對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分課件

1、 前一章從積分范圍的角度, 我們已經(jīng)把積分概念從數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, 在應(yīng)用領(lǐng)域, 有時(shí)常常會(huì)遇到計(jì)算密度不均勻的曲線 (面)的質(zhì)量, 變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)所作的功, 通過某曲面的流體的流量等. 為解決這些問題, 需要對(duì)積分概念作進(jìn)一步的推廣, 引進(jìn)曲線積分和曲面積分的概念, 給出計(jì)算方法, 這就是本章的中心內(nèi)容, 此外還要介紹 Green公式、Gauss公式和 Stokes公式, 這些公式揭示了存在于各種積分之間的聯(lián)系.第十章 曲線積分與曲面積分 難點(diǎn): 第二型曲線積分的計(jì)算與Green公式, 第二型曲面積分的計(jì)算與Gauss公式和Stokes公式. 重點(diǎn): 兩類曲

2、線(面)積分的概念和計(jì)算方法, 格林(Green)公式, 高斯(Gauss)公式, 斯托克斯(Stokes)公式, 曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 1. 理解兩類曲線積分的概念及性質(zhì), 了解兩類曲線積分的關(guān)系. 2. 掌握兩類曲線積分的計(jì)算. 3. 掌握格林(Green)公式, 會(huì)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 4. 了解兩類曲面積分的概念及性質(zhì), 了解兩類曲面積分的關(guān)系. 5. 掌握兩類曲面積分的計(jì)算. 6. 了解高斯(Gauss)公式, 斯托克斯(Stokes)公式. 7. 了解散度, 旋度的及其計(jì)算方法. 8. 掌握用曲線積分及曲面積分求一些幾何量和物理量.基本要求:一、問題的提出 實(shí)例:

3、 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 密度均勻時(shí)的質(zhì)量: M= s 對(duì)于密度非均勻時(shí): 記si為Mi-1到Mi的小弧段的長(zhǎng)度, 同時(shí)也記為該小弧段上點(diǎn)的集合. 近似: 任取(i, i)si , 則該小弧段的質(zhì)量近似為: 求和: 分割: 在曲線AB上任意插入分點(diǎn)M1, M2, , Mn-1.10.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分及其計(jì)算 取極限: 精確值 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念 記為各小弧段中長(zhǎng)度的最大值, 若當(dāng)0時(shí), 以上和式的極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)f(x, y)在曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分, 或稱為函數(shù)f(x, y)在L上的第一類曲線積分, 記作 1. 定義: 設(shè)L=AB為xoy平面上的一條光滑曲線, 函數(shù)f

4、(x, y)在L上有界. 在曲線L上任意插入n1個(gè)點(diǎn)M1, M2, , Mn-1, 把L分成 n個(gè)小弧段, 記第 i 個(gè)小弧段的長(zhǎng)度為si, 在第 i 個(gè)小弧段si上任意取一點(diǎn)(i, i)作乘積f(i, i)si, 并作和式 積分曲線 被積函數(shù) 積分和式 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 即 弧微分 2. 存在條件: 如果函數(shù)f(x, y)在光滑曲線L上連續(xù), 則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 存在. 3. 推廣: 函數(shù)f(x, y, z)在空間光滑曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義為:4. 性質(zhì) 注意:(2) 若積分曲線L可分為兩段光滑的曲線L1和L2, 則 (3) 若在積分曲線L上滿足f(x, y) g(x, y), 則 特

5、別地, 有 (1) 若積分曲線L分段光滑, 分為光滑曲線L1和L2, 則 (2) 函數(shù)f(x, y)在封閉積分曲線L上的積分記為: 光滑曲線: 是指處處有切線的曲線. 三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算 定理: 設(shè)函數(shù)f(x, y)在積分曲線L上連續(xù), L的參數(shù) ( t ), 且(t), (t)在, 上一階 方程為 導(dǎo)數(shù)連續(xù), 則有 注意: 轉(zhuǎn)換后定積分的下限一定要小于上限( ). 特殊情形:(1) 若L: y=(x), a x b, (2) 若L: x= (y), c y d, 證明: 由于函數(shù)f(x, y)在積分曲線L上連續(xù), 故曲線積分 存在. 假設(shè)參變量 t 由變到 時(shí), 曲線L上的點(diǎn)M(x,

