2022屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期高考前壓軸（三）數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁湖南省長沙市雅禮中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考前壓軸（三）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1復(fù)數(shù)的模是（）A BC0D12已知集合，則（）ABCD3函數(shù)的圖象大致是（）ABCD4哥隆尺是一種特殊的尺子.圖1的哥隆尺可以一次性度量的長度為1，2，3，4，5，6.圖2的哥隆尺不能一次性度量的長度為（）A11B13C15D175已知，記，則的大小關(guān)系是（）ABCD6如圖(1)，正方體的棱長為1，若將正方體繞著體對角線旋轉(zhuǎn)，則正方體所經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成如圖(2

2、)所示的幾何體，該幾何體是由上、下兩個圓錐和單葉雙曲面構(gòu)成，則其中一個圓錐的體積為（）ABCD7已知函數(shù)若a，b分別是從1，2，3中任取的一個數(shù)，則函數(shù)有兩個極值點的概率為（）ABCD8已知兩條直線，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與都相交，并且被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26，24，則動圓圓心的軌跡方程為（）ABCD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多 項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9一個質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“

3、兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）AB事件A和事件B互為對立事件CD事件A和事件B相互獨立10已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）AB在單調(diào)遞增C的圖象關(guān)于對稱D在上的最大值是111如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，分別是，的中點，過點，的平面記為，則下列說法中正確的有（ ）A平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形B平面截直四校柱所得被面的面積為C平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47:25D點到平面的距離與點到平面的距離之比為1:212定義：在區(qū)間

4、上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（）A在上是“弱減函數(shù)”B在上是“弱減函數(shù)”C若在上是“弱減函數(shù)”，則D若在上是“弱減函數(shù)”，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，其中，為單位向量，向量，的夾角為120，則_.14將3封不同的信隨機放入2個不同的信箱中，共有種不同的放法，則在的展開式中，含項的系數(shù)為_15已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為_16已知函數(shù)，若對，都有，則k的取值范圍是_四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知

5、數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式.(2)證明.18在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為(1)若，求邊c；(2)若，求角C19如圖所示的圓柱中，AB是圓O的直徑，為圓柱的母線，四邊形ABCD是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(1)證明：平面ABCD；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值20在某次數(shù)學(xué)考試中，共有四道填空題，每道題5分.已知某同學(xué)在此次考試中，在前兩道題中，每道題答對的概率均為，答錯的概率均為；對于第三道題，答對和答錯的概率均為；對于最后一道題，答對的概率為，答錯的概率為.(1)求該同學(xué)在本次考試中填空題部分得分不低于15分的概率；(2)設(shè)該同學(xué)在

6、本次考試中，填空題部分的總得分為，求的分布列.21在平面直角坐標(biāo)系中，、，直線、相交于點，且它們的斜率之積是(1)求點的軌跡方程；(2)過的直線與的軌跡交于、兩點，試判斷點與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由22已知函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，時，證明：PAGE 答案第 = 1頁，共 = sectionpages 2 2頁PAGE 15頁參考答案：1D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的模的定義,根據(jù)求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以復(fù)數(shù)z的模是1.故選:D2C【解析】【分析】解對數(shù)不等式確定集合，解二次不等式確定集合，然后由并集定義計算【詳解】由題意，所以故選：C3C【解析】【分析】分析函

7、數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再利用時，值為正即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；當(dāng)時，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.故選：C4C【解析】結(jié)合圖象以及選項，確定正確選項.【詳解】對于A選項，圖中，用“與”可以測量；對于B選項，圖中，用“與”可以測量；對于D選項，圖中，用“與”可以測量.圖2的哥隆尺不能一次性度量的長度為.故選：C5A【解析】【分析】根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A6A【解析】【分析】由題意可得圓錐的底是邊長為的等邊三角形的外接圓，從而可求出外接圓的半徑和圓錐的高，進而可求出圓錐的體積【詳解】因為正方體的

8、棱長為1，所以由題意可得圓錐的底是邊長為的等邊三角形的外接圓，所以外接圓的半徑為，圓錐的母線長為正方體的邊長，即，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：A7C【解析】【分析】求出函數(shù)有兩個極值點時滿足的條件，再列出所有可能的情況，查出滿足條件的可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【詳解】由題意得有兩個根,則有，解得，a，b分別是從1，2，3中任取的一個數(shù)，表示為，有如下，共種情況，其中滿足的有，共6種情況，則函數(shù)有兩個極值點的概率為，即，故選:C8D【解析】【分析】利用點到直線距離公式與圓內(nèi)弦長與半徑關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)動圓圓心，半徑為，則到的距離，到的距離，因為被截在圓內(nèi)的兩條線

