信號處理原理：DTFT頻譜的數(shù)值計算

1、DTFT頻譜的數(shù)值計算如何計算其頻譜中某些頻率處的頻譜密度值？這是因為要對信號進(jìn)行數(shù)字處理，并保存頻譜分析的結(jié)果，必須解決如何求解頻譜中各頻率點的頻譜密度的問題。其次，有些信號只有觀測值，沒有解析式，不能在符號級求解頻譜函數(shù)，只能用數(shù)值計算的方法，來求解頻譜函數(shù)中的函數(shù)取值。 12CASE 1. 單個頻率點上DTFT頻譜密度函數(shù)值的計算CASE 2. 頻率范圍上均勻分布的N個DTFT譜密度值計算DTFT頻譜的數(shù)值計算特殊的頻率范圍3法1：特殊區(qū)間 正好是一個奈氏區(qū)間，按前述方法一個周期內(nèi)均勻分布的N點頻譜值計算其物理過程是先有DTFT的連續(xù)譜，然后再在上面抽樣有限長序列連續(xù)周期頻譜N點頻譜值（

2、函數(shù)圖形或表達(dá)式）4法2：因端點實際上是固定的，所以可直接由序列值計算:一個周期內(nèi)均勻分布的N點頻譜值計算序列的DFT變換不必求得DTFT的連續(xù)譜，可由上式直接用樣本值來計算有限長序列連續(xù)周期頻譜N點頻譜值數(shù)字序列與數(shù)字頻譜的關(guān)系56序列長度為L，求其DTFT譜上區(qū)間上均勻分布的N個譜值由 直接計算的過程：序列DFT的定義與物理意義為了表示方便（因為 只與k有關(guān)）DFTDFT7DFT的矩陣表示時域L點頻域N點8N與L是什么關(guān)系呢？有關(guān)系也沒有關(guān)系！從理論上講，DFT變換中的N與L相互之間是可以獨立確定的。L是數(shù)據(jù)記錄中時域樣本的數(shù)目，它可能是無限的；而N則是對DTFT進(jìn)行抽樣時的頻率點的數(shù)目。

3、通常，在討論和使用DFT（特別是編程實現(xiàn)）時，一般會令LN。既然L與N沒有什么必然的聯(lián)系，那么，為什么設(shè)它們相等？有什么考慮？ 9NL: 頻域點數(shù)N取得比序列的長度L要大在序列尾部補任意數(shù)目的零，新序列與舊序列的DFT結(jié)果一樣序列補零與回繞DTFT相等，DFT就相等要是在前面補零呢？N與L什么關(guān)系？10序列補零與回繞在序列前面補零相當(dāng)于序列被右移N與L什么關(guān)系？11序列補零與回繞在序列前面補零相當(dāng)于序列被右移N與L什么關(guān)系？12序列補零與回繞在序列前面補零相當(dāng)于序列被右移N與L什么關(guān)系？13序列補零與回繞在序列前面補零相當(dāng)于序列被右移要是序列左移呢？N與L什么關(guān)系？使用定義推導(dǎo)14序列補零與回

4、繞序列左移D個單位0 新的序列零點（起點）使用DFT的定義進(jìn)行推導(dǎo)（不過，使用與DTFT的關(guān)系更簡便）新序列右移D個單位就還原成了原序列N與L什么關(guān)系？15N=L即，只有在N=L時，才能從X(k)求出計算X(k)的序列x(n)來。II L是實際待處理的數(shù)據(jù)長度，不可更改；而N則只是數(shù)字處理設(shè)備中的算法參數(shù)，由設(shè)計人員在使用時設(shè)定III 若NL，則數(shù)值計算相當(dāng)于在序列后面補了零，雖不影響DFT結(jié)果的正確性，但因補充的零值參與了DFT的計算，所以會浪費計算資源。結(jié)論：為方便， N = L 折疊回繞Length = LLength = NLength = NIDFTDFTDFTN與L什么關(guān)系？27D

5、FT頻譜的特點離散的：顯然，因為它是對DTFT頻譜的抽樣周期的：顯然，因為它來自周期的DTFT頻譜由計算公式也易證明之實序列的DFT頻譜是共軛對稱的：關(guān)于原點共軛對稱關(guān)于N/2點共軛對稱（N是偶數(shù)）28DFT是線性變換：帕斯瓦爾定理 （根據(jù)IDFT定義證明）DFT變換的性質(zhì)29奇偶虛實性奇對稱和偶對稱序列:奇函數(shù)的DFT是奇函數(shù)；偶函數(shù)的DFT是偶函數(shù)。 實序列:實偶函數(shù)的DFT是實偶函數(shù)；實奇函數(shù)的DFT是虛奇函數(shù)。 實函數(shù)的DFT，實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)。虛序列:虛偶函數(shù)的DFT是虛偶函數(shù)；虛奇函數(shù)的DFT是實奇函數(shù)。 虛函數(shù)的DFT，實部是奇函數(shù)，虛部是偶函

