中考數(shù)學(xué)-以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明

1、以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明類型之一以等腰三角形為背景的計(jì)算與證明【教材原型】把一張頂角為36的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形你能辦到嗎？請(qǐng)畫(huà)示意圖說(shuō)明剪法(浙教版八上P64作業(yè)題第6題)解：如答圖，作ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D.在BA上截取BEBD，連結(jié)ED，則沿虛線BD，DE剪兩刀，分成的三個(gè)三角形都是等腰三角形教材原型答圖【思想方法】等腰三角形的性質(zhì)常與角平分線、線段的垂直平分線結(jié)合在一起證明線段相等，或者與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合在一起求角度，或者通過(guò)列方程或方程組解決等腰三角形中關(guān)于邊的計(jì)算【中考變形】1如圖Z101，ABC中，ABAC，DE垂

2、直平分AB，BEAC，AFBC，則EFC_.【解析】DE垂直平分AB，AEBE.BEAC，ABE是等腰直角三角形，BACABE45.又ABAC，45圖Z101CBEABCABE67.54522.5.ABAC，AFBC，BFCF，BFEF，BEFCBE22.5，EFCBEFCBE22.522.545.2河北如圖Z102，BOC9，點(diǎn)A在OB上，且OA1，按下列要求畫(huà)圖：以A為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；圖Z102這樣畫(huà)下去，直到

3、得第n條線段，之后就不能再畫(huà)出符合要求的線段了，則n_.【解析】由題意可知，AOA1A，A1AA2A1，則AOA1OA1A，A1AA2A1A2A，BOC9，A1AB18，A2A1C27，A3A2B36，A4A3C45，9n90，解得n10，故答案為9.9【中考預(yù)測(cè)】已知：如圖Z103，ABC中，ABAC，A100，BD是ABC的平分線，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且BDBE.求DEC的度數(shù)圖Z103BEBD，DEC180DEB18080100.故DEC的度數(shù)是100.類型之二以直角三角形為背景的計(jì)算與證明【教材原型】已知：如圖Z104，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且BFAC，DFDC.求

4、證：BEAC.(浙教版八上P82作業(yè)題第5題)證明：ADBC，ADCBDF90，又BFAC，DFDC，RtBDFRtADC(HL)，DBFDAC，圖Z104BFDAFE(對(duì)頂角相等)，AEFBDF90，即BEAC.【思想方法】直角三角形角之間的聯(lián)系在幾何計(jì)算與證明中應(yīng)用廣泛，常與三角形全等知識(shí)結(jié)合使用【中考變形】1金華如圖Z105，將RtABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABC，連結(jié)AA，若120，則B的度數(shù)是 ( )A70 B65 C60 D55【解析】RtABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，CAA45，ABC1CAA204565，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

5、得BABC65.B圖Z1052如圖Z106，ADBC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AB，ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，若AOC125，則ABC_.【解析】ADBC，AOC125，CAOCADC1259035.D為BC的中點(diǎn)，ADBC，OBOC，OBCC35.OB平分ABC，ABC2OBC23570.圖Z106703黃岡模擬已知：如圖Z107，在ABC，ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)BD.求證：(1)BADCAE；(2)試猜想BD，CE有何特殊位置關(guān)系，并證明解：(1)證明：BACDAE90，BACCADDAECAD，即BADCAE，又A

6、BAC，ADAE，BADCAE(SAS)；圖Z107(2)BD，CE特殊的位置關(guān)系為BDCE.證明如下：由(1)知BADCAE，ADBE.DAE90，EADE90，ADBADE90，即BDE90.BD，CE特殊的位置關(guān)系為BDCE.4如圖Z108，在ABC中，ABCB，ABC90，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BEBD，連結(jié)AE，DE，DC.(1)求證：ABECBD；(2)若CAE30，求BDC的度數(shù)解：(1)證明：ABC90，DBE180ABC1809090，ABECBD.ABECBD；圖Z108(2)ABCB，ABC90，ABC是等腰直角三角形，ECA45.CAE30，BEAEC

7、AEAC，BEA453075.由(1)知BDCBEA，BDC75.5菏澤如圖Z109，已知ABC90，D是直線AB上的點(diǎn)，ADBC.(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AFAB，并截取AFBD，連結(jié)DC，DF，CF，判斷CDF的形狀并證明；(2)如圖，E是直線BC上一點(diǎn)，且CEBD，直線AE，CD相交于點(diǎn)P，APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由圖Z109解：(1)CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAB，ABC90，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)ADDBC(SAS)，F(xiàn)DDC，又DCBBDC90，F(xiàn)DADCB，BDCFDA90，F(xiàn)DC90.CDF是等腰直角三角形；(2)APD的度數(shù)是固定

8、值，理由如下：作AFAB于A，使AFBD，連結(jié)DF，CF，如答圖，AFAD，ABC90，F(xiàn)ADDBC，在FAD與DBC中，F(xiàn)ADDBC(SAS)，中考變形5答圖FDDC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DADCB，BDCDCB90，BDCFDA90，CDF是等腰直角三角形，F(xiàn)CD45，AFCE，且AFBD，BDCE，四邊形AFCE是平行四邊形，AECF，APDFCD45.6重慶如圖Z1010在ABC中，ACB90，ACBC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)CF，且ACFCBG.求證：(1)AFCG；(2)CF2DE.

9、圖Z1010證明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45，又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，AFCG；(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.ACBC，CG平分ACB，CHAB，H為AB中點(diǎn)，又ADAB，CHAD，G為BD中點(diǎn)，DEGC，E為AC中點(diǎn)，AEEC，中考變形6答圖又AEDCEG，AEDCEG，DEEG，DG2DE，BGDG2DE，由(1)得CFBG，CF2DE.【中考預(yù)測(cè)】一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)：如圖Z1011，已知在RtABC中，ABBC，ABC90，BOAC于點(diǎn)O.點(diǎn)P，D分別在AO和BC上，PBPD，DEAC于點(diǎn)E.求證：BPOPDE.圖Z1011(1)理清思路，完成解答：本題證明的思路可以用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書(shū)寫(xiě)本題的證明過(guò)程；(2)特殊位置，證明結(jié)論：若BP平分ABO，其余條件不，求證：APCD；(3)知識(shí)遷移，探索新知：若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫(xiě)出CD與AP的數(shù)量關(guān)系(不必寫(xiě)解答過(guò)程)