點集拓撲學教案參考范本

1、點集拓撲學教案點集拓撲學教案PAGE PAGE 56點集拓撲學教案點集拓撲學教案為聊城大學數(shù)學科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)三年級本科生開設點集拓撲課程。 按熊金城點集拓撲講義(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章編寫的教案。本科生授課 64學時，教學內容與進度安排如下：章節(jié)本科生授課主要內容課時數(shù)備注拓撲學的起源1一樸素集合論21.1集合、映射與關系11.2無限集1二拓撲空間與連續(xù)映射21習題課時 22.1度量空間與連續(xù)映射3不講附錄2.2拓撲空間與連續(xù)映射32.3鄰域與鄰域系2不講定理 2.3.32.4導集、閉集、閉包內部、邊界3不講例 2.4.4, 定理 2.4.82.5

2、內部、邊界22.6基與子基2部分證明定理2.6.3，臨域基及相關內容在5.1中介紹2.7拓撲空間中的序列2三子空間、有限積空間、商空間6習題課時13.1子空間23.2積空間23.3商空間1例3.3.3起不講四連通性8習題課時14.1連通空間24.2連通性的某些簡單應用14.3連通分支14.4局部連通空間24.5道路連通空間1道路連通分支不講五有關可數(shù)性的公理6習題課時15.1第一與第二可數(shù)性公理25.2可分空間1.5定理 5.2.1 不講5.3Lindeloff空間1.5六分離性公理8習題課時1.56.1、Hausdorff 空間26.2正則、正規(guī)、 空間1.5例 6.2.2 講部分6.3Ur

3、ysohn 引理和 Tietze 擴張定理1不講定理 6.3.1, 6.3.4 的證明6.4完全正則空間, Tychonoff 空間16.5分離性公理與子空間、積空間和商空間16.6可度量化空間1定理 6.6.1 講部分七緊致性10習題課時17.1緊致性3定理 7.1.6 講部分7.2緊致性與分離性公理1引理 7.3.2 用分析中的結論7.3n 維歐氏空間 中的緊致子集0.57.4幾種緊致性以及其間的關系1.57.5度量空間中的緊致性17.6局部緊致空間, 仿緊致空間1定理 7.6.8 不講第一章 樸素集合論點集拓撲學(Point-set Topology)現(xiàn)稱一般拓撲學(General To

4、pology), 它的起源與出發(fā)點都是 集合論. 作為基本的點集拓撲學知識, 所需的只是一些樸素集合論的預備知識. 本章介紹本書中 要用到的一些集合論內容, 主要涉及集合及集族的運算、等價關系、映射、可數(shù)集、選擇公理等. 作為一教材, 講義對各部分內容均有較系統(tǒng)的論述 , 作為授課, 我們只強調一些基本內容, 而對 已有過了解的知識不提或少提. 記號: Z, Z+, R, Q 分別表示整數(shù)集, 正整數(shù)集, 實數(shù)集和有理數(shù)集. 教學重點：集合的基本概念、運算，映射的概念；教學難點：選擇公理一. 集合的運算 冪集 P, 交 、并、差(補, 余). 運算律: De Morgan 律: (1) . (

5、2) A-(B C)=(A-B)(A-C) 利用集合的包含關系證明(1). 類似可定義任意有限個集的交或并, 如記 Ai. 規(guī)定 0 個集之并是, 不用 0 個集之交. 二. 關系 R 是集合 的一個關系, 即記為 , 稱 x 與 y 是 R 相關的. R 稱為自反的, 若, xRx; R 稱為對稱的, 若 xRy, 則 yRx; R 稱為傳遞的, 若 xRy, yRz, 則 xRz. 等價關系: 自反、對稱、傳遞的關系. 如, (X)=(x, x )|xX, 恒同關系, 它是等價關系; ，小于關系, 它是傳遞 的, 但不是對稱的、不是自反的. 設 R 是 X 上等價關系, , x 的 R 等

6、價類或等價類或x為, 的元稱為 的代表元; 商集 .定理 1.4.1 設 R 是非空集合 X 的等價關系, 則 (1) ; (2)，或者xR =yR , 或者 證(2). 設, 則, 于是且, 于是. 三. 映射 函數(shù)：.像：；原像：滿射、單射、一一映射(雙射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、擴張、內射 集合, 笛卡兒積到第個坐標集的投射 定義為, 其中. 對等價關系集合到商集的自然投射定義為 . 四. 集族 數(shù)列, 有標集族, 指標集 , 與不同, 可記有標集族 A; 類似地, 定義其并 (或A)、交 (或 A), 不定義 0 個集的交. 與有限集族有相同的運 算律, 如 De Mor

7、gan 律 ,映射對應的集族性質: , 五. 無限集 通過一一映射來確定兩集合的個數(shù)的多少. 有限集(或與某1, 2, , n有一一映射), 無限集, 可數(shù)集(或存在到 Z+的單射),不可數(shù)集.易驗證: 有限集是可數(shù)集, 可數(shù)集的子集是可數(shù)集, 可數(shù)集的映像是可數(shù)集. 定理 1.7.3是可數(shù)集是 Z+的映像. 由此, Q 是可數(shù)集, 兩可數(shù)集的笛卡兒積集是可數(shù)集, 可數(shù)個可數(shù)集之并集是可數(shù)集. 定理 1.7.8 R 是不可數(shù)集. 利用 Cantor 對角線法證明開區(qū)間(0, 1)中的實數(shù)不可數(shù) . 直觀上, 集合 A中元素的個數(shù)稱為該集合的基數(shù), 記為card A, 或|A|. |Z+|=,

8、|R|=. 若存在 從集合 A 到集合 B 的單射, 則定義|A| |B|. 連續(xù)統(tǒng)假設: 不存在基數(shù), 使得. 選擇公理: 若 A 是由非空集構成的集族, 則A, 可取定. 由選擇公理可證明, 若是基數(shù), 則下述三式中有且僅有一成立: 第二章 拓撲空間與連續(xù)映射本章是點集拓撲學基礎中之基礎, 從度量空間及其連續(xù)映射導入一般拓撲學中最基本的兩 個概念: 拓撲空間、連續(xù)映射, 分析了拓撲空間中的開集、鄰域、聚點、閉集、閉包、內部、邊 界、基與子基的性質，各幾種不同的角度生成拓撲空間，及刻畫拓撲空間上的連續(xù)性. 教學重點：拓撲空間與連續(xù)映射,鄰域與鄰域系；教學難點：基與子基；可度量化空間2.1 度