6、y)由點(diǎn)A連續(xù)地變到點(diǎn)B, 在L上取一點(diǎn)列, A=M0, M1, M2, , Mn-1, Mn=B, 它們對(duì)應(yīng)一列單調(diào)增加的參變量: = t0, t1, t2, , tn-1, tn = .根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義, 有其中點(diǎn)(i ,i)為弧Mi-1Mi上的任意一點(diǎn), 其對(duì)應(yīng)的參變量值為i, 即i =(i), i =(i), ti-1 i ti. 由于 應(yīng)用積分中值定理得: 其中ti = ti ti-1, ti-1 i ti, 于是 由于(i ,i)的任意性, 則i 同樣也具有任意性, 故在上式中取i為i, 故上式為: 由函數(shù)f及, 的性質(zhì)可知, 上式右端的和式極限存在, ( )因此有對(duì)弧長(zhǎng)

7、的曲線積分的計(jì)算三原則: 一代、二換、三定限.代: 將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù), 換: 換弧微元 定限: 確定定積分限: 下限小參數(shù), 上限大參數(shù). 推廣: 若 ( t ), 則 例1: 計(jì)算 其中L: x2+y2=a2在第二象限的 部分. 解一: 將L表示為: - a x 0. 有則解二: 將L表示為: 0 y a.有則解三: 將L表示為參數(shù)方程: 例2計(jì)算其中L為上點(diǎn)(0,0)與點(diǎn)(1,1)之間的一段弧解:例3: 求 其中L為拋物線 y2=4x 從(1, 2) 到(1, 2)一段. 例4: 求 其中為螺旋線: 在0 2的一段. 解: 若L關(guān)于y 軸對(duì)稱: 注: 關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

8、的對(duì)稱性: (2) 當(dāng) f(x, y) = f(x, y) 時(shí), (1) 當(dāng) f(x, y)= f(x, y) 時(shí), 其中L1是L的關(guān)于y 軸對(duì)稱的部分弧段: 若L關(guān)于x 軸對(duì)稱: (2) 當(dāng) f(x, y) = f(x, y) 時(shí), (1) 當(dāng) f(x, y)= f(x, y) 時(shí), 其中L2是L的關(guān)于x 軸對(duì)稱的部分弧段: L2 = (x, y) | (x, y)L, y 0 . L1 = (x, y) | (x, y)L, x 0 . 若L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱: (2) 當(dāng) f(x, y) = f(x, y)時(shí), (1) 當(dāng) f(x, y)= f(x, y)時(shí), 其中L3是L的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分

9、弧段: 若L關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱: L3 = (x, y) | (x, y)L, x 0, y 0 . 解: 此圓周為一半徑為a, 球心在原點(diǎn)的球面被通過球心的平面 x+y+z=0 所截得. 再由被積函數(shù)在積分曲線上的對(duì)稱性, 可得故例5: 求 其中為圓周: 球面大圓周長(zhǎng)) 例. 已知橢圓周長(zhǎng)為a , 求提示:原式 =利用對(duì)稱性四、幾何與物理意義 (1) 幾何意義: 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 表示以曲線L為準(zhǔn) 線, 母線平行于z軸的柱面介于曲面z=f(x, y)(0)與xoy平面之間部分曲面的面積.當(dāng)f(x, y)1時(shí), 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 在數(shù)值上就等于曲線L的弧長(zhǎng). 曲線L的重心坐標(biāo): (2) 物理意義及應(yīng)用:設(shè)(x, y)表示曲線L的線密度, 則 曲線L的質(zhì)量: 曲線L關(guān)于 x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: 例6: 計(jì)算半徑為R, 中心角為2的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I (設(shè)線密度=1).解: 取坐標(biāo)系如圖. 則所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 為: xRyoL設(shè)L的參數(shù)方程為: