21-22版 第1課時　奇偶性的概念

1、第1課時奇偶性的概念第三章3.2.2奇偶性1.了解函數(shù)奇偶性的定義.2掌握判斷和證明函數(shù)奇偶性的方法.3應(yīng)用函數(shù)的奇偶性解決簡單的求值問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)古語有云：“夫美者，上下，內(nèi)外，大小，遠近皆無害焉，故曰美.”大家知道，我國的建筑，無論宮殿、廟宇、亭臺、園林，無不有著對稱之美，還能給人以穩(wěn)重、博大、端莊的感覺，你能說出生活中和對稱有關(guān)的例子嗎？而對稱美在數(shù)學(xué)中更是體現(xiàn)的淋漓盡致，今天我們來探究數(shù)學(xué)中的對稱美.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、函數(shù)奇偶性的概念二、函數(shù)奇偶性的判斷三、奇、偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用內(nèi)容索引四、利用函數(shù)的奇偶性求值一、函數(shù)奇偶性的概念問題1觀察下列函數(shù)圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有

2、什么共同特征嗎？提示這兩個函數(shù)圖象都關(guān)于y軸對稱.問題2如何利用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”呢？不妨取自變量的一些特殊值，觀察下表相應(yīng)函數(shù)值的情況.x3210123f(x)x29410149g(x)2|x|1012101提示可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等.問題3觀察函數(shù)f(x)x和g(x) 的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？你能用符號語言精確地描述這一特征嗎？并自主探究結(jié)果.提示可以發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點成中心對稱圖形.知識梳理偶函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).奇函

3、數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且 ，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).f(x)f(x)f(x)f(x)注意點：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，如果xI，都有xI，即便定義域關(guān)于原點對稱，還需判斷f(x)與f(x)的關(guān)系，若f(x)f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)，若f(x)f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)，若f(x)f(x)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；若奇函數(shù)在原點處有意義，則必有f(0)0；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既奇又偶的函數(shù)有且只有一類，即f(x)0，x

4、D，D是關(guān)于原點對稱的實數(shù)集.二、函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)|x|；解函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(x)|x|x|f(x)，f(x)為偶函數(shù).解函數(shù)f(x)的定義域為1,1，關(guān)于原點對稱，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解函數(shù)f(x)的定義域為x|x1，不關(guān)于原點對稱，f(x)是非奇非偶函數(shù).解函數(shù)f(x)的定義域為x|x0，xx|x0，都有xx|x0，f(x)是奇函數(shù).反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的方法：(1)定義法：(2)圖象法：跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性.(2)f(x)x2(x22).解f(x)

5、x2(x22)的定義域為R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函數(shù).三、奇、偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x22x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示.(1)請補全函數(shù)yf(x)的圖象；解由題意作出函數(shù)圖象如圖.(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解由圖可知，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,0)，(1，).(3)根據(jù)圖象寫出使f(x)0的x的取值集合.解由圖可知，使f(x)0的x的取值集合為x|2x2，且x0.延伸探究若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其他條件不變，如何解答本題？解(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖所示.(

6、2)由圖可知，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1).(3)由圖可知，使f(x)0的x的取值集合為x|2x2.反思感悟巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問題.跟蹤訓(xùn)練2定義在3，11,3上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示.解由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點對稱，其圖象如圖所示.(1)請在坐標(biāo)系中補全函數(shù)f(x)的圖象；(2)比較f(1)與f(3)的大小.解觀察圖象，知f(3)1)是奇函數(shù)，則a等于A.1 B.0C.1 D.無法確定解析奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，a1

7、0，即a1.12342.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是解析選項A中的圖象關(guān)于原點或y軸均不對稱，故排除；選項C，D中的圖象表示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中的圖象關(guān)于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù).12343.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A.yx(x0,1) B.y3x2C.y D.yx|x|解析利用奇函數(shù)的定義，首先定義域關(guān)于原點對稱，排除選項A；又奇函數(shù)需滿足f(x)f(x)，排除選項B.12344.已知函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)0的所有實根之和是_.0解析由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點也關(guān)于

8、y軸對稱，因此，四個交點中，有兩個在x軸的負(fù)半軸上，另兩個在x軸的正半軸上，所以四個實根的和為0.課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.已知yf(x)，x(a，a)，F(xiàn)(x)f(x)f(x)，則F(x)是A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析F(x)f(x)f(x)F(x)，又x(a，a)關(guān)于原點對稱，F(xiàn)(x)是偶函數(shù).2.若f(x)3x35xa1為奇函數(shù)，則a的值為A.0 B.1 C.1 D.212345678910111213141516解析f(x)為R上的奇函數(shù)，f(0)0，得a1.12345678910111213141516其圖

9、象的對稱軸為y軸.123456789101112131415164.如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，則f(2)f(1)的值為解析f(2)f(1)f(2)f(1)A.2 B.2 C.1 D.01234567891011121314151612345678910111213141516解析f(x)在R上為奇函數(shù)，f(x)f(x).f(x)f(x)f(x)f(x)0，故A正確.f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，故B正確.當(dāng)x0時，f(x)f(x)0，故C不正確.12345678910111213141516解析選項ABC中的函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)f(x)，由奇函數(shù)的定

10、義可知選ABC.123456789101112131415167.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當(dāng)x0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集是_.x|5x2或2x5解析因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以可根據(jù)對稱性確定不等式f(x)0的解集.因為當(dāng)x0,5時，f(x)0的解集為x|2x5，所以當(dāng)x5,0時，f(x)0的解集為x|5x2.所以f(x)0的解集是x|5x2或20時，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是_.3，1)(1,3解析因為當(dāng)0 x3時，函數(shù)單調(diào)遞增，由圖象可知1f(x)3，由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)3x0時，3f(x)0時，x0，則f(x

11、)(x)2(x)x2xf(x)；當(dāng)x0，則f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函數(shù).1234567891011121314151610.(1)如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值；12345678910111213141516解奇函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點P(x，f(x)關(guān)于原點的對稱點為P(x，f(x)，圖為圖補充后的圖象，易知f(3)2.12345678910111213141516(2)如圖，給出偶函數(shù)yf(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小.12345678910111213141516

12、解偶函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點P(x，f(x)關(guān)于y軸的對稱點為P(x，f(x)，圖為圖補充后的圖象，易知f(1)f(3).123456789101112131415綜合運用1611.已知f(x)ax3bx2是定義在a1,3a上的奇函數(shù)，那么ab等于12345678910111213141516解析f(x)ax3bx2是定義在a1,3a上的奇函數(shù)，再由奇函數(shù)的定義得f(x)f(x)，12345678910111213141516解析若x是有理數(shù)，則x也是有理數(shù)，f(x)f(x)1；若x是無理數(shù)，則x也是無理數(shù)，f(x)f(x)0.函數(shù)f(x)是偶函數(shù).13.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)，g

13、(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)12345678910111213141516解析f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，|f(x)|為偶函數(shù)，|g(x)|為偶函數(shù).再根據(jù)兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)|g(x)|為奇函數(shù).1234567891011121314151614.已知定義域為a4,2a2的奇函數(shù)f(x)2 021x35xb2，則f(a)f(b)的值為_.0解析奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以a42a20，所以a2，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)0，即b20，故b2，所以f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(2)0.拓廣探究12345678910111213141516故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)16.已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)，(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；12345678910111213