9、量空間與連續(xù)映射在 R 上, |x-y|表示點 x 與 y 之間的距離. 絕對值是一非負函數(shù), 具有三條重要性質. 定義 2.1.1 設 X 是一集合 , . 如果滿足正定性、對稱性和三角不等式, 則稱是 的一個度量.稱為度量空間, 表示兩點 x, y 之間的距離. 例 2.1.1 實數(shù)空間 R. (x,y)=|x -y|, R 的通常度量. 例 2.1.2 n 維歐氏空間 . 對于, 記 定義為 Rn 的通常度量, n 維歐氏空間. R2 稱為歐氏平面或平面.例 2.1.3 Hilbert 空間 H. , 易證為度量 則度量空間 稱為 Hilbert 空間. 例 2.1.4 離散度量空間.

10、度量空間稱為離散的, 若, 使得不存在中的點, 滿足如對集合, 按如下方式定義 是上的離散度量: 定義2.1.2 設是度量空間稱為以x為心,為半徑的球形鄰域或鄰域, 或球形鄰域. 對(R, |.|), .定理 2.1.1 度量空間的球形鄰域具有性質: (1) (2) ；(3) 若 使 ；證 (2)； (3) 定義 2.1.3的子集稱為的開集, 若. 每一球形鄰域是開集. 例 2.1.5 R 中的開區(qū)間是開集. 讓 則 同樣可證, 無限開區(qū)也是開集. 閉區(qū)間a, b 不是開集. 定理 2.1.2 度量空間的開集具有以下性質: (1)是開集; (2)兩開集的交是開集; (3)任意開集族之并是開集.

11、 證 (1)由定理 2.1.1(1); (2), (3)由定理 2.1.1(2). 定義 2.1.4 設是度量空間, 稱為 的鄰域, 若有開集, 使. 定理 2.1.3是 中點 的鄰域存在0, 使 B(x, ) U. 定義 2.1.5 設是兩度量空間., , 稱在連續(xù), 若的球形鄰域 存在 的球形鄰域 B(x0, ), 使稱在連續(xù), 若在的每一點連續(xù).定理 2.1.4 設是兩度量空間. , , 那么 (1)在連續(xù)若是的鄰域, 則是的鄰域; (2) 在連續(xù)若 是的開集, 則是 的開集. 證 (1)利用定義 2.1.5, 2.1.4. (2)“”f -1 (U)是每一點的鄰域.“”證每一點連續(xù),

12、利用(1). 由此可見, 度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關. 它導入建立比度量空間更一般的拓撲空間 的概念及其連續(xù)性. 2.2 拓撲空間與連續(xù)映射定義 2.2.1 設 是集合 X 的子集族, 若 滿足: 稱是X的一個拓撲是拓撲空間, 的元稱為的開集. 空間 X 的拓撲是 X 的全體開集的族. 定義 2.2.2度量空間.由 X 的所有開集構成的族 . (X, )稱為由度量誘導出的拓撲空間. 簡稱為度量拓撲. 度量空間一定是拓撲空間. 例 2.2.1 平庸拓撲平庸空間. 例 2.2.2 離散拓撲. 離散空間. X 的每一子集是開集. 由離散度量空間導出的拓撲是 離散拓撲. 例 2.2.4 有限補拓

13、撲.驗證 是 X 上的拓撲. (1)顯然 . (2)， 討論 AB 時分兩種情形, 一是 A, B 中有一是, 二是 A, B都不是；（3）,不妨設 利用 De Morgan 律.有限補空間. 例 2.2.5 可數(shù)補拓撲定義 2.2.3 可度量化空間.離散空間是可度量化空間. 多于一點的平庸空間不是可度量化空間. 度量化問題是點集拓撲學研究的中心問題之一. 本書將在6.6中給出該問題的一個經(jīng)典的解 . 定義 2.2.4 是兩拓撲空間. 稱連續(xù), 若 Y 中每一開集 U 的原象 f-1(U)是 X 中的開集. 定理 2.2.1 恒同映射連續(xù). 連續(xù)函數(shù)的復合是連續(xù)的. 定義 2.2.5 稱為同胚

14、或同胚映射, 若f是一一映射且f及 均連續(xù). 定義 2.2.6 稱兩空間 X 與 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在從 X 到 Y 的同胚. 定理 2.2.2(2.2.3) 恒同映射同胚(X 與 X 同胚); f 同胚 同胚 (若 X 與 Y 同胚, 則 Y 與 X 同 胚); 同胚的復合是同胚(若 X 與 Y 同胚, 且 Y 與 Z 同胚, 則 X 與 Z 同胚). 空間的同胚關系是等價關系. 拓撲學的中心任務 : 研究拓撲不變性質. 抽象化過程: 歐氏空間 度量空間 拓撲空間; 點距離 度量 開集. 2.3 鄰域定義 2.3.1 設是拓撲空間. 稱為 x 的鄰域, 如果存在使; 若

15、U 是開的, U 稱為 x 的開鄰域. 定理 2.3.1 設是 X 的開集U 是它的每一點的鄰域 . 證 由定義得“”; 利用開集之并為開得“”. x 在 X 的所有鄰域構成的族稱為 x 的鄰域系, 記為 Ux. 定理 2.3.2 Ux 的性質: (1) XUx; UUx, xU; (2) U, VUxU VUx;(3) UUx 且 UVVUx ; (4) UUx VUx 使 VU 且 , VUy. 證 由定義 2.3.1 得(1); 由開集的交是開集得 (2); 由定義 2.3.1 得(3); 取為滿足的開集. 由鄰域系出發(fā)可建立拓撲空間的理論, 顯得自然 , 但不流行. 利用鄰域與開集的關

