11.12八年級教案第十四章 整式的乘法與因式分解

1、第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法專題一冪的性質(zhì)1下列運算中，正確的是（）A3a2a22B(a2)3a9Ca3a6a9D(2a2)22a42下列計算正確的是（）Ax3x22x6Bx4x2x8C(x2)3x6D(x3)2x53下列計算正確的是（）A2a2a23a4Ca6a2a12專題二冪的性質(zhì)的逆用4若2a=3，2b=4，則Ba6a2a3D(a6)2a等于（）12A7B12C432D1085若2=5，2=3，求23+2的值6計算：(1)(0.125)2014(2)2014(4)2015；(2)(1)201581100791專題三整式的乘法7下列運算中正確的是（）A3a2a5a2B(2

2、ab)(ab)2a2abb2C2a2a32a6D(2ab)24a2b2（8若（3x22x+1）x+b）中不含x2項，求b的值，并求（3x22x+1）（x+b）的值9先閱讀，再填空解題：（x+5）（x+6）=x2+11x+30；（x5）（x6）=x211x+30；（x5）（x+6）=x2+x30；（x+5）（x6）=x2x30（1）觀察積中的一次項系數(shù)、常數(shù)項與兩因式中的常數(shù)項有何關(guān)系？答：_（2）根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：_（3）根據(jù)規(guī)律，直接寫出下列各式的結(jié)果：（a+99）a100）=_；（y80）（y81）=_專題四整式的除法10計算：（3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=_

3、211計算：（a4b7a2b6）（ab3）221139312計算：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4狀元筆記【知識要點】1冪的性質(zhì)(1)同底數(shù)冪的乘法：amanamn(m，n都是正整數(shù))，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加(2)冪的乘方：(am)namn(m，n都是正整數(shù))，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘(3)積的乘方：(ab)nanbn(n都是正整數(shù))，即積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘2整式的乘法(1)單項式與單項式相乘：把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式(2)單項式與多項式相乘：就是用單項式去

4、乘單項式的每一項，再把所得的積相加3(3)多項式與多項式相乘：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加3整式的除法(1)同底數(shù)冪相除：amanamn(m，n都是正整數(shù)，并且mn)，即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減(2)a0(a0)，即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1(3)單項式除以單項式：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式(4)多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加【溫馨提示】；1同底數(shù)冪乘法法則與合并同類項法則相混淆同底數(shù)冪相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”而合并

5、同類項法則是“系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變”2同底數(shù)冪相乘與冪的乘方相混淆同底數(shù)冪相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；冪的乘方，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”3運用同底數(shù)冪的乘法(除法)法則時，必須化成同底數(shù)的冪后才能運用上述法則進(jìn)行計算4在單項式(多項式)除以單項式中，系數(shù)都包括前面的符號，多項式各項之間的“加、減”符號也可以看成系數(shù)的符號來參與運算【方法技巧】1在冪的性質(zhì)中，公式中的字母可以表示任意有理數(shù)，也可以表示單項式或多項式2單項式與多項式相乘，多項式與多項式相乘時，要按照一定的順序進(jìn)行，否則容易造成漏項或增項的錯誤3單項式與多項式相乘，多項式除以單項式中，結(jié)果的項數(shù)與多項式的項數(shù)相同，

6、不要漏項來源:411113b2=0，得b=（3x22x+1）（x+）參考答案:1C解析：A中，3a2與a2是同類項，可以合并，3a2a22a2，故A錯誤；B中，(a2)3a23=a6，故B錯誤；C中，a3a6a3+6a9，故C正確；D中，(2a2)222（a2）24a4，故D錯誤故選C2C解析：x3x2x23x5，選項A錯誤；x4x2x24x6，選項B錯誤；(x2)3x23x6，選項C正確；(x3)2x23x6，選項D錯誤.故選C3D解析：A中，2a2a23a2，故A錯誤；B中，a6a2a4，故B錯誤；C中，a6a2a8，故C錯誤.故選D4C解析：23a+2b=23a22b=（2a）3（2b）

