2022屆廣西貴港市高級中學(xué)高三畢業(yè)班5月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆廣西貴港市高級中學(xué)高三畢業(yè)班5月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】A【分析】先解出集合A、B，再求【詳解】集合，所以故選：A2已知復(fù)數(shù)z滿足z（1i）13i，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?，則，所以對應(yīng)坐標(biāo)為（1，

2、2），在第二象限故選：B3已知平面向量，滿足，則 （）ABCD【答案】A【分析】由平面向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，以及數(shù)量積的定義，分配律，即可求出【詳解】由，得，解得故選：A4若，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5在二項(xiàng)式的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的第項(xiàng)系數(shù)為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意得，則，分析求解即可.【詳解】由的展開式中只有第項(xiàng)的二

3、項(xiàng)式系數(shù)最大可知，則的展開式的通項(xiàng)為，則展開式中的第項(xiàng)為，系數(shù)為，故選：B65G基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地區(qū)已經(jīng)累計(jì)開通5G基站300個(gè)，未來將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)已知2021年8月該地區(qū)計(jì)劃新建50個(gè)5G基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建40個(gè)，預(yù)計(jì)A地區(qū)累計(jì)開通4640個(gè)5G基站要到（）A2022年10月底B2022年9月底C2022年8月底D2022年7月底【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解【詳解】由題意得，2021年8月及之后該地區(qū)每個(gè)月建設(shè)的5G基站數(shù)量為等差數(shù)列，則公差為40，假設(shè)要經(jīng)過k個(gè)月，則，

4、解得：，所以預(yù)計(jì)A地區(qū)累計(jì)開通4640個(gè)5G基站要到2022年9月底，故選：B7已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A，B，C，D，【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出，再將切點(diǎn)代入切線方程，即可求出；【詳解】解：，將代入得，故選：C8若雙曲線C： 的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線C的離心率為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式求出，再根據(jù)求出，然后由離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】雙曲線C：的漸近線為，即，根據(jù)對稱性不妨取，圓的圓心為，半徑，又弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，又圓心到漸近線的距離為，所以，解得.所以，得，所以離心率故選：A9

5、函數(shù)在其定義域上的圖象大致是（）ABCD【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性，以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號即可由排除法選出正確圖象.【詳解】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又因?yàn)闀r(shí)，所以，所以，故在區(qū)間與軸有三個(gè)交點(diǎn)，故排除.故選：C.10九章算術(shù)中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意將三棱錐放入長方體中，長方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，求出長方體外接球半徑，即可求出外接球體積；再由“塹堵”的性質(zhì)

6、求剩余四棱錐的體積即可.【詳解】由題知：剩余的幾何體為三棱錐，平面，將三棱錐放入長方體，長方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，如圖所示：外接球半徑，所以外接球體積，陽馬的體積為故選：B11已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）ABCD【答案】D【分析】先化簡為，再根據(jù)題意得出，求解即可.【詳解】解：由，得，即. 設(shè)，即在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，故只需，解得，故選：D12已知，則下列結(jié)論正確的是（）AbcaBabcCbacDcba【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較出的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，從而可比較出的大小和的大小，從而可得結(jié)果【詳解】，由于，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，

7、當(dāng)時(shí)，所以f（x）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，得：，即，又，所以，得：，即，綜上：，故選：D二、填空題13若x，y滿足約束條件，則zx2y的最大值為_【答案】0【分析】作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義可求得答案【詳解】由題意，作出所表示的平面區(qū)域，如圖所示， 聯(lián)立，解得，即，由可行域可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，最大值為，故答案為：014已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，成等差數(shù)列，則_.【答案】3【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，討論不成立，再由等比數(shù)列的求和公式，解方程可得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求值【詳解】解：由題意可知等比數(shù)列的公比，否則，不成等差數(shù)列，于是，

8、，解得，解得或（舍去），又由，得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，注意討論公比是否為1，同時(shí)考查等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題15已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，過、分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，若與的面積之比為，則的值為_【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式結(jié)合拋物線的定義可得出，結(jié)合韋達(dá)定理可得出、的方程組，即可解得正數(shù)的值.【詳解】由拋物線得，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，由已知和拋物線定義知，所以，故由焦半徑公式得，即，故，解得.故