16、系 (定理2.3.1)導出開集, 從 Ux 具有定理 2.3.2 的性質的(1)-(4)出發(fā), 定義Ux, 則是拓撲空間, 且這空間中每一點 x 的鄰域系恰是 Ux. 詳見定理 2.3.3. 定義 2.3.2(點連續(xù)) 映射稱為在點 xX 連續(xù), 如果 U 是 f(x)在 Y 中的鄰域, 則 f-1(U)是 x 在 X 中的鄰域. 定理 2.1.4 保證了在度量空間中點的連續(xù)性與由度量導出的拓撲空間中的點的連續(xù)性的一致 . 另一方面 , 關于點的連續(xù)性 , 易驗證(定理 2.3.4), 恒等映射在每一點連續(xù), 兩點連續(xù)的函數(shù)之復 合仍是點連續(xù)的. 定義 2.2.4 與定義 2.3.2 所定義的

17、“整體”連續(xù)與每一“點”連續(xù)是一致的. 定理 2.3.5 設 則 f 連續(xù)f 在每一 xX 連續(xù). 證 “”若 U 是 f(x)的鄰域, 開集 V 使, x “”若 U 是 Y 的開集, , U 是 f(x)的鄰域, f-1 (U)是 x 的鄰域, 所以 f-1 (U)在 X 中開. 2.4 導集、閉集 、閉包定義 2.4.1 設稱為 A 的聚點(凝聚點, 極限點), 如果 x 的每一鄰域 U中有 A 中異于 x 的點, 即 U (A-x). A 的全體聚點之集稱為 A 的導集, 記為 d(A). x 稱為 A 的孤立點, 若 x 不 是 A 的聚點, 即存在 x 的鄰域 U 使 U (A-x

18、)=, 即 U Ax. 例 2.4.1 X 是離散空間. 若, 則.取 U=x, 則 U Ax, 所以. 例 2.4.2 X 是平庸空間, 若 A=, 則; 若|A|=1, 則 d(A)=X-A; 若|A|1, 則. 對于, 若 U 是 x 的鄰域, 則 U=X, 于是 U(A-x)由此, 易計算 d(A). 定理 2.4.1, 則 (1); (2); (3) ; (4) 證 由定義 2.4.1 得(1)和(2). 關于(3). 由(2)得. 設, 分別存在的鄰域 使得, 令, 則. 關于(4). 設, 存在的鄰域, 使得取的開鄰域, 則.定義 2.4.2 稱為 X 的閉集 , 如果 . 定理

19、 2.4.2 A 閉開 . 證 “” ,由于, 存在x的鄰域U使, 于是.“”所以 例 2.4.3 R 的閉區(qū)間是閉集. 開集.不是閉集, 因為是聚點.定理 2.4.3 記 F是空間的全部閉集族, 則(1) F;(2) FF; (3) F對任意交封閉. 證 利用 De Morgan 定律及拓撲的定義. F 直接驗證可得(1)、(2)、(3)Cantor 集(例 2.4.4)是集合論、點集拓撲或實變函數(shù)論中是具有特別意義的例子 , 它說明 R 中 的閉集可以是很復雜的, 在此不介紹. 定義 2.4.3 A d(A)稱為 A 的閉包, 記為. 定理 2.4.5 對, 有 (1) ; (2) ; (

20、3) ;(4) .證 (3) . (4) . 上述 4 條確定了閉包運算, 稱為 Kuratowski 閉包公理, 由此可建立拓撲空間的概念. 事實上阿記此運算為, 定義 , 則是拓撲空間, 且這空間中每一 , 詳見定理 2.4.8. 關于閉包的幾個相關結果: (1) 對 的任一鄰域有. (定義 2.4.3 后) (2) ； (3) 閉 . (定理 2.4.4) (4 )是閉集. (定理 2.4.6) (5 ) 是包含的所有閉集之交, 是包含的最小閉集. (定理 2.4.7: 設 F 是包含的所有閉 集之交, 則, 所以.) 定義2.4.5是度量空間.對非空的定義. 定理 2.4.9 對度量空

21、間的非空子集 (1); (2) . 證明：定理 2.4.10 設 , 則下述等價(1) 連續(xù);(2) 若閉于, 則閉于; (3) 證明；是的閉集，是的開集，是 X 的開集, f-1(B)是 X 的閉集. 設是的開集，是的閉集且是閉，是開2.5 內部、邊界定義 2.5.1 若是的鄰域, 則稱是的內點. 的所有內點的集合稱為的內部, 記為.定理2.5.1對證明：由于于是從而反之的鄰域，因此，.從而.定理 2.5.3 對, 有(1);；.證明：（1），（2）是顯然的.而關于內部的幾個結果：（1）是的鄰域；(2)是開集；（3）是開集；（4）是所包含的所有開集之并，是含于內的最大開集.證明：是開集（3）

22、A開閉（4）設是含于內的所有開集之并，所以定義 2.5.2 稱為的邊界點, 若的每一鄰域, 既含有中的點又有 中 的點. 的邊界點 之集稱為邊界, 記為.定理2.5.6 對，有證明：（3）2.6 基與子基度量空間球形鄰域 開集 拓撲 . 在度量空間中球形鄰域的作用就是拓撲空間中基的作用.定義 2.6.1 設 是空間 的拓撲, B, 如果中每一元是B中某子集族之并, 稱B 是 的基.所有單點集的族是離散空間的基. 定理 2.6.2 設B ,B 為 的基 及的鄰域 Ux, 使. 證 “”存在開集 Wx使得 , B1B 使得B1, B1 B1使;“” 設,B 使, 從而B 且 在度量空間中, 所有球

23、形鄰域的族是度量拓撲的基(定理 2.6.1). 所有開區(qū)間的族是 的基. 定理 2.6.3 拓撲空間的基B 滿足: (i) B; (ii) B ,B , . 反之, 若集合 X 的子集族 B 滿足(1)、(2), 定義, 則是的以 B 作為基的唯一拓撲. 證 驗證 是的拓撲. (1) . (2) 先設B, , B使,于是. 如果, 設B1 , B2,則B1, B2.(3) 設BAB, 使得BA, 那么BA | . 較強于(ii)且易于驗證的條件是 (ii) B, B. 例 2.6.1 實數(shù)下限拓撲空間. 令 B,則B 為 上一拓撲的基. 這空間稱為實數(shù)下限拓撲空間, 記為 Rl. 開區(qū)間是 R

