B1D1的距離不相等，所以AAEF與ABEF的面積不相等,故D錯誤.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E是棱DD勺中證明：平面ADCB丄平面ABE；在棱CD上是否存有一點F,使BF平面ABE?證明你1111的結(jié)論.所以BC丄面ABBA.因為ABu面ABBA，證明如圖，因為ABCD-A1B1CR為正方體,所以BC丄AB.又因為AB丄AB，BCnAB=B,所以AB丄面ADCB.111111因為ABu面ABE，所以平面ADCB丄平面ABE.解當(dāng)點F為C1D1中點時，可使B1F平面A1BE.證明如下：易知：efcd,且ef=2cd.設(shè)ABnAB=0,貝yB0C

19、D且B0=+cD,1111121所以EF#B0且EF=B卩，所以四邊形B10EF為平行四邊形.所以BF#0E.又因為BF面ABE,OEu面ABE.所以BF面ABE.（推薦時間：60分鐘）一、選擇題已知a,B，Y是三個互不重合的平面，l是一條直線，下列命題中準(zhǔn)確的是（）A.若a丄B,l丄B,貝laB若l上有兩個點到a的距離相等，則la若l丄a,lB，貝a丄B若a丄B,a丄丫，貝Y丄B答案C解析當(dāng)a丄B,l丄B時，l能夠在a內(nèi)，.選項A不準(zhǔn)確；如果a過l上兩點A,B的中點，則A,B到a的距離相等，選項B不準(zhǔn)確；當(dāng)a丄B,a丄丫時，能夠有BY，選項D不準(zhǔn)確，.準(zhǔn)確選項為C.已知直線m,n和平面a,則

20、mn的必要不充分條件是（）A.ma且naB.m丄a且n丄aC.ma且nuaD.m,n與a成等角答案D解析mn不能推出ma且na,ma,na時，m,n可能相交或異面，為即不充分也不必要條件，A不準(zhǔn)確；m丄a,n丄a時，mn,為充分條件，但mn不能推出m丄a,n丄a,故B不準(zhǔn)確；mn不能推出ma且nua,ma，且nua時，m和n可能異面，為即不充分也不必要條件，故C不準(zhǔn)確；mn時，m,n與a成等角，必要性成立，但充分性不成立，故選D.如圖，四邊形ABCD中，ADBC,AD=AB,ZBCD=45,ZBAD=90。，將ADB沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BC

21、D中，下列命題準(zhǔn)確的是（）A.平面ABD丄平面ABCC.平面ABC丄平面BDC平面ADC丄平面BDCD.平面ADC丄平面ABC答案D解析在四邊形ABCD中，ADBC,AD=AB,ZBCD=45,ZBAD=90,：BD丄CD,又平面ABD丄平面BCD,且平面ABDn平面BCD=BD,所以CD丄平面ABD,則CD丄AB,又AD丄AB,ADnCD=D，所以AB丄平面ADC,又AB平面ABC,所以平面ABC丄平面ADC,故選D.下列命題中，m、n表示兩條不同的直線，a、B、Y表示三個不同的平面.若m丄a,na，則m丄n；若a丄丫，B丄Y，貝VaB；若ma,na,則mn；若aB,BY，m丄a，則m丄Y.

22、準(zhǔn)確的命題是()A.B.C.D.答案C解析平面a與B可能相交，中m與n能夠是相交直線或異面直線故錯，選C.一正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開,使截面平行于棱VB和AC,若木塊的棱長為a,則截面面積為()a2a2A.叮aC4a答案C解析如圖，在面VAC內(nèi)過點P作AC的平行線PD交VC于點D,在面VAB內(nèi)作VB的平行線交AB于點F,過點D作VB的平行線交BC于點E.連接EF,易知PFDE,故P,D,E,F共面，且面PDEF與VB2故選C.6.在正三棱錐S-ABC中，M,N分別是SC,BC的中點，且MN丄AM,若側(cè)棱SA=2爲(wèi)，貝怔三棱錐S-ABC外接球的表面積是A.12n

23、B.32n和AC都平行，易知四邊形PDEF是邊長為的正方形，故其面積為才,36nD.48n答案C解析由MN丄AM且皿“是厶BSC的中位線得BS丄AM,又由正三棱錐的性質(zhì)得BS丄AC，所以BS丄面ASC.即正三棱錐S-ABC的三側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，外接球直徑為-.l3SA=6.球的表面積S=4nR2=4nX32=36n.選C.、填空題設(shè)x,y,z是空間中的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若x丄z,且y丄z,則xy”為真命題的是（填出所有準(zhǔn)確條件的代號）.x為直線，y,z為平面；x,y,z為平面；x,y為直線，z為平面；x,y為平面，z為直線；x,y,z為直線.答案解析因為垂直于同

24、一個平面的兩條直線平行，所以準(zhǔn)確；因為垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以準(zhǔn)確；若直線x丄平面z,平面y丄平面z,則可能有直線x在平面y內(nèi)的情況，所以不準(zhǔn)確；若平面x丄平面z,平面y丄平面z,則平面x與平面y可能相交，所以不準(zhǔn)確；若直線x丄直線z,直線y丄直線z,則直線x與直線y可能相交、異面、平行，所以不準(zhǔn)確.8.如圖，在二棱柱ABCApp中，側(cè)棱AA丄底面ABC,底面是以ZABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BBi=3a,D是Ag】的中點，點F時，CF丄平面BDF.在線段AA1上，當(dāng)AF=答案a或2a解析由題意易知，BD丄平面ACCA，所以BD丄CF.要使CF丄平面BDF，只需CF丄

25、DF即可.令CF丄DF,設(shè)AF=x，則AF=3a-x.易知RtACAFsRtFAD,AF口rt2a3a-xAD，即T=F，9.其中準(zhǔn)確的命題是（填上所有準(zhǔn)確命題的序號）11整理得x2-3ax2a2=0，解得x=a或x=2a.如圖，AB為圓0的直徑，點C在圓周上（異于點A,B）,直線PA垂直于圓0所在的平面，點M為線段PB的中點.有以下四個命題:PA平面MOB；M0平面PAC；0C丄平面PAC；平面PAC丄平面PBC.答案這與BC丄AC矛盾;解析錯誤，PA平面MOB；準(zhǔn)確；錯誤，否則，有0C丄AC,準(zhǔn)確，因為BC丄平面PAC.三、解答題(2013重慶)如圖，四棱錐PABCD中，PA丄底面ABCD

26、,PA=2/3,nBC=CD=2,ZACB=ZACD=3o求證：BD丄平面PAC；若側(cè)棱PC上的點F滿足PF=7FC,求三棱錐PBDF的體積.(1)證明因為BC=CD,所以BCD為等腰三角形，又ZACB=ZACD,故BD丄AC.因為PA丄底面ABCD,所以PAIBD.從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD丄平面PAC.解三棱錐PBCD的底面BCD的面積S=;rBCCDsinZBCD=;X2X2Xsin=；3.BCD223由PA丄底面ABCD,得Vpbcd=3SMCDPA=3X5X2辺=2.由PF=7FC，得三棱錐FBCD的高為|pA,故Vfbcd=人和=*譏*2=4所以v=VV=2_4=PBDFPBCDFBCD44(2012廣東)如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB丄平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DF=#AB,PAD中AD邊上的高.(1)證明:PH丄平面ABCD；若PH=1,AD=,2,FC=1