7、2=3342=432故選C5解：23+2=2322=（2）3（2）2=5332=1125.6解：(1)原式=(0.12524)2014(4)=12014(4)=4(2)原式=()201592014=(9)2014()=99997B解析：A中，由合并同類項的法則可得3a+2a=5a，故A錯誤；B中，由多項式與多項式相乘的法則可得(2ab)(ab)2a22ababb2=2a2abb2，故B正確；C中，由單項式與單項式相乘的法則可得2a2a32a23=2a5，故C錯誤；D中，由多項式與多項式相乘的法則可得(2ab)24a24abb2，故D錯誤.綜上所述，選B8解：原式=3x3+（3b2）x2+（2b

8、+1）x+b，不含x2項，2323=3x32x2+x+2x2x+4323=3x3x+12339解：（1）觀察積中的一次項系數(shù)、常數(shù)項與兩因式中的常數(shù)項的關(guān)系是：一次項系數(shù)是兩因式中的常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩因式中的常數(shù)項的積；（2）根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；（3）根據(jù)（2）中得出的公式得：（a+99）（a100）=a2a9900；（y80）（y81）=y2161y+648010 x+3y1216（解析：3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=（3x3y）（6x2y）18x2y2（6x2y）+x2y（6x2y）=x+3y11265（a4b7

9、a2b6）a2b611解：原式2113992111a4b7a2b6a2b6a2b639996a2b1。12解：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4，=（ab）3（ab）2（a+b）5（a+b）4，=（ab）（a+b），=abab，=2b14.2乘法公式專題一乘法公式1下列各式中運算錯誤的是（）來源:Aa2+b2=(a+b)22abB(ab)2=(a+b)24abC(a+b)(a+b)=a2+b2D(a+b)(ab)=a2b22代數(shù)式(x+1)(x1)(x2+1)的計算結(jié)果正確的是（）Ax41Bx4+1C(x1)4D(x+1)43計算：(2x+y)(2xy)+(x+y)22(2x2xy)

10、（其中x=2，y=3）6專題二乘法公式的幾何背景4請你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是（）A（a+b）（ab）=a2b2C（ab）2=a22ab+b2B（a+b）2=a2+2ab+b2D（a+b）2=a2+ab+b2來源:5如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab6我們在學(xué)習(xí)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2時，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來說明上式成立在習(xí)題中我們又遇到了題目“計算：（a+b+c）2

11、”，你能將知識進(jìn)行遷移，從幾何背景說明（大致畫出圖形即可）并計算（a+b+c）2嗎？7狀元筆記【知識要點】1平方差公式(a+b)(ab)=a2b2，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差2完全平方公式(ab)2=a22ab+b2，兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍【溫馨提示】1不要將平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它們項數(shù)和符號的不同2完全平方公式中，中間項是左邊兩個數(shù)的和的2倍，注意系數(shù)的特點【方法技巧】1公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式、多項式只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式2有些題目往往不能直接應(yīng)用公式求解，但稍

12、做適當(dāng)?shù)淖冃魏缶涂梢杂贸朔ü角蠼馊纾何恢米兓栕兓?，?shù)字變化，系數(shù)變化，項數(shù)變化等參考答案:1D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)22ab=a2+2ab+b22ab=a2+b2，故A正確；B中，由完全平方公式可得(ab)2=a22ab+b2，(a+b)24ab=a2+2ab+b24ab=a22ab+b2，故B正確；C中，由平方差公式可得(a+b)(a+b)=(a+b)(ba)=b2a2=a2+b2，故C正確；D中，(a+b)(ab)=(a+b)2=a22abb2，故D錯誤2A解析：原式=(x21)(x2+1)=(x2)21=x413解：原式=4x2y2+x2+2xy+y24x2+2