24、l 中的開集, 因為. 定義 2.6.2 設是拓撲空間, S. 若 S 的元之所有有限交構成的族是的基, 則稱 S 是的子基. S 的元之有限交構成的族S,. 顯然, 空間的基是子基. 例 2.6.2 S是的子基. 對照定理 2.6.3, 集合 的子集族 S 要作為子基生成上的拓撲的充要條件是S. (定理2.6.4) 映射的連續(xù)性可用基、子基來刻畫或驗證. 定理 2.6.5 設是兩拓撲空間, , 下述等價: (1) 連續(xù); (2) 基 B, 使得 B 中每一元的原像在中開; (3) 有子基 S, 使得 S 中每一元的原像在 中開. 證 (3) (2) 設 B 是 S 的元之所有有限交構成的族

25、, 則 B滿足(2). (2) (1) 設在中開,則B1 , 于是B1 在中開. 類似地, 可定義點的鄰域基與鄰域子基的概念, 同時用它們來驗證映射的連續(xù)性等. 在第五章中定義第一可數(shù)性時再介紹這些概念. 2.7 拓撲空間中的序列可以與中一樣地定義序列、常值序列、子序列, 見定義 2.7.1, 2.7.3.定義 2.7.2 中序列極限 , 收斂序列 . 平庸空間中任意序列收斂于空間中的任一點. 數(shù)學分析中的一些收斂性質還是保留的, 如常 值序列收斂, 收斂序列的子序列也收斂 . (定理 2.7.1) 定理 2.7.2 中序列 證的鄰域所以.定理 2.7.3在 x0 連續(xù)且證 設 是的鄰域, 則

26、是的鄰域, , 當時有, 從而. 上述兩定理的逆命題均不成立. 例 2.7.1 設 是不可數(shù)集賦予可數(shù)補拓撲, 則(1)在 中, 當 時有;(2)若是的不可數(shù)子集, 則.證（1）的必要性，令，則是的鄰域，時有，即證的鄰域（可數(shù)集），所以定理 2.7.2 的逆命題不真. 如例 2.7.1, 取定, 讓, 則, 但中沒有序列收斂于. 定理 2.7.3 的逆命題不真. 取是實數(shù)集賦予可數(shù)補拓撲, 讓是恒等映射, 若在中 , 則在中, 但 在 不連續(xù), 因為 x在 R的開鄰域的原像在中不是開的. 定理 2.7.4 設xi是度量空間中的序列, 則. 證 的鄰域, 當 in 時有當 in時有當時有. 第三

27、章 子空間、積空間、商空間介紹三種從原有的拓撲空間或拓撲空間族構造新空間的經(jīng)典方法, 引入遺傳性、可積性、可 商性等概念, 這些是研究拓撲性質的基本構架. 教學重點：子空間與積空間；教學難點：子空間、（有限）積空間和商空間3.1 子空間對于空間 的子集族 A 及, A 在 上的限制 A|YA.(定義 3.1.2) 引理 3.1.2 設是空間的子集, 則是上的拓撲. 證 按拓撲的三個條件逐一驗證. 如, 設, 使得, 于是 定義 3.1.3 對稱為的子空間, 稱為相對拓撲. “子空間”= “子集”+ “相對拓撲”. 易驗證, 若是的子空間, 且 是的子空間, 則是的子空間. (定理 3.1.4)

28、, 定理 3.1.5(3.1.7) 設 是的子空間, , 則 (1)若分別為的拓撲, 則; (2)若 F, F*分別為的全體閉集族, 則 F*=F|Y; (3)若 Uy, Uy *分別為在 中的鄰域系, 則 Uy*=U; (4)若 B 是的基, 則 B|Y 是的基.證 (2) F*. (4) 開于, 存在的開集, 使得, B1 B, 滿足 B1, 則 (B1 |Y). 在 的子空間中是閉集. 定理 3.1.6 設是的子空間, 則 證 (1) 在中的鄰域, 所以 . 反 之 , 設, 在中 的 鄰 域在 中 的 鄰 域 使, 于 是, 所以. (2). 3.2 有限積空間就平面的球形鄰域而言,

29、我們知道球形鄰域內含有方形鄰域 , 方形鄰域內含有球形鄰域 . 從基的角度而言,形如的集合就是平面拓撲的基了. 對于兩個拓撲空間, 在笛卡兒積集中可考慮形如的集合之全體, 其中 U, V 分別是 X, Y 的開集. 對于有限個空間, 可考慮形如的集合. 定理 3.2.2 設是 n 個拓撲空間, 則 有唯一的拓撲, 以 X 的子集族 B為它的一個基 . 證 驗證 B 滿足定理 2.6.3 的條件(i), (ii). (1) B,B=X; (2) 若 B, 則B. 定義 3.2.2 以定理 3.2.2 中 B 為基生成 上的唯一拓撲, 稱為拓撲的積拓撲.稱為的(有限 )積空間. 定理3.2.4設是

30、積空間, Bi 是的基, 則 BBi,是 積拓撲的基. 證 利用定理 2.6.2. 設使Bi 使 , 那么. 例 3.2.1 形如的集合構成的基.設是兩個度量空間.令,則是上的度量, 導出上的度量拓撲. 對于個度量空間之積可類似地定義. (定義 3.2.1) 定理 3.2.1 度量空間的有限積: 積拓撲與度量拓撲一致. 驗證的情形. 易驗證于是每一是積拓撲的開集, 且每一是度量拓撲的開集, 所以導出相同的拓撲. 定理 3.2.5 有限積空間以 S為子基, 其中是的拓撲, 是投射. 僅證的情形., 所以B. 定義 3.2.3 稱為開(閉)映射, 若開(閉)于, 則開(閉)于. 定理 3.2.6

