數(shù)學(xué)物理方法71

1、把方程的解表示為以 為中心、帶有待定系數(shù)的冪級(jí)數(shù)，將這個(gè)冪級(jí)數(shù)代入方程及定解條件，求出所有待定系數(shù)即可得該方程的解。需要求二階線性齊次常微分方程第7章 二階線性常微分方程的解。這里z是復(fù)變量， 和 是已知的復(fù)變函數(shù)，稱為方程的系數(shù)， 是待求的未知函數(shù)線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法 利用復(fù)變函數(shù)論求二階線性齊次常微分方程 的級(jí)數(shù)解。具體為：1 (2)對(duì)于級(jí)數(shù)，存在是否收斂和收斂范圍的問題。用級(jí)數(shù)解法要選定某個(gè)點(diǎn) 作展開中心，得到的解是以 為中心的冪級(jí)數(shù)。另外還必須確定冪級(jí)數(shù)的收斂圓，級(jí)數(shù)解只在收斂圓內(nèi)部才有意義。說明：(1)級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，對(duì)方程無特殊的要求。7.1 二階線性常微分方程解

2、的一般性質(zhì)二階線性齊次常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：（7-1-0）其中：w ( z )未知的復(fù)變函數(shù)，p (z )、q ( z )已知的復(fù)變函數(shù) (方程的系數(shù))2在一定條件下 ( 如初始條件 )滿足(7-1-0)的 w( z )。要求解的問題：方程(7-1-0)的解的性質(zhì) (解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性、單值性等) 由方程的系數(shù) p ( z)和 q ( z )的解析性確定。 設(shè) p ( z )和q ( z)在一定的區(qū)域中，除若干個(gè)孤立奇點(diǎn)外， 是z的單值解析函數(shù)。區(qū)域中的點(diǎn)可分為兩類：1.方程的常點(diǎn)：如果 p ( z)和 q ( z)都在點(diǎn) 的鄰域解析， 則 ： 稱為方程的常點(diǎn)。 32.常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解

3、可以證明：在常點(diǎn) 的鄰域 內(nèi)，方程(7-1-0)(其中 任意常數(shù))例：求厄米特方程 在 鄰域內(nèi)的解。的冪級(jí)數(shù)解。解的具體形式： 有唯一滿足初始條件解1. 級(jí)數(shù)解的形式由于 在 解析 是方程的常點(diǎn)。級(jí)數(shù)解具有以下形式：4比較同次冪的系數(shù)，對(duì)上式作變換：2.將級(jí)數(shù)解代入方程，求待定系數(shù)。( ：任意常數(shù))級(jí)數(shù)解具有以下形式令5由上式可見，偶次冪與奇次冪項(xiàng)彼此獨(dú)立，可分別用表示。 由于上式在 的鄰域內(nèi)成立，即是 z 的一個(gè)恒等式，故 z 的同次冪的系數(shù)為0，則待定系數(shù)的遞推關(guān)系63. 線性無關(guān)的解： 都是方程的解，但線性無關(guān)。方程的通解是 與 的線性組合。同理：73. 方程的奇點(diǎn)：只要兩系數(shù)p(z)和

4、q(z)之一在 點(diǎn)不解析， 就稱為方程的奇點(diǎn)。如果 最多是 p(z)的一階極點(diǎn), q(z)的二階極點(diǎn)，則 稱為方程的正則奇點(diǎn)。否則，則 稱為方程的非正則奇點(diǎn)。8定理1. 如果 是方程 的奇點(diǎn)，則在 p(z)和 q(z) 都解析的環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)，方程的兩個(gè)線性無關(guān)解是4. 正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解補(bǔ)充：關(guān)于指標(biāo)方程的來源?；颍?-1-2）（7-1-3）（7-1-1）9可以看到，在 是方程的奇點(diǎn)的情形下，如果 或者不是整數(shù)，或者 ， 方程都有多值函數(shù)解。 顯然，把解(7-1-1)，(7-1-2)或(7-1-3)代入方程中去確定 時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)所得到的是一組無窮多個(gè)未知數(shù)的聯(lián)立方程。 但在一定條件下，會(huì)出現(xiàn)(7

5、-1-1)，(7-1-2)或(7-1-3)式中 其中： 是常數(shù)級(jí)數(shù)沒有負(fù)冪項(xiàng)的情形。這樣的解稱為正則解。10即是正則奇點(diǎn) 和 在 中解析。即 最多是 p(z)的一階極點(diǎn)，同時(shí)最多是q(z)的二階極點(diǎn)，內(nèi)有兩個(gè)正則解的充要條件是：關(guān)于正則解，有如下定理：定理2. 方程 在它的奇點(diǎn) 的鄰域（7-1-4）求正則解的步驟：（對(duì)于一般的 點(diǎn)，只需把 ） 為方便起見，設(shè)正則奇點(diǎn)11以 乘方程 得： 其中 由條件(7-1-4)可知： ， 在 z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)是解析的，作泰勒展開：（7-1-5）（7-1-6）（7-1-7）設(shè)方程(5-1-6)的正則解為：（7-1-8）12要使上式在 的區(qū)域內(nèi)成立，左邊z的各次冪的系數(shù)必須等于零消去因子 ，得：將(7-1-7)、(7-1-8)代入(7-1-6)式中，得：（7-1-9）由z的最低次冪的系數(shù)為零得：為已知13說明：由指標(biāo)方程 的兩個(gè)根 故用遞推關(guān)系(7-1-11)一般可以得到兩組系數(shù)。利用遞