8 第7講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例

1、第7講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)3方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(3)南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比導(dǎo)師提醒1注意區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角(2

2、)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角2掌握測量中的幾種常見問題求AB圖形需要測量解法求豎直高度求底部可達(dá)底部不可達(dá)山兩側(cè)河兩岸的元素ACBBCaACBADBCDaACBACbBCaACBABCCBa解直角三角形ABatan解兩個(gè)直角三角形ABatantantantan用余弦定理ABa2b22abcos用正弦定理asinABsin（）水平距離ADCBDC河對(duì)岸BCDACDCDa在ADC中，asinACsin（）在BDC中，asinBCsin（）eqoac(,在)ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，.()2判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1

3、)東北方向就是北偏東45的方向()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(5)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0，)()(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系)2答案：(1)(2)(3)(4)(5)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40的方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()AakmB.3a2ACBCcos120a2a22a223a2，所以AB3a(km)，故選B.kmC.2akmD2akm解析：選B.在ABC中，ACB

4、180(2040)120，因?yàn)锳B2AC2BC21在上題的條件下，燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)?)A北偏西5C北偏西15B北偏西10D北偏西20sinACBsinBACsinACB2所以AB502(m)解析：選B.易知BA30，C在B的北偏西40的方向上，又403010，故燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)楸逼?0.(教材改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_m.ABAC解析：由正弦定理得，又因?yàn)锽30，250sinB12答案：502如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，

5、DCa，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60，30，則A點(diǎn)離地面的高度AB_解析：因?yàn)镈30，ACB60，則CAD30，所以CACDa，所以ABasin6032a.答案：3aONAOtan30330103(m)，2江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，在炮臺(tái)頂部測得兩條船的俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部所連的線成30角，則兩條船相距_m.解析：由題意畫示意圖，如圖，OMAOtan4530(m)，39003002301033在MON中，由余弦定理得，MN(m)答案：1032300103測量距離問題(師生共研)如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選

6、擇山坡上一段長度為3003m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得PAB90，PAQPBAPBQ60，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為_m.【解析】由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，所以AQB30，所以ABBQ.又PB為公共邊，所以PABPQB，所以PQPA.在eqoac(,Rt)PAB中，APABtan60900，故PQ900，所以P，Q兩點(diǎn)間的距離為900m.【答案】900(1)測量距離問題，無論題型如何變化，即兩點(diǎn)的情況如何，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的所以BC.sin60(距離，無非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺嫵稣页?適合解決問

7、題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長和角是解題的關(guān)鍵(2)求距離問題的兩個(gè)策略選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理如圖，隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距3km的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離解：eqoac(,在)ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD3km.eqoac(,在)BCD中，BCD

8、45，BDC75，CBD60.3sin75622622eqoac(,在)ABC中，由余弦定理，得AB2(3)2232622cos7532335，所以AB5km，所以A，B之間的距離為5km.測量高度問題(師生共研)如圖，為了測量河對(duì)岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30，塔底C與A的連線同河岸成15角，小王向前走了1200m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60角，則電視塔CD的高度為_m.【解析】eqoac(,在)ACM中，MCA601545，AMC18060120，因?yàn)閠anDAC，AMAC1200AC由正弦定理得，即，解得AC6006.eqoac(,在)ACD中，si

9、nMCAsinAMC2322DC3AC36002.所以DC600633【答案】6002高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個(gè)可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度為了測量某新建的信號(hào)發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B的同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C，D，測得BDC60，BCD75，CD40m，并在點(diǎn)C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30，且CE1m，則發(fā)射塔高AB()A(2021)mC202mB(2031)mD(4021)m解析：選A.如圖，過點(diǎn)E作EFAB，垂足為F，則EFBC，BFCE1，

10、AEF30.eqoac(,在)BCD中，由正弦定理得，CDsinBDC40sin60BC206.sinCBDsin45所以EF206，在eqoac(,Rt)AFE中，AFEFtanAEF206所以ABAFBF2021(m)33202，測量角度問題(師生共研)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值【解】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的

11、小艇，解得sin.所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.則AC14x，BC10 x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos120，解得x2.故AC28，BC20.BCAC根據(jù)正弦定理得，sinsin12020sin1205328145314測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解提醒方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角已知在島A南偏西38方向，距島A3海里的B處有一

12、艘緝私艇島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？參考數(shù)據(jù)：sin3853，sin22331414解：如圖，設(shè)ACsinBAC253又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC0.5x，AC5，依題意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.35BC71438，所以BCAD，故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0

13、.5小時(shí)截住該走私船聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30.因?yàn)樵贏地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒，應(yīng)用舉例問題中的核心素養(yǎng)為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60.在A地217(1)求A，C兩地的距離(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)【解】(1)由題意，設(shè)ACx，217所以BCx2BACAcosBAC，217340 x40，在ABC內(nèi)，由余弦定

14、理得BC2CA2BA2即(x40)2x210000100 x，解得x420.答：A，C兩地的距離為420米(2)在eqoac(,Rt)ACH中，AC420，CAH30，所以CHACtanCAH1403(米)答：該儀器的垂直彈射高度CH為1403米解決此類問題的一般步驟為：一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()A50mC120mB100mD150m解析：選A.作出示意圖如圖所示，設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在ABC中，