31、是滿、連續(xù)、開映射, 未必是閉映射. 由于, 所以連續(xù). 由于, 所以是開的. 但是不是閉的. 定理 3.2.7 設映射其中是積空間. 則連續(xù)連續(xù).證 充分性. 對的子基 S開于. 多元函數(shù)連續(xù)當且僅當它的每一分量連續(xù). 定理 3.2.8 積拓撲是使每一投射都連續(xù)的最小拓撲 . 即設是積空間的積拓撲, 若集合 X 的拓撲滿足: 每一投射連續(xù), 則. 證 由于， 所以. 3.3 商空間回憶, 商集, 及自然投射定義為. 問題: 設是拓撲空間, 要在上定義拓撲, 使連續(xù)的最大的拓撲. 討論更一般的情形, 設是拓撲空間且是滿射. 賦予集合什么拓撲, 使連續(xù)的最大的拓撲. 若 連續(xù), 且是 的開集,

32、則是的開集. 讓, 易驗 證是 上的拓撲. 定義 3.3.1(3.3.2) 稱 是 的相對于滿射而言的商拓撲, 稱為商映射. 這時, 在 中開在中開;在 中閉在中閉. 定理 3.3.1 商拓撲是使連續(xù)的最大拓撲. 證 設是商映射. 顯然, 是連續(xù)的. 如果是 的拓撲使連續(xù), 則, 于是 即, 所以 是使 f 連續(xù)的最大拓撲.定理 3.3.2 設是商映射. 對于空間, 映射連續(xù)映射連續(xù).證 設連續(xù),開于開于由于是商映射, 所以開于, 故連續(xù). 定理 3.3.3 連續(xù), 滿開(閉)映射商映射. 證 設是連續(xù)的滿開(閉)映射, 是 的相對于 而言的商拓撲, 要證. 由定理 3.3.1, . 反之,.

33、 對于開映射的情形,; 對于閉映 射的情形, , 所以總有. 定義 3.3.3 設是空間的等價關系, 由自然投射確定了 X/R 的商拓撲, 稱為商空間, 這時是商映射. 例 3.3.1 在 中定義等價關系: 或者, 或者商空間 R/是由兩點組成的平庸空間. 由于 Q 在 R 中既是開集, 也不是閉集, 所以單點集Q在 R/中既不是開集,也不是閉集. 習慣上, 把 R/說成是在 R 中將所有有理點和所有無理點分別粘合為一點所得到的商空間. 例 3.3.2 在上定義等價關系或者, 或者是 在中粘合 0, 1 兩點所得到的商空間, 這商空間同胚于單位圓周. 第四章 連通性本章起的四章介紹 4 類重要

34、的拓撲不變性質. 本章討論連通性、道路連通性、局部連通性及 其在實分析中的一些簡單的應用. 教學重點：連通空間、局部連通空間；教學難點：連通分支.4.1 連通空間在拓撲中怎樣定義連通, 分隔區(qū)間(0, 1), (1, 2)的關系與(0, 1), 1, 2)的關系不同, 雖然他們都 不相交, 但相連的程度不一樣. 定義 4.1.1 設 若, 則稱是隔離的. 區(qū)間(0, 1)與(1, 2)隔離, 但區(qū)間(0, 1)與1, 2)不隔離. 幾個基本事實: (1)兩不交的開集是隔離 的; (2)兩不交的閉集是隔離的; (3)隔離子集的子集是隔離的 . 定義 4.1.2稱為不連通的, 若中有非空的隔離子集

35、使, 即可表為兩非空 隔離集之并. 否則 稱為連通的. 包含多于一個點的離散空間不連通, 平庸空間是連通的. 定理 4.1.1 對空間, 下述等價: (1) 是不連通的; (2) 可表為兩非空不交閉集之并; (3) 可表為兩非空不交開集之并; (4) 存在既開又閉的非空真子集. 證 (1)(2)設隔離集之并是. 同理, A 也是閉的. (2)(3)設是兩非空不交閉集之并, 則是兩非空不交開集之 并. (3)(4)設 是兩非空不交開集 之并, 則 都是的既開又閉的非空真子集. (4) (1)若是的開閉集, 則隔離. 例 4.1.1 Q 不是的連通子空間, 因為. 定理 4.1.2 是連通的. 證

36、 若 不連通, 則是兩非空不交閉集 之并 . 取定 不妨設. 令則是 兩非空不交閉集且.讓 . 因是閉的, , 因是閉的, , 從而, 矛盾. 定義 4.1.3 若的子空間是連通的, 則稱 為連通子集, 否則, 稱為不連通子集. 定理 4.1.3 設, 則是的隔離集 是的隔離集. 證 ; 同理, . 定理 4.1.4 設是的連通子集. 如果有隔離子集使, 則 或. 證是的隔離集, 所以, 或 , 于是 或.定理 4.1.5 若 是的連通子集且, 則是連通的. 證 若 不連通, 的非空隔離集 使, 于是 或, 不妨設, 那 么, 于是 , 矛盾. 定理 4.1.6 設是空間的連通子集族. 如果,

37、 則連通.證 若是 X 中隔離集之并, 取定, 不妨設, 則， 所以，于是.定理 4.1.7 設. 若的連通子集 Yxy 使 , 則連通. 證 設，取定, 則且, 所以連通. 定理 4.1.8(連續(xù)映射保持) 設連續(xù). 若連通, 則連通. 證 若不連通, 則含有非空的開閉真子集. 由于連續(xù), 于是是 的 非空開閉真子集. 連續(xù)映射保持性可商性拓撲不變性. 有限可積性. 對于拓撲性質 P, 要證有限可積性, 因為同胚于, 所以只須證: 若具性質 P, 則具有性質 P. 定理 4.1.9 (有限可積性) 設 連通, 則連通. 證 僅證若 連通, 則 連通. 取定 令 由于同胚于 同胚于, 所以，,

38、 都 連通且， 由定理41.6, 連 通 且, 再 由 定 理 4.1.7連通.4.2 連通性的應用利用 R 連通性的證明(定理 4.1.2)知, 區(qū)間都是連通的. 區(qū)間有 9 類： 無限區(qū)間 5 類： 有限區(qū)間 4 類：(a, b), a, b), (a, b, a, b. 定理 4.2.1 設, 則連通是區(qū)間. 證 若 不是區(qū)間, , 使但令則 是不交的 非空開集 之并. 定理 4.2.2 設連通, 連續(xù), 則是 R 的一個區(qū)間. 注, 如果 t 介于與之間, 則, 使. 事實上, 不妨設則所以, 使. 定理 4.2.3(介值定理) 設連續(xù), 若介于與之間, 則使.定理 4.2.4(不動點

