線性代數(shù)教案第5章

1、1例解(1)第一步 寫出矩陣A的特征方程,求出特征值.2第二步 對每個特征值代入齊次線性方程組中,求出一個基礎(chǔ)解系.3自由未知量:自由未知量:第三步寫出全部特征向量4(2)問題5一、相似矩陣的基本概念 5.2 矩陣的相似對角化 三、矩陣的相似對角化二、相似矩陣的性質(zhì)四、可相似對角化矩陣的應(yīng)用6定義一、相似矩陣的定義與性質(zhì)矩陣相似是一種等價關(guān)系.78定理1相似矩陣有相同的特征多項式、相同特征值、相同的行列式、相同的跡、相同的秩.?證明A與B特征多項式相同,因而特征值相同.二、相似矩陣的性質(zhì)9(1)相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆.當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣也相似.其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì) （介紹

2、）(2)若A與B相似，則kA與kB相似.10(4)若A與B相似，而f(x)是一個多項式，則 f(A)與f(B)相似.(3)m個11與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣I本身.與數(shù)量矩陣kI 相似的n階方陣只有數(shù)量陣kI本身.12利用對角矩陣計算矩陣多項式可以很方便地計算矩陣A 的多項式.13例x=0，y=-2.解14三、矩陣的相似對角化定理215證16定理3 n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量 .證1718(1)若 A 可對角化，即 A 相似于對角陣 , 則 的主對角元素就是 A 的全部特征值. (2)若 A 可對角化，則由 A 的 n 個線性無關(guān)的特征向量 p1

3、, p2, , pn 可構(gòu)造 P = (p1, p2, , pn )，使 P1AP =. 若不記特征值 排列的順序，則 是唯一的，稱 為 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)形.顯然 P 不唯一.注意19定理4 矩陣 A 不同特征值的特征向量線性無關(guān) .證20推論1 如果矩陣 A 的特征值都是特征單根，則 A 與對角矩陣相似 .證(逆命題不成立)矩陣與對角矩陣相似的充分條件(1)有n個不同的特征值；或(2)有n個線性無關(guān)的特征向量.21則A可對角化.則A不可對角化.22推論3 n 階矩陣 A 與對角矩陣相似23例解24設(shè) 求x與y應(yīng)滿足的條件 .解練習(xí)2526A能否對角化？若能對角例解27解之得基礎(chǔ)解系28所以 可

4、對角化.29注意即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)30設(shè)矩陣解練習(xí)31323334例 下列矩陣能否與對角矩陣相似 . A diag ( 1 , -1 , 3 ).解35B diag ( 0 , 1 , 1 ).3637把一個矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運算簡化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義.可對角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：1. 由特征值、特征向量反求矩陣例 已知方陣A的特征值是相應(yīng)的特征向量是求矩陣A.四、可相似對角化矩陣的應(yīng)用38因為特征向量是3維向量，所以矩陣A是3階方陣.因為A有3個不同的特征值，所以A可以對角化.解即存在可逆矩陣P, 使得其中求得39例 設(shè)矩陣解2.求

5、方陣的冪404142解第一步:寫出矩陣A的特征方程,求出特征值練習(xí)43第二步:對每個特征值代入齊次線性方程組中,求出一個基礎(chǔ)解系.自由未知量:自由未知量:44第三步:453.求行列式例 設(shè)A是n階方陣， 是A的n個特征值，計算解設(shè)的特征值是,即求 的全部特征值，的特征值是再求乘積即為行列式的值.464. 判斷矩陣是否相似解的特征值為令3階矩陣B有3個不同的特征值，所以B可以對角化.例 已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，設(shè)問矩陣B能否與對角陣相似？47例 設(shè)n階方陣A有n個互異的特征值，n階方陣B與A有相同的特征值.證明A與B相似.設(shè)A的n個互異的特征值為則存在可逆矩陣 , 使得證明48又也是矩陣B的特征值，所以存在可逆矩陣 , 使得即即存在可逆矩陣 ,使得即A與B相似.49例 設(shè) 證5