9、段的長度分別是定值26，24，化簡后得，相減得，將，代入后化簡可得.故選：D.9CD【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的定義以及條件概率對有關(guān)選項作相應(yīng)的分析和計算即可.【詳解】對于A，可得A錯誤；對于B，事件B第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)，第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，就可以使得兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)，可知事件A和事件B不是對立事件，可得B錯誤；對于C，由，可得，可得C正確；對于D選項，由，可得，可知事件A和事件B相互獨立，可得D正確；故選：CD.10AC【解析】【分析】由周期求出，由圖象變換求得的解析式并化簡，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項【詳解】由題意，所以，A正確；時，遞增，遞減，B錯；是最大值，C正

10、確；時，的最小值是，的最大值是，D錯；故選：AC11BCD【解析】【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合線面關(guān)系的性質(zhì)判定，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對A，延長交直線于，連接，交棱于，連接可得五變形，故A錯誤；對B，由平行線分線段成比例可得，故 ，則為等腰三角形，由相似三角形可知：，則，連接，易知，因此五邊形可以分為等邊三角形和等腰梯形，等腰梯形的高，則等腰梯形的面積為，又，所以五邊形的面積為，故B正確；記平面將直四棱柱分割成上下兩部分的面積分別為，則，所以，故C正確；對D，因為平面過線段的中點，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，由平面過的三等分點可知，點 到平面的距離是點到平面的距離的2倍，因

11、此，點 到平面的距離是點到平面的距離的2倍，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題以空間幾何體為基礎(chǔ)，考查了平面截空間幾何體的相關(guān)問題，考查了截面面積以及截面截幾何體上下體積之比，同時考查了點到面的距離問題，計算量較大，屬于較難題.本題的關(guān)鍵點有：（1）精確確定平面截空間幾何體的截面位置；（2）根據(jù)截面所在位置精確計算相關(guān)量.12BCD【解析】【分析】利用“弱減函數(shù)”的概念逐項分析即得.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞減，不單調(diào)，故A錯誤；對于B，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故B正確；對于C，若在單調(diào)遞減，由，得，在單調(diào)遞增，故C正確；對于D，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，令，令，在上單調(diào)遞減，在上單

12、調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，令，在上單調(diào)遞增，綜上：，故D正確.故選：BCD.13【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，有.故答案為：1470【解析】【分析】先求出，再由二項式定理展開求解【詳解】由題意得：在展開式中，當(dāng)即時，該項為故答案為：7015【解析】根據(jù)向量條件，求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，可得的坐標(biāo)為，即，代入雙曲線方程可得，化簡可得，故答案為：【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根

13、據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)16【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，即恒成立，設(shè)，求其最大值后可求k的取值范圍.【詳解】，則當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，由已知，即，令，則在上不存在減區(qū)間，從而當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以.17(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用累加法求解；（2）由，利用裂項相消法求解.(1)

14、解：由，得，由累加法得，所以，又滿足，又因為，所以.(2)因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，成立，所以.18(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得，進而求得，利用正弦定理求得.（2）利用三角恒等變換求得，從而求得，進而求得.(1)由余弦定理：，故， 由于，則. 由正弦定理：，得.(2)由（1）知，故，故，則，故，因為，所以，所以，解得.19(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1) 取的中點G，連接EG，F(xiàn)G，AC，可證明四邊形AGFC是平行四邊形，從而證明平面平面ABCD，從而得證.（2）題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸

15、建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.(1)取的中點G，連接EG，F(xiàn)G，AC，因為，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因為，所以四邊形AGFC是平行四邊形，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因為，所以平面平面ABCD，因為平面ABCD，所以平面ABCD(2)設(shè)，由，得，因為，所以，由題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由得，取，得，連接BD，因為，所以平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為20(1)；(2)答案見解析.【解析】【分析】

16、(1)該同學(xué)在本次考試中填空題部分得分不低于15分，則四道填空題答對三道或四道，根據(jù)獨立事件和互斥事件概率即可計算；(2)X的可能取值是0，5，10，15，20，據(jù)此依次求出概率即可列出分布列(1)設(shè)“第題答對”為事件，設(shè)“得分不低于15分”為事件B，則P(B)=；(2)易知的取值可能為0，5，10，15，20， =；=； =；則的分布列為：0510152021(1)；(2)點在以為直徑的圓外，理由見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)斜率公式結(jié)合已知條件可得出點的軌跡方程；（2）分析可知直線不與軸重合，可設(shè)，另記、，將直線的方程與的軌跡方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計算出，即可證得結(jié)論成立.(1

17、)解：設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，則直線的斜率為，直線的斜率為由已知有，化簡得點的軌跡方程為(2)解：點在圓外，理由如下：若直線與軸重合，則該直線與曲線無公共點，故可設(shè)，另記、，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理知，則有，其中無解，則，故，即點在以為直徑的圓外【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.22(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）化簡不