北京四中中考數(shù)學總復(fù)習：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算-知識講解（提高）

1、PAGE 第PAGE 頁碼12頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)12頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.中考總復(fù)習：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算知識講解（提高）撰稿：張曉新 審稿：杜少波【考綱要求】1了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；2結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點

2、梳理】考點一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）(5)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓. （3）把圓分成n(n3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n

3、邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個外接圓.(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.要點詮釋：（1）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角

4、.（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.考點二、圓中有關(guān)計算1圓中有關(guān)計算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.弓形的面積（1）由弦及其所對的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-SOAB；（2）由弦及其所對的優(yōu)弧組成的弓形，

5、S弓形=S扇形+SOAB.OABABOmABOm要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計算1如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點E，以點O為圓心的O與弧AE，邊AD，DC都相切把扇形BAE作一個圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是O，則AD的長為（）A.4B.

6、QUOTE C. QUOTE D.5【思路點撥】首先求得弧AE的長，然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長【答案】D；【解析】解：AB=4，B=90，圓錐的底面圓恰好是O，O的周長為2，O的半徑為1 QUOTE ，AD=BC=BE+EC=4+ QUOTE 1= QUOTE 5.故選D【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計算及相切兩圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記弧長的計算公式.舉一反三：【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計算 自主學習7】【變式1】如圖，兩個相同的正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處求重疊部分面積與陰影部分面積之比.【

7、答案】解：連結(jié)OA、OB、OC，設(shè)OA交AB于K，OE交CD于H，AOK=AOC-KOC=120-KOC，COH=120-KOC，AOK=COH，又OAK=OCH=60，OA=OC，AOKCOH，由AOKCOH，得S五邊形OKBCH=S四邊形ABCO=2SOBC，S陰影=S正六邊形ABCDEF-S五邊形OKBCH=6SOBC-2SOBC=4SOBC.S五邊形OKBCH：S陰影= . 即重疊部分面積與陰影部分面積之比為： . 【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計算 自主學習8】【變式2】 已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長為. 【答案】證明：作OAB的平分線AM交OB于M，則O=OAM=

8、36，AMB=B=72， OM=MA=AB，則ABMOAB得：用R，a10分別表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+ Ra10-R2=0,解關(guān)于a10的一元二次方程得（負值已舍去）. 類型二、正多邊形與圓綜合運用2如圖所示，AB是半圓的直徑，AB2r，C、D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積 【思路點撥】圖中陰影部分是一個不規(guī)則圖形，可利用C、D是半圓的三等分點，得到，從而有CDADAB，進而CDAB，故有ACD與OCD的面積相等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積【答案與解析】解：連接OC、OD、CD ， CDADAB CDAB， 又 CODAOB60， 【總結(jié)升華】本題容

9、易誤認為陰影部分是扇形，對扇形的定義、圖形理解不準確，此陰影部分為不規(guī)則圖形，應(yīng)利用等積轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形扇形舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，BC4，以點A為圓心，2為半徑的A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是A上的一點，且EPF40，則圖中陰影部分的面積是( ) A B C D【答案】連接AD，則ADBC，陰影部分面積故答案：B 3有一個兩直角邊分別為15cm和20cm的直角三角形，若繞一邊旋轉(zhuǎn)一周，可得到幾種幾何體？你能分別求出其全面積嗎？【思路點撥】可將直角三角形繞邊長為15cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面半徑為20cm，錐高為15cm的圓錐體；繞邊長為20

10、cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可得底面半徑為15cm，錐高為20cm的圓錐體；繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，可得兩個圓錐的組合體，按這三種情況分別計算全面積即可【答案與解析】解：三種由圖可知，以AC15cm為軸旋轉(zhuǎn)一周，則其全面積 由圖可知，以BC20為軸旋轉(zhuǎn)一周，則其全面積 如圖所示，以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個圓錐組合體，其全面積S是上下兩個錐體的側(cè)面積之和作CDAB于D，則， ，即底面半徑為12cm S1220+1215240+180420(cm2)【總結(jié)升華】利用面積公式計算時，要仔細分析題意，找準已知量和未知量，特別注意全面考慮問題，分情況逐一計算，防止漏解4如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6cm

11、的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是多少？【思路點撥】小貓所經(jīng)過的路程要最短，應(yīng)該求圓錐側(cè)面展開后兩點B、P之間的線段長度.【答案與解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，展開后圓心角度數(shù)為n，則底面圓的周長為2r，側(cè)面展開圖的弧長為， 軸截面ABC為等邊三角形， ABBC，即 r3 n180，即其側(cè)面展開圖為半圓，如圖所示，則ABP為直角三角形，BP為最短路線在RtABP中，答：小貓所經(jīng)過的最短路程為【總結(jié)升華】 將所求問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側(cè)面展開

12、圖的弧長溝通空間元素與平面元素之間的關(guān)系5如圖，在正方形ABCD中，AB4，O為對角線BD的中點，分別以O(shè)B，OD為直徑作O1，O2(1)求O1的半徑； (2)求圖中陰影部分的面積【思路點撥】連接O1E，求出一個小弓形的面積再乘以4即可.【答案與解析】解：(1)在正方形ABCD中，ABAD4，A90， O1的半徑為，即O1的半徑為(2)連接O1E， BD為正方形ABCD的對角線， ABO45 O1EO1B， BEO1EBO245 BO1E90 根據(jù)圖形的對稱性得 S1S2S3S4， 【總結(jié)升華】求陰影部分面積時，一般要將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積求差或和.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，水平地面上有一面積為30cm2的扇形AOB，半徑OA6cm，且OA與地面垂直在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，求O點移動的距離【答案】解：觀察圖形可知O點移動距離即為扇形滾動距離，而扇形滾動距離為優(yōu)弧的弧長 ， 答：O點移動的距離為10 cm6如圖，已知在O中，AC是O的直徑，ACBD于F，A30(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請你出這個圓錐的底面圓的半徑【思路點撥】 （1）陰影部分是一個扇形，扇形圓心角BOD2BOC2230120，只需通過解直角三角形