一元連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用.教案資料

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一元連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用.-一元連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用葉留青楊秀芹焦作師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系河南焦作454001樹(shù)立函數(shù)觀點(diǎn)，突出函數(shù)思想，培養(yǎng)函數(shù)思維模式，運(yùn)用函數(shù)方法，是初等數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要內(nèi)容之一。冪平均不等式實(shí)質(zhì)上是冪函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，它是否還可以改進(jìn)，一般一元連續(xù)函數(shù)是否也具有類似的性質(zhì)？我們對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探討表明，利用所給出的定理證明不等式時(shí)，思路通暢，作題規(guī)范，步驟簡(jiǎn)便，使有些證明難度較大的不等式問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，也加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)思想和函數(shù)方法的運(yùn)用和理解，為發(fā)現(xiàn)不等式，解決不等

2、式問(wèn)題開(kāi)辟了一條新途徑。1.關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)定理設(shè)，則冪平均不等式可表示為（1）其中，（2）其中，1.1引理設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且。用表示點(diǎn)（下同），則點(diǎn)在以點(diǎn)和點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上。證明因?yàn)?基金項(xiàng)目:全國(guó)教育科學(xué)十五規(guī)劃課題(FIB030837)子課題,河南省教育廳課程教學(xué)改革項(xiàng)目（C2803）作者簡(jiǎn)介：葉留青（1965-），男，河南汝南人，碩士，焦作師專數(shù)學(xué)系教授，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。所以點(diǎn)，共線。由易知，故點(diǎn)在線段上。1.2定理函數(shù)在區(qū)間上，（1）若是增函數(shù)，則對(duì)于有（2）若是減函數(shù)，則對(duì)于有（3）若是常函數(shù)，則對(duì)于有證明（1）不妨設(shè)，曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)為,弦與弧圍成的區(qū)

3、域（包括邊界）為（如圖）O下面先證明：對(duì)于任意自然數(shù)點(diǎn)在上。當(dāng)時(shí)，,所以點(diǎn)在上。假設(shè)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在,已知點(diǎn)在弧上，所以線段的兩端點(diǎn)都在上。因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以曲線在上呈下凸形狀，于是知線段所有點(diǎn)都在上。因?yàn)椋杂梢碇c(diǎn)在線段上，從而知點(diǎn)也在上。所以對(duì)于任意自然數(shù)點(diǎn)都在上。點(diǎn)在上，而點(diǎn)在弧上，注意到,于是，即.同理可證明（2）.（3）因是常函數(shù)，故可設(shè)，于是2.定理應(yīng)用一元連續(xù)函數(shù)的圖像或凸或凹或直總是普遍存在的，而高中數(shù)學(xué)新編教材增加導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，為判斷一元連續(xù)函數(shù)的凸凹性提供了有力工具，這就為運(yùn)用定理證明不等式，發(fā)現(xiàn)不等式，解決不等式問(wèn)題開(kāi)辟了新途徑。2.1改進(jìn)冪平均不等式長(zhǎng)期以來(lái)，在應(yīng)用冪

4、平均不等式時(shí)，只考慮冪指數(shù)或，缺失了的情況，如文1和文2。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上是增函數(shù)，由定理知，對(duì)于，有許多與冪平均不等式有關(guān)的命題也應(yīng)改進(jìn)。例如文2給出的經(jīng)多次推廣而得到的一個(gè)不等式：若：,且則中和的取值范圍應(yīng)改進(jìn)為或；或。順便說(shuō)明一下，該不等式還可以推廣為若：，或；或，則，因證明思路與文2中對(duì)原不等式的證明類同，故從略。2.2導(dǎo)出幾個(gè)重要不等式由于一元連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像的凸凹性是等價(jià)的，因而根據(jù)幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)圖像的凹凸性，即可得出下面幾個(gè)重要不等式1.弦平均不等式若，則有若，則有2.切平均不等式若，則有若，則有3.對(duì)數(shù)平均不等式若則若，則4指數(shù)平均不等式若且，則2.

5、3簡(jiǎn)證一類不等式許多不等式問(wèn)題，一旦與一元連續(xù)函數(shù)起來(lái)以后，利用所給定理去解決，順暢，簡(jiǎn)便，得心應(yīng)手。例1設(shè)正數(shù)之和為，求證：（1976年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，由定理知，當(dāng)，且時(shí)，于是得，故原不等式成立。例2設(shè)求證（1998年第二屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：設(shè)，則原不等式等價(jià)于不等式設(shè)，則，在上是增函數(shù)。因，且，由定理知，于是得，故原不等式成立。例3設(shè)，則有，該不等式是文4給出的重要定理，其證明難度較大。證明：設(shè)，則，在上是增函數(shù)。因，由定理知，于是有。例4證明對(duì)任意，有不等式（第26屆全俄數(shù)學(xué)競(jìng)賽奧林匹克試題）證明：設(shè)，則原不等式等價(jià)于，設(shè)，則，在上是增函數(shù)。由

6、題意知，由定理知，于是得，故原不等式成立。例5設(shè)，求證：證明：原不等式等價(jià)于不等式：設(shè)，則，原不等式又等價(jià)于不等式：，設(shè)，則，在上是增函數(shù)。因，由定理知于是有，故原不等式成立。例6設(shè)，求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)2004.1第1474號(hào)問(wèn)題）證明：設(shè)，原不等式等價(jià)于不等式設(shè)，注意到，則，在上是增函數(shù)。因?yàn)?，由定理知于是得，故原不等式成立。?設(shè)，且求證：（36屆IMO試題）證明：設(shè)，原不等式等價(jià)于不等式，令，則，于是原不等式又等價(jià)于不等式，設(shè)，則，在上是增函數(shù)，由定理知時(shí)，于是得，故原不等式成立。例8設(shè)均為銳角，且滿足，求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)839號(hào)問(wèn)題）證明：原不等式等價(jià)于不等式，設(shè)，則，于是原不等式等價(jià)于不

7、等式：，設(shè)，則，由定理知，于是得，故原不等式成立。例9設(shè)正數(shù)，滿足，試證：（31屆IMO試題）證明：設(shè)，則原不等式等價(jià)于不等式設(shè)，則，在上是增函數(shù)。因?yàn)?，由定理知，于是得，故原不等式成立。利用定理還可以證明下列不等式：1、證明不等式2、已知，求證3、設(shè)，且，求證：（1984年巴爾干數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）4、若且求證（Shopiro不等式）5、設(shè)，求證（1963年莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）6、設(shè)是的三邊，求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)2003.1第36頁(yè)題）7、在中，求證（數(shù)學(xué)通報(bào)1995.2第936號(hào)問(wèn)題）可見(jiàn)，如果說(shuō)函數(shù)單調(diào)性常用的話，那么文中函數(shù)凹凸性的運(yùn)用，拓寬了不等式的空間，也是高等數(shù)學(xué)增加了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后的必然要求，這為運(yùn)用定理證明不等式，發(fā)現(xiàn)不等式，解決不等式問(wèn)題開(kāi)辟了一條新途徑。參考文獻(xiàn)1原北京礦業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研組編著.數(shù)學(xué)手冊(cè)M.北京：高等教育出版社，19592宋慶.一個(gè)分式不等式的再推廣J.數(shù)學(xué)通報(bào),2006.53劉南山.也談一類競(jìng)賽不