39、定理) 設連續(xù), 則使. 證 不妨設 .定義使, 則連續(xù)且 使得, 即. 定義為, 則連續(xù)且, 于是 是連通的. 對稱為的對徑點, 映射定義為稱為對徑映射, 則 r 連續(xù).定理 4.2.5(Borsuk-Ulam 定理) 設連續(xù), 則, 使. 證 定義為， 則連續(xù). 若 , 使得 則, 由定理 4.2.2, , 使得, 即. 定理 4.2.6連通, 其中證 只證 n=2 的情形. 令, 則. 由于, 所以 連通. 同理連通, 從而連通. 定理 4.2.7 與 不同胚. 證 若存在同胚, 令, 則連續(xù), 從而連通, 矛盾.4.3 連通分支將不連通集分解為一些“最大”連通子集(“連通分支”)之并.

40、 定義 4.3.1 稱為連通的, 若的連通子集同時含, 記為. 點的連通關系是等 價關系： .定義 4.3.2 空間關于點的連通關系的每一等價類稱為的一個連通分支. xyx, y 屬于 的同一連通分支. 是的全體連通分支的互不相交并. 定理 4.3.1 設 C 是空間 的連通分支, 則 (1)若是 的連通子集且, 則; (2)C 是連通的閉集. 證 (1)取定 則所以 (2)取定的連通集，由于，于是且, 所以 C 是連通的. 從而 連通且, 于是, 故 C 閉. 以上說明：連通分支是最大的連通子集. 連通分支可以不是開集. 的連通分支都是單點集, 不是的開子集, 由定理 4.2.1, 不存在的

41、連通子集同時含有,所以的連通分支都是單點集 . 4.4 局部連通空間例 4.4.1 (拓撲學家的正弦曲線 ) 令,則, 于是 S, S1 連通. 在 S1 中, S 中點與 T 中點的“較小的”鄰域表現(xiàn)出不同的連通性 . S S1=ST=S T定義 4.4.1 設若的每一鄰域中都含有的某一連通的鄰域, 稱在是局部連 通的. 空間稱為局部連通的, 若在每一點是局部連通的. S1 是連通, 非局部連通的. 多于一點的離散空間是局部連通, 非連通的. 定理 4.4.1 對空間, 下述等價: (1) 是局部連通; (2) 的任一開集的任一連通分支是開集; (3) 有一個基, 每一元是連通的. 證 (1

42、)(2)設 C 是的開集 的連通分支. 的連通的鄰域 , 于是 , 所以 C 是的鄰域, 故 C 開. (2) (3)令 B 是 的開集 的連通分支, 則 B 是 的基. (3) (1)設 是 的鄰域, 存在開集 使, 連通開集 C 使, 所以 局部連通. 定理 4.4.2 設是連續(xù)開映射. 若 局部連通, 則局部連通. 證 , 及 在中的鄰域, 取, 則 是的鄰域, 的連通開集使, 于是 . 定理 4.4.3 局部連通性是有限可積性, 即設局部連通, 則局部連通.證 僅證若 局部連通, 則局部連通. 設 B1, B2 分別是的由連通開集組成的基, 則 B1, B2是的由連通開集組成的基(定理

43、 3.2.4). 證 y1, y2 f(X), x1, x2X 使 f(x1)=y1, f(x2)=y2, 4.5 道路連通空間定義 4.5.1 設是拓撲空間, 連續(xù)映射 稱為中的一條道路,分別稱為的起點和終點, 稱為從到的一條道路,稱為 中的一條曲線. 若, 稱為閉路. 定義 4.5.2 對空間, 如果 中從到的道路, 則稱 是道路連通的. 類似可定義道路連通子集. R 是道路連通的, , 定義為. 定理 4.5.1 道路連通連通. 證 設 X 道路連通. 中從到 的道路, 這時是 中含的連通子集, 所以 連通. 拓撲學家正弦曲線 S1 是連通, 非道路連通的空間. 定理 4.5.2 設連續(xù)

44、. 若道路連通, 則道路連通. 證使，存在道路 使, 則 fg: 0, 1 Y 是 f(X)中從到的道路. 定理 4.5.3 道路連通性是有限可積性. 證 僅證若是道路連通, 則道路連通. , 則存在道路使，定義為, 則 f 是從 x 到 y 的道路. 可引進局部道路連通空間的概念. 同時, 與連通分支類似 , 可建立道路連通分支: 空間中最大的道路連通子集. 第五章 可數(shù)性公理本章主要介紹 4 種與可數(shù)性相關的拓撲性質, 它們與度量空間性質、下章要討論的分離性公 理都是密切相關的. 本章的要點是給出它們之間的基本關系. 教學重點：第一與第二可數(shù)性公理；教學難點：分離性公理.5.1 第一與第二

45、可數(shù)性定理第二章介紹的空間的基, 在生成拓撲空間, 描述局部連通性, 刻畫連續(xù)性等方面都發(fā)揮了積 極的作用. 較少的基元對于進一步討論空間的屬性是重要的. 定義 5.1.1 若有可數(shù)基, 稱滿足第二可數(shù)(性)公理, 或是第二可數(shù)空間, 簡稱空間. 定理 5.1.1 . 證 令 B, 定理 2.6.2, B 是 R 的可數(shù)基. 離散空間 具有可數(shù)基是可數(shù)集. 下面討論“局部基”性質. (定義 2.6.3)對, 設 Ux是的鄰域系, 若 VxUx滿足: Ux, Vx使, 則稱 Vx是 的鄰域基, 若更設 Vx 中每一元都是開的, 則稱 Vx是 x 的開鄰域基或 局部基. 易驗證, (1) 若 Vx