13、xy=x2+4xy，當(dāng)x=2，y=3時，原式=22+423=4+24=284B解析：這個圖形的整體面積為(a+b)2；各部分的面積的和為a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2故選B5C解析：從圖中可知：陰影部分的面積是（ab）2和b2，剩余的矩形面積是（ab）b和（ab）b，即大陰影部分的面積是（ab）2，（ab）2=a22ab+b2，故選C6解：（a+b+c）2的幾何背景如圖，整體的面積為：（a+b+c）2，用各部分的面積之和表示為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc814.3因

14、式分解專題一因式分解1下列分解因式正確的是（）A3x26x=x(x6)Ba2+b2=(b+a)(ba)C4x2y2=(4xy)(4x+y)D4x22xy+y2=(2xy)22分解因式：3m318m2n+27mn2=_3分解因式：(2a+b)28ab=_專題二在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式4在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解x44=_5把下列各式因式分解（在實數(shù)范圍內(nèi)）（1）3x216；（2）x410 x2+256在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x32x；（2）x46x2+99專題三因式分解的應(yīng)用7如果mn=5，mn=6，則m2nmn2的值是（）A30B30C11D118利用因式分解計算3220.13+5.4201.3+0

15、.142013=_9在下列三個不為零的式子：x24x，x2+2x，x24x+4中，（1）請你選擇其中兩個進(jìn)行加法運算，并把結(jié)果因式分解；（2）請你選擇其中兩個并用不等號連接成不等式，并求其解集狀元筆記【知識要點】1因式分解我們把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式2因式分解的方法(1)提公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫出公因式與另一個因式的乘積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法(2)將乘法公式的等號兩邊互換位置，得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因

16、式的方法叫做公式法(3)平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)，兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積(4)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2，兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方【溫馨提示】1分解因式的對象必須是多項式，如把5a2bc分解成5aabc就不是分解因式，因為5a2bc不是多項式102分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如x2x1x(x1)1就不是分解因式，因為結(jié)果x(x1)1不是積的形式【方法技巧】1若首項系數(shù)為負(fù)時，一般要提出“”號，使括號內(nèi)首項系數(shù)為正，但要注意，此時括號內(nèi)的各項都應(yīng)變號，如x22xx(x2)2有些多項式

17、的特點與公式相比，只是某些項的符號不符，這時就需要先對符號進(jìn)行變化，使之符合公式的特點參考答案:C1B解析：A中，3x26x=3x(x2)，故A錯誤；B中，a2+b2=(ab)(a+b)=(b+a)(ba)，故B正確；中，4x2y2=(2x)2(2y)2=(2xy)(2x+y)，故C錯誤；D中，4x22xy+y2的中間項不是22xy，故不能因式分解，故D錯誤綜上所述，選B23m(m3n)2解析：3m318m2n+27mn2=3m(m26mn+9n2)=3m(m3n)23(2ab)2解析：(2a+b)28ab=4a2+4ab+b28ab=4a24ab+b2=(2ab)24(x2+2)(x+2)(

18、x2)解析：x44=(x2+2)(x22)=(x2+2)(x+2)(x2)5解：(1)3x216=(3x+4)(3x4)；(2)x410 x2+25=(x25)2=(x+5)2(x5)26解：(1)x32x=x(x22)=x(x+2)(x2)；(2)x46x2+9=(x23)2=(x+3)2(x3)27B解析：mn=5，mn=6，m2nmn2=mn（mn）=6（5）=30，故選B82013解析：3220.13+5.4201.3+0.142013=0.322013+0.542013+0.142013=2013（0.32+0.54+0.14）=20131=20139解：(1)答案不唯一，如：（x2

19、4x）+（x2+2x）=2x22x=2x（x1）(2)答案不唯一，如：x24xx2+2x，合并同類項，得6x0，解得x0112如果分式的值為0，則x的值應(yīng)為第十五章分式15.1分式專題一分式有意義的條件、分式的值為0的條件1使代數(shù)式x有意義，那么x的取值范圍是（）xAx0Bx1Cx0Dx0且x13x227x33若分式xx292x9的值為零，求x的值m2mnn2A2n2Bmnmnmn9a(yx)2專題二約分4化簡的結(jié)果是（）來源:數(shù)理化網(wǎng)m2mnCDmmnm5約分：=_27x27y6從下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)成一個分式，并將它化簡：4x24xy+y2，4x2y2，2xy12狀元筆記【知識要點】