6、數(shù)；模是偶函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。 DFT變換的性質(zhì)30DFT變換的性質(zhì)31反褶與共軛時域頻域反褶反褶共軛共軛反褶共軛反褶共軛這些性質(zhì)可以直接利用DFT的定義（計算公式），結(jié)合復(fù)數(shù)關(guān)于共軛的性質(zhì)即可得到證明。 DFT變換的性質(zhì)32頻移對稱性DFT變換的性質(zhì)33時移特性：DFT變換的性質(zhì)34時移特性：DFT變換的性質(zhì)35時移特性：DFT變換的性質(zhì)36DFT是對DTFT頻譜的抽樣（一個周期上均勻分布的N個點）時移特性：DFT變換的性質(zhì)37DFT是對DTFT頻譜的抽樣（一個周期上均勻分布的N個點）時移特性：DFT變換的性質(zhì)38DFT是對DTFT頻譜的抽樣（一個周期上均勻分布的N個點）時移特性：若不用D

7、TFT與DFT的關(guān)系, 如何推導(dǎo)此特性呢?DFT變換的性質(zhì)39DFT變換的性質(zhì) 時移特性根據(jù)回繞序列的DFT與原序列DFT的關(guān)系來推導(dǎo)此特性40DFT變換的性質(zhì) 時移特性根據(jù)回繞序列的DFT與原序列DFT的關(guān)系來推導(dǎo)此特性41DFT變換的性質(zhì) 時移特性根據(jù)回繞序列的DFT與原序列DFT的關(guān)系來推導(dǎo)此特性42DFT變換的性質(zhì) 時移特性根據(jù)回繞序列的DFT與原序列DFT的關(guān)系來推導(dǎo)此特性43DFT變換的性質(zhì) 時移特性44DFT變換的性質(zhì) 時移特性45DFT變換的性質(zhì) 時移特性46DFT變換的性質(zhì) 時移特性47時域卷積序列x(n)與y(n)的卷積滿足下面的關(guān)系 DFT變換的性質(zhì) 卷積定理時域卷積頻域

8、乘積頻域乘積時域卷積 ?x(n): L1y(n): L2x(n)*y(n): L1+L2-1N != L1 != L248DFT變換的性質(zhì) 卷積定理49DFT變換的性質(zhì) 卷積定理50DFT變換的性質(zhì) 卷積定理51能不能直接用信號來表示結(jié)果呢?或: 如何計算卷積結(jié)果的回繞呢？DFT變換的性質(zhì) 卷積定理52DFT變換的性質(zhì) 卷積定理53DFT變換的性質(zhì) 卷積定理54DFT變換的性質(zhì) 卷積定理55DFT變換的性質(zhì) 卷積定理56又碰到了信號的回繞DFT變換的性質(zhì) 卷積定理57回繞一個移位序列相當(dāng)于循環(huán)移位DFT變換的性質(zhì) 卷積定理58頻域卷積也是一種卷積! 為了突出新“卷積”與“舊”卷積的不同, 同時

9、也為了突出它們之間的相同, 稱過去傳統(tǒng)的卷積為線卷積,而稱此“新卷積”為序列的圓周卷積，簡稱圓卷積。反褶循環(huán)移位相乘相加編程實現(xiàn)容易DFT變換的性質(zhì) 卷積定理60直接計算DFT的復(fù)雜度為O(N2)計算DFT的計算量：每算一個X(k)，需要N次復(fù)數(shù)乘法，N-1次加法。因此，N點DFT需要N*N次復(fù)數(shù)乘法，N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。盡管預(yù)先算好并保存旋轉(zhuǎn)因子 可以節(jié)省部分運算，但按定義式直接編程求DFT的運算量仍然很大。自學(xué)：計算DFT的快速算法 - FFT611. W具有周期性2. W具有對稱性N點DFT運算可以分解為兩組N/2點DFT運算，然后再取和。經(jīng)過周期性與對稱性簡化之后,容易發(fā)現(xiàn)DFT運算中存在著不必要的重復(fù)計算,避免這種重復(fù),是簡化運算的關(guān)鍵.DFT的復(fù)雜度與點數(shù)N有關(guān)！特別說明：FFT是DFT的快速算法，不是新的變換方法。其算法基礎(chǔ)是：W的兩個性質(zhì)。FFT的原理62FFT的原理63注意G(k)與H(k)的周期是N/2FFT的原理64于是，N點X(k)可用N/2點的G(k)和H(k)來計算：FFT的原理65GHN/2-DFTN-DFTXN/2N/2+-復(fù)數(shù)加法次數(shù)復(fù)數(shù)乘法次數(shù)IDFT同樣可用FFT實現(xiàn)，算法復(fù)雜度相同。NFFT的原理66實序列DFT