46、 是在的鄰域基, 則Vx是在 的局部基; (2)(定理 2.6.7) 若 B 是空間的基, , 則 BxB是的局部基. 定義 5.1.2 若的每一點有可數(shù)鄰域基, 稱滿足第一可數(shù)(性)公理, 或是第一可數(shù)空間, 簡 稱空間. 定理 5.1.2 度量空間. 證是的可數(shù)鄰域基.例 5.1.1 不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間， 非證有可數(shù)局部基V，V使從而不可數(shù)集可數(shù)集, 矛盾. 定理 5.1.3 . 證 若 B 是的可數(shù)基, 則 BxB是的可數(shù)鄰域基. 逆命題不成立, 不可數(shù)的離散空間是反例. 定理 5.1.4 設連續(xù)、滿、開映射, 則是是. 證 設 B 是的可數(shù)基, 則 B* B是 Y 的可數(shù)基. 事

47、實上, 設是在中的鄰 域, 取, 則是的鄰域, B 使. 證明也適用于: 設 V 是在的局部基, 則 V*V是在的局部基. 可遺傳性質(如, 離散性, 平庸性), 開遺傳性質(如, 局部連通性), 閉遺傳性質. 定理 5.1.5 都是可遺傳性質. 證 設. 若 B 是的可數(shù)基, 則 B|Y是的可數(shù)基. 若且 V 是在中的鄰域基, 則 V|Y 是 在 中的可數(shù)鄰域基 . 定理 5.1.6 都是有限可積性. 證 僅證若 是 空間, 則是空間. ,分別設在的可數(shù)局部基是 V1, V2, 令 V V1, V2 , 則 V 是在中的可數(shù)局部基. 事實 上, 設是 在中的鄰域, 則分別 的開集 U1, U

48、2 使V1, V2, 使 且, 則 推論 5.1.7 Rn 的每一子空間是. 作為2.7 的繼續(xù), 下面討論第一可數(shù)空間的序列性質. X 中的集列稱為下降的, 如果 定理 5.1.8 在 有可數(shù)鄰域基在 有下降的可數(shù)鄰域基. 證 “”設是在 的可數(shù)鄰域基, 令. 定理 5.1.9 設 是 A1 空間,中序列. 證 定理 2.7.2 已證“”, 下證“”. 設是 在中下降的可數(shù)鄰域基. 則 事實上, 的鄰域使. 定理 5.1.10 設 是空間. 連續(xù). 證 定理 2.7.3 已證“”, 下證“”. 若 f 在某點不連續(xù), 存在f(x)的鄰域 V 使 f-1(V)不是 x 的 鄰域. 設是 x 在

49、 X中下降的可數(shù)鄰域基, 那么每一, 于是, 從 而有 , 矛盾. 5.2 可分空間定義 5.2.1 稱為 的稠密子集, 若, 即若是的非空開集, 則. 定義 5.2.2 若 有可數(shù)的稠密子集, 稱為可分空間. 定理 5.2.2可分. 證 設 B 是的可數(shù)基, B, 取定, 令 B, 則可數(shù). 及的任 一鄰域B 使, 那么, 所以, 即由此, 的每一子空間是可分的 ; Rn的每一子空間是可分的. 例5.2.1設是拓撲空間, 定義. 易驗證, 是拓撲空間; B 是的基B*B是的基.(1) 是可分空間, 因為是的稠密集;(2) 是是;(3) 是的(閉)子空間, 因為.現(xiàn)在, 取是不可數(shù)的離散空間,

50、 則不是可分空間, 是可分 , 非空間, 所以 , (1)可分的不一定是的；(2)可分性不是(閉)遺傳性.定理 5.2.4 可分度量. 證 設是度量空間的可數(shù)稠 密集 .令B , 則 B是的可數(shù)基. 事實上, 及在中的鄰域使. 由于 ， 那么B 且.(設由此, 可分度量空間的每一子空間是可分的.5.3 Lindelof 空間定義 5.3.1 設 A 是的子集族, 若A, 則稱 A 是的覆蓋, 并且當 A 是可數(shù)集(有限集, 開集, 閉集)族時, 稱 A 是 的可數(shù)(有限, 開, 閉)覆蓋. 若 A 的子集 A1 覆蓋 B, 則 A1 稱為 A 的子覆蓋. 數(shù)學分析中的 Heine-Borel

51、定理: R 的閉區(qū)間的每一開覆蓋有有限子覆蓋. 定義 5.3.2 X 稱為Lindelof空間, 若 的每一開覆蓋有可數(shù)子覆蓋. 含有不可數(shù)多個點的離散空間不是 Lindelof 空間. 定理 5.3.1(Lindelof 定理) Lindelof. 證 設有可數(shù)基 B. 讓 A 是 的任一開覆蓋, 令 B1=BB | A 使A 使. 則是 A 的可數(shù)子覆蓋 . 事實上 , A 使B 使, 設, 那么. 由此, 空間的每一子空間是 Lindelof 空間.(推論 5.3.2)例 5.3.1 含有不可數(shù)個點的可數(shù)補空間: Lindelof 空間 . 例 5.1.1 已證明 不是 空間. 設 A

52、是 的開覆蓋.取定A, A 使,則是 A 的可數(shù)子覆蓋 . 故 是 Lindelof 空間. 同理, 的每一子空間也是Lindelof 空間. 定理 5.3.3 Lindelof +度量. 證 設是 Lindelof 的度量空間. 的開覆蓋 Ak有可數(shù)子覆蓋 Bk。下證 是 的可數(shù)稠密集. 對 的任一非空開集使. 由于 Bk 是的覆蓋,使, 那么， 于是. 故是可分空間, 再由定理 5.2.4, 是.定理 5.3.4 Lindelof 是可閉遺傳性質.證 設是 Lindelof 空間 的閉子空間. A 是的開覆蓋, A, 的開集使. 那么的開覆蓋A有可數(shù)子覆蓋于是是 A 關于的可數(shù)子覆蓋.第六

53、章 分離性公理本章介紹分離性公理與可度量化定理, 其中包含著名的 Urysohn 引理 、Tietze 擴張定理和 Urysohn 嵌入定理, 這是全書中最難證明的幾個重要定理. 幾類分離性公理的刻畫及相互關系 (6.1-6.4)是本章的主要內容. 教學重點： 、Hausdorff空間、正則、正規(guī)、空間；教學難點：分離性公理.6.1 空間定義 6.1.1 稱為空間, 若 中任兩個不同點中必有一點有一個開鄰域不包含另一點, 即, 或者有開鄰域不含, 或者 有開鄰域不含. 定理 6.1.1 X 是 .證,若 x 有鄰域 U 使 , , 所以 . 同理, 若 y 有鄰域 V 使, 那么 . 由于 ,

