二維傅里葉變換

1、二維傅里葉變換Joseph Fourier, our heroFourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在系統(tǒng)理論中占有重要的地位，其原理與矢量分解為正交矢量的概念非常相似正交矢量空間和正交函數(shù)系I 正交矢量空間三維空間n維空間其中II 正交函數(shù)系若定義在(x1，x2)區(qū)間上的復(fù)函數(shù)系 中的每個(gè)函數(shù)絕對(duì)可積，且滿足 為區(qū)間(x1，x2) 上的正交函數(shù)系.III 三角

2、級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,為初相 )(諧波迭加)稱(chēng)上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 那么有定理3 (收斂定理, 展開(kāi)定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)連續(xù)點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 那么 f (x) 的

3、傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有 x 為連續(xù)點(diǎn)其中( 證明略 )為 f (x) 的傅里葉系數(shù). x 為連續(xù)點(diǎn)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)，n = 0, 1, .,由積分可知,1. 三角函數(shù)集 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)在滿足狄利克雷條件時(shí)，可展成稱(chēng)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2級(jí)數(shù)形式直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性也可寫(xiě)為Fn1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2級(jí)數(shù)形式說(shuō)明周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式三角形式指數(shù)形式都是離散求和的形式，說(shuō)明(1) 一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的周期函數(shù)(信號(hào)) ,可以看作是許多

4、具有不同頻率的基元簡(jiǎn)諧波信號(hào)的疊加各簡(jiǎn)諧波分量的頻率為 ,是離散的，取值為0, , , , , 為直流分量， 為基頻，其余為高次諧波分量(2)是其中一個(gè)簡(jiǎn)諧波成分， 或是該簡(jiǎn)諧波成分的權(quán)重，它是頻率 的函數(shù)，稱(chēng)為傅里葉頻譜函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)) 。一維傅里葉變換：周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無(wú)限小；離散譜0 再用 表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無(wú)限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù).0單位頻帶上的頻譜值頻譜密度函數(shù)(spectrum density function)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)w傅里葉變換傅里葉逆變換傅里葉變換1. 直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換二元函數(shù)的傅里葉變換(即傅里葉譜或頻

5、譜)定義為其傅里葉逆變換定義為 非周期函數(shù)可分解為連續(xù)頻率的余弦分量的積分，是各頻率成分的權(quán)重因子(weighting factor) 在電信號(hào)處理、通信中，一般是1D的時(shí)間信號(hào)，經(jīng)常用到一維傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換.在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對(duì)象是2D或3D圖像處理或成像，一般是二維或三維空間分布(可表示為二維或三維空間函數(shù)). 可別離變量函數(shù)的傅里葉變換假設(shè)一個(gè)二維函數(shù)是可分函數(shù)，那么其傅里葉變換可寫(xiě)成兩個(gè)一維函數(shù)傅里葉變換的乘積. 2. 極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換或1) 定義式對(duì)于具有圓對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，采用極坐標(biāo)形式比較方便. 2) 傅里葉貝塞爾變換圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)，有 其中，利用了貝塞爾函數(shù)關(guān)系式

6、式中是第一類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)(is a Bessel function of first kind, zero order)與無(wú)關(guān)，表明圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉變換和逆變換仍為圓對(duì)稱(chēng)，可表示為 圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉正變換和逆變換的運(yùn)算形式 一樣，常稱(chēng)之為傅里葉貝塞爾變換(Fourier- Bessel transform)a. 在整個(gè)xy平面上絕對(duì)可積b. 在任一有限區(qū)域里， 必須只有有限個(gè)間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值點(diǎn) c. 必須沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn) 3. 傅里葉變換存在及其應(yīng)用條件說(shuō)明：(1) 物理上實(shí)際存在的物理量(如各種隨時(shí)間或空間變化的函數(shù))，其傅里葉變換總是存在的. R. N. Bracewell曾指出：

7、物理上的可能是一個(gè)變換存在的有效的充分條件. (Physical possibility is a valid sufficient for the existence of a transform)即：從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為傅里葉變換實(shí)際上總是存在的(2) 物理上，為了數(shù)學(xué)描繪的方便，常引入一些理想化的函數(shù)(idealized mathematical functions) ，其經(jīng)典意義下的傅里葉變換不存在，但可以引入廣義傅里葉變換這種變換不僅在理論上是自洽的，而且在應(yīng)用上也能給出符合實(shí)際的結(jié)果廣義傅里葉變換 1. 極限意義下的傅里葉變換無(wú)經(jīng)典意義下的傅里葉變換但 和一個(gè)函數(shù)序列 具有以下關(guān)系 而函數(shù)序列中的每一個(gè)函數(shù)，其狹義傅里葉變換 都存在，而且在時(shí)，函數(shù)序列也有確定的極限，則定義(1) 可先定義一個(gè)函數(shù)序列可見(jiàn)例如：不滿足絕對(duì)可積條件， 無(wú)經(jīng)典意義下的傅里葉變換(2) 求的傅里葉變換(3) 的極限即為傅里葉變換2函數(shù)的傅里葉變換即 的傅里葉變換是常數(shù)1 那么常數(shù)1的傅里葉逆變換是否成立呢？ 根據(jù)函數(shù)的廣義定義，只要證明在積分中的作用相當(dāng)于函數(shù)即可根據(jù)函數(shù)的定義式，可直接求出它的傅里葉變換設(shè)有一個(gè)函數(shù)，它在處連續(xù)，并且其傅里葉變換存在，即有：證明：可見(jiàn)在積分中的作用相當(dāng)于函數(shù)，所以有