15、BAC60，ACh，AB100，在eqoac(,Rt)BCD中，BC3h，根據(jù)余弦定理得，(3h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50m.基礎(chǔ)題組練1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80D南偏西80解析：選D.由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得ABC120

16、，則A，C兩地間的距離為()A10kmC105kmB103kmD107km210202700.解析：選D.由余弦定理可得：AC2AB2CB22ABCBcos1201022021所以AC107(km)3如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(31)mC120(31)mB180(21)mD30(31)mtan60tan45解析：選C.因?yàn)閠an15tan(6045)23，所以BC60tan601tan60tan4560tan15120(31)(m)4已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A東偏北(為銳角)度的150公里處，以v公里/

17、小時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北(為銳角)度的200公里處，若cos34cos，則v()A60C100B80D125)，由正弦定理得，所以sinsin.又coscos，sin2cos2sinsin1，解得sin，故cos，sin，cos，故cos()0，代入3解析：選C.畫出圖象如圖所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos(1502004334443121255552525解得v100.矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，且在兩塔底連線的中點(diǎn)O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，則兩塔的5地面上有兩座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫椋诟咚淄?高度分別

18、為()A50m，100mC40m，50mB40m，90mD30m，40mHh則tan，tan，2根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有.h2所以在O點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，由tan，tan，得.解析：選B.設(shè)高塔高Hm，矮塔高h(yuǎn)m，在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫?1202120hH1201201120因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵?Hh60260H6060h聯(lián)立解得H90，h40.即兩座塔的高度分別為40m，90m.6一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為_海里/小時(shí)解析：如圖，由題意知MPN7545

19、120，PNM45.MNPMeqoac(,在)PMN中，sin120sin452cos48.19取_.3所以此船的航行速度v(海里/小時(shí))32所以MN68346(海里)22又由M到N所用的時(shí)間為14104(小時(shí))，34617642176答案：7.如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，在塔底D的南偏東60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0，A，B的距離是84m，則塔高CD_m.解析：設(shè)塔高CDxm，則ADxm，DB3xm.又由題意得ADB9060150，eqoac(,在)ABD中，利用余弦定理，得842x2(3x)223x2cos150，解得x127(負(fù)值舍去)，故塔高為127m.答案：127

20、8.如圖，為了測量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C.測量得到：CD2，CE23，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為2CDsin45解析：依題意知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC22，在sin30CEsin60BCE中，CBE45，由正弦定理得BC32.eqoac(,在)ABC中，由余弦定理得sin45AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以AB10.答案：109如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C

21、為測量觀測點(diǎn)從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75，從C點(diǎn)測得MCA60.已知山高BC100m，求山高M(jìn)N.由正弦定理得AM1003m.eqoac(,在)AMN中，sin60，所以MN10033150(m)5xcosPAC.2PAAC2x50解：根據(jù)題圖，AC1002m.eqoac(,在)MAC中，CMA180756045.ACAMsin45sin60MNAM210.如圖，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A，C同時(shí)接到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播

22、速度是1.5千米/秒(1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求P到海防警戒線AC的距離解：(1)依題意，有PAPCx，PBx1.58x12.eqoac(,在)PAB中，AB20，PA2AB2PB2cosPAB2PAABx2202（x12）23x32，2x20同理，在PAC中，AC50，PA2AC2PC2x2502x225x因?yàn)閏osPABcosPAC，5xx由cosPAD，得sinPAD421，所以PDPAsinPAD31421.3x3225所以，解得x31.(2)作PDAC于點(diǎn)D(圖略)eqoac(,，在)ADP中，25313142131故靜止目標(biāo)P到海防警

23、戒線AC的距離為421千米綜合題組練1如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為()A505米C5011米解析：選B.設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO.B507米D5019米即150210022150100r2，由題意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，eqoac(,在)CDO中，CD2OD22CDODcos60OC2，12解得r507.2.如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為2

24、5m的建筑物CD，為了測量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測得DBC45，根據(jù)以252（31）252（31）上數(shù)據(jù)可得cos_解析：由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由內(nèi)角和定理可得DCB180(45)4590，根據(jù)正弦定50DB25理可得，即DB100sin15100sin(4530)252(31)，又sin30sin15sin4525，即，得到cos31.sin（90）sin45cos答案：313如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，

25、C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135.若山高AD100m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車的速度約為_m/s(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：21.414，52.236)解析：因?yàn)樾∶髟贏處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45.設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC14v，在RtADB中，ADADAB200.cosBADcos60在eqoac(,Rt)ADC中，ACAD1001002.cosCADcos45所以v22.6，eqoac(,在)ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(1002)2200221002200

26、cos135，50107所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.答案：22.64(應(yīng)用型)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為106m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上，若國歌時(shí)長為50s，升旗手應(yīng)以_m/s的速度勻速升旗解析：依題意可知AEC45，ACE1806015105，所以EAC1804510530.CEAC由正弦定理可知，sinEACsinCEACE所以ACsinCEA203(m)sinEAC所以在eqoac(,Rt)ABC中，ABACsinACB2033230(m)因?yàn)?/p>