54、 不妨設, 如果那么, 矛盾, 于 是, 所以. 定義 6.1.2 稱為 空間, 若 中任兩不同點中每一點有一個開鄰域不包含另一點, 即 的鄰域 U 使. 反之不成立, 如. 定理 6.1.2 X 是是閉集. 證 存在 的鄰域 U 使, 那么, 從而 有開鄰域使有開鄰域使單點集是閉集等價于有限集是閉集, 因為 定理 6.1.3 設 是空間,. 則的鄰域是無限集. 只須證“”. 若不然, 的鄰域使 是有限集, 則 是閉集, 于是 是的開鄰域且, 矛盾. 定義 6.1.3 稱為空間或 Hausdorff 空間, 若 中不同點存在互不相交的開鄰域. 即 ，分別的鄰域 使得. 反之不成立. 例 6.1

55、.1 含有無限多個點的有限補空間 X: 非. 的每一有限子集是閉集, 所以 是空間. 由于中任兩個非空開集必定相交, 所以 不是空間. 定理 6.1.5 空間中, 任意收斂序列有唯一極限點 . 證 設 空間 X 中的序列,又有且, 分別 的開鄰域使, 使有 矛盾. 在空間中, 定理 6.1.5 可以不成立. 如對例 6.1.1 中的空間 , 中的任一由兩兩不同點構 成的序列收斂于任意. 事實上, 設 U 是 x 的開鄰域, 則是 有限集, , 使當時 有, 所以. 6.2 正則, 正規(guī), 空間定義 6.2.1(集的鄰域) 設, 若, 稱是的鄰域. 若 還是開(閉)集, 稱是 的開(閉)鄰域.

56、定義 6.2.2稱為正則空間, 如果, 及的不含的閉集, 則 x 與 有不相交的開鄰 域, 即X 的不交開集使且. 定理 6.2.1 是正則空間及的開鄰域開集使.證對的開鄰域的不交開集使 從 而 及 的閉集 使, 那么,開集 V 使,令,則 V, U 是不交開集且. 定義 6.2.3 稱為正規(guī)空間, 如果 中不交閉集存在不交的開鄰域 , 即若是 的不交的 閉集, 存在不交開集使. 定理 6.2.2 是正規(guī)空間為閉集及的開鄰域開集使 與定理 6.2.1 的證明類似. 例6.2.1正則+正規(guī)未必是. 令, 則是拓撲空間. 由于 的開集也是閉集, 所以是正則、正規(guī)空間. 由兩點 2, 3 可見, 不

57、是 T0 空間. 例 6.2.2(Smirnov 刪除序列拓撲) Hausdorff空間, 非正則空間. R 的通常拓撲為. 令. 可以驗證是 R 上的拓撲且. 于是是空間. 由于的閉集K與 0 沒有不交的開鄰域, 所以不是正則空間. 正則正規(guī), 關鍵在于“單點集未必是閉集”. 定義 6.2.4正則+, 正規(guī)+ . 定理 6.2.3 度量空間. 證 對度量空間, 先證是則是的不交的開鄰域. 設是 的不交的非空閉集. , 由定理 2.4.9, 如果, 則; 如果,則. 記, 并令則 分別是的開鄰域. 以下證明. 若不然, , 使于 是 , 矛盾. 6.3 Urysohn 引理和 Tietze 擴

58、張定理用函數(shù)分離與存在連續(xù)擴張的方式刻畫正規(guī)性. 定理 6.3.1(Urysohn 引理) 是正規(guī)空間對 的任兩不交閉集, 存在連續(xù)映射使. 定理6.3.1 A B 定理6.3.4 應用一例. 定理 6.3.2空間中任意多于一點的連通子集是不可數(shù)集. 設 C 是空間 的多于一點的連通集. 取定, 存在 連續(xù)映射使.由 C 連通, ，于是 C 是不可數(shù)集. 定理 6.3.4(Tietze 擴張定理) 是正規(guī)空間對 的任一閉集 及連續(xù)映射, 存在連續(xù)映射是的擴張, 即. 6.4 完全正則空間 , Tychonoff 空間定義 6.4.1 稱為完全正則空間, 如果 及不含的閉集 B, 存在連續(xù)映射使

59、. 完全正則的空間稱為 Tychonoff 空間 , 或空間.定理 6.4.1 完全正則正則.證及不含 的閉集, 存在連續(xù)映射使. 令則 U, V 是 X 的不交開集且 定理 6.4.2 正則+正規(guī)完全正則. 證及不含 的閉集, 由正則性, 存在開集 使,則 是的不交閉集, 由 Urysohn 引理, 存在連續(xù)映射使 , 這時定理 6.4.3(Tychonoff 定理) 正則+Lindelof正規(guī) . 證 對正則 Lindelof 空間的不交閉集開集使的覆蓋存在可數(shù)子覆蓋, 這時每一. 同理, B 有可數(shù)開覆蓋使每一。 令, 則是開集且有. 再令, 則是的不交開集且. 6.5 分離性公理與子空

60、間、積空間和商空間一、分離性公理是拓撲性質 定理 6.5.1 設空間同胚, 若 是完全正則, 則也是完全正則. 證 設同胚及不含 的閉集, 則 中的閉集不含, 存在連續(xù)映射使且, 于是連續(xù)且. 二、正則、完全正則是可遺傳性質,、正規(guī)是閉遺傳性質.定理 6.5.2 正則性是可遺傳性質. 證 設是正則空間, 及不含 的閉集的閉集使, 那么, 存在中不交開集使且, 從而 . 三、正則、完全正則是有限可積性質 , 、正規(guī)不是有限可積的.定理 6.5.3 完全正則性是有限可積性. 證僅證若是完全正則空間, 則是完全正則空間 . 及不含的閉集, 分別存在的開集, 的開集, 使得.對存在連續(xù)映射使得.定義映