9、答案為：.16正方體的棱長為，分別為，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：上底邊的中點(diǎn)在平面內(nèi)直線與平面不平行平面截正方體所得的截面面積為 點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等錯(cuò)誤的命題是_【答案】【分析】對于：根據(jù)題意得，所以，所以，四點(diǎn)共面，分析即可判斷；對于：取的中點(diǎn)，連接，由條件可知，分析判斷即可；對于：因?yàn)?，求出，再求解即可；對于：記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，分析即可判斷.【詳解】在中，如圖所示，連接，延長，交于點(diǎn)，因?yàn)椋瑸?，的中點(diǎn)，所以，所以，所以，四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形，所以上底邊的中點(diǎn)不在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；在中，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由條件可知，且，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?，故錯(cuò)誤；在

10、中，由可知，因?yàn)?，所以，所以，故正確；在中，記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤故答案為： . 三、解答題17在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求角A；(2)若，求ABC的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出；（2）由正弦定理及三角恒等變換得到，結(jié)合求出，結(jié)合第一問求出，利用面積公式進(jìn)行求解.【詳解】(1)由題意及正弦定理得，即，即所以，因?yàn)椋?2)由，得，所以由正弦定理得，又因?yàn)椋?，所以又，所以，所以，從而ABC是等邊三角形因?yàn)?，所?8數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增

11、長態(tài)勢，下表為2017-2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年-2021年對應(yīng)的代碼依次為1-5.年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；(2)已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率.參考數(shù)據(jù)：，其中.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】

12、(1)(2)【分析】（1）結(jié)合回歸方程的求法，求得回歸方程.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】(1)設(shè)，則，所以，.所以關(guān)于的回歸方程為.(2)因?yàn)橹袊诰€直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，則選擇在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，不在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，從這人隨機(jī)抽取人，結(jié)果有：，共種，其中人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的結(jié)果為：，共種，所以這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率為.19如圖，在三棱臺中，ABC為等邊三角形，平面ABC，將梯形繞旋

13、轉(zhuǎn)至位置，二面角的大小為30(1)若，證明：；(2)若，設(shè)G為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)M，可證平面，從而證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】(1)證明：取的中點(diǎn)M，連接、MB，依題意得是正三角形，所以又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以，又，所以平面，又平面，所?2)因?yàn)槠矫妫孕D(zhuǎn)后四點(diǎn)共面，又因?yàn)?，所以是二面角的平面角，所以，又，所以；以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則A（0，0，4），B（2，

14、0，4），C（1，4），D（0，2，4），（0，0，0），（4，0，0），（2，2，0），（0，4，0），所以G（0，3，2），則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得， 設(shè)與平面所成角為，則 所以與平面所成角的正弦值為20給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“海中圓”若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為（1）求橢圓的方程和其“海中圓”方程；（2）點(diǎn)是橢圓的“海中圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意得，直接計(jì)算可得；（2）分無斜率和有斜率兩種情況證明，無斜率時(shí)可直接求出直線，有斜率時(shí)聯(lián)立方程組，利用判別式

15、和韋達(dá)定理解決.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為：，“海中圓”的方程為： （2）當(dāng)，中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與“海中圓”交于點(diǎn)，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是（或），即為（或），顯然直線，垂直；同理可證方程為時(shí)，直線，垂直當(dāng)，都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，則，消去得到，即，化簡得：，因?yàn)椋杂?，設(shè)，的斜率分別為，因?yàn)?，與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，滿足上述方程，所以，即，垂直【點(diǎn)晴】在解決有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題型中，最容易忽視的就是直線的斜率是否存在的問題，要牢

16、記在心，再一點(diǎn)要深刻體會(huì)設(shè)而不求的思想，簡化運(yùn)算，才能游刃有余的解決圓錐曲線問題.21已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若對于任意的，都有，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出，分和兩種情況討論即可得答案；（2）由（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理存在，使得，由對于任意的，都有，可得也是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程的根，所以，又，所以，所以等價(jià)于，由，不等式右邊易證，左邊要證，即證，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】(1)解：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對于任意的，都有，所以在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；(2)證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)

17、單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), ，因?yàn)閷τ谌我獾?，都有，所以也是函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程的根，所以，又因?yàn)?，所以，所以等價(jià)于，因?yàn)?，所以，下面證明：.要證，即證，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以只需證，又因?yàn)?，所以也只需證，設(shè)，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以，所以成立，即，因?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷存在，使得，從而可得也是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程的根，進(jìn)而將欲證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明.22在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值【答案】(1)，(2)1【分析】（1）消去參數(shù)可把參數(shù)方程化為普通方程，由公式可把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互