20、1分式的概念一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分AACAAC式2分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變用式子表示為：=，=(其中A，B，C是整式，C0)BBCBBC3約分與通分約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分【溫馨提示】1分式的值為0受到分母不等于0的限制，“分式的值為0”包含兩層意思：一是分式有意義，二是分子的值為0，不要誤解為“只要分子的值為0，分式的值就是0”2分式的基本性質(zhì)中的

21、A、B、C表示的都是整式，且C03分子、分母必須“同時”乘C(C0)，不要只乘分子（或分母）4性質(zhì)中“分式的值不變”這句話的實質(zhì)，是當(dāng)字母取同一值（零除外）時，變形前后分式的值是相等的但是變形前后分式中字母的取值范圍是變化的【方法技巧】1分式的符號法則可總結(jié)為：一個負(fù)號隨意跑，兩個負(fù)號都去掉就是說，分式中若出現(xiàn)一個負(fù)號，則此負(fù)號可“隨”我們的“意”（即根據(jù)題目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一個位置上；若分式中出現(xiàn)兩個負(fù)號，則可以將這兩個負(fù)號同時去掉來源:數(shù)理化網(wǎng)2分式的分子、分母系數(shù)化整問題的基本做法是分式的分子、分母都乘同一個13“適當(dāng)”的不為零的數(shù)，這里的“適當(dāng)”的數(shù)又分兩種

22、情況：若分式分子、分母中的系數(shù)都是分?jǐn)?shù)時，“適當(dāng)”的數(shù)就是分子、分母中各項系數(shù)的所有分母的最小公倍數(shù)；若分式的分子、分母中各項系數(shù)是小數(shù)時，則“適當(dāng)?shù)臄?shù)”就是10n，其中n是分子、分母中各項系數(shù)的小數(shù)點后最多的位數(shù)最后根據(jù)情況需要約分時，則要約分參考答案:1D解析：根據(jù)題意得：x0且x10解得x0且x1故選D解析：根據(jù)分式值為0，可得3x270，解得x=3232x303解：x29x2x9的值為0，x29=0且x26x+90解x29=0，得x=3當(dāng)x=3時，x26x+9=3263+9=0，故x=3舍去當(dāng)x=3時，x26x+9=(3)26(3)+9=36當(dāng)分式x29x2x9的值為0時，x=3m2m

23、nn2(mn)2mnaxay9a(yx)29a(xy)2a(xy)axay4x24xyy2(2xy)22xy4B解析：=故選Bm2mnm(mn)m5解析：=327x27y27(xy)336解：答案不唯一，如：=4x2y2(2xy)(2xy)2xy141方程的解是2解分式方程：15.3分式方程專題一解分式方程13x-12x32x133x19x3313解分式方程：+x2xx422x4關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（）專題二分式方程無解xm2x1x1A1B0C2D22無解，則m的值是_5若關(guān)于x的方程2xmx22x6若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_xm22x3x3專題三列分式方程解應(yīng)用題7甲、乙兩班學(xué)生參加植樹造林已知甲班每天比乙班少植2棵樹，甲班植60棵樹所用天數(shù)與乙班植70棵樹所用天數(shù)相等若設(shè)甲班每天植樹x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是（）BA60706070 x2xxx2160706070 x2xxx28為了改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種480棵樹，由于青年志愿者的支援，每日比原計劃多種，結(jié)果提前4天完成任務(wù).原計劃每天種3多少棵樹？159某校為了進(jìn)一步開展“陽光體育”活動，計劃用2000元購買乒乓球拍，用2800元購買羽毛球拍已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍貴14元該