張齊華《交換律》實(shí)錄

1、【一個(gè)例子，究竟能說(shuō)明什么？師：喜歡聽(tīng)故事嗎？生：喜歡。師：那就給大家講一個(gè)“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽(tīng)完故事，想說(shuō)些什么嗎？結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。(教師板書這句話)師：其他同學(xué)呢？(見(jiàn)沒(méi)有補(bǔ)充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說(shuō)些什么？生2：我覺(jué)得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個(gè)特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。生3：我也同意他(生2)的觀點(diǎn)，但我覺(jué)得單就黑板上的這一個(gè)式子，就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”好像不太好。

2、萬(wàn)一其它兩個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺(jué)得您的觀點(diǎn)更準(zhǔn)確、更科學(xué)一些。師：的確，僅憑一個(gè)特例就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結(jié)論當(dāng)作一個(gè)猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“?！备臑椤埃俊?。既然是猜想，那么我們還得生：驗(yàn)證?！掘?yàn)證猜想，需要怎樣的例子？】師：怎么驗(yàn)證呢？生1：我覺(jué)得可以再舉一些這樣的例子？師：怎樣的例子，能否具體說(shuō)說(shuō)？生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來(lái)一樣。（學(xué)生普遍認(rèn)可這一想法）師：那你們覺(jué)得需要舉多少個(gè)這樣的例子呢？生2：五、六個(gè)吧。生3：至少要十個(gè)以上。生4：我覺(jué)得應(yīng)該舉無(wú)數(shù)個(gè)例

3、子才行。不然，你永遠(yuǎn)沒(méi)有說(shuō)服力。萬(wàn)一你沒(méi)有舉到的例子中，正好有一個(gè)加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同）生5：我反對(duì)！舉無(wú)數(shù)個(gè)例子是不可能的，那得舉到什么時(shí)候才好？如果每次驗(yàn)證都需要這樣的話，那我們永遠(yuǎn)都別想得到結(jié)論！師：我個(gè)人贊同你（生5）的觀點(diǎn)，但覺(jué)得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點(diǎn)，我覺(jué)得是不是可以這樣，我們每人都來(lái)舉三、四個(gè)例子，全班合起來(lái)那就多了。同時(shí)大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時(shí)告訴大家行嗎？學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們?cè)趧偛排e例過(guò)程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。（教師展示如

4、下兩種情況：1先寫出1223和2312，計(jì)算后，再在兩個(gè)算式之間添上“”。2不計(jì)算，直接從左往右依次寫下“12232312”。）師：比較兩種舉例的情況，想說(shuō)些什么？生6：我覺(jué)得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒(méi)算，就直接將等號(hào)寫上去了。這叫不負(fù)責(zé)任。（生笑）生7：我覺(jué)得舉例的目的就是為了看看交換兩個(gè)加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫了一個(gè)等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒(méi)想。這樣舉例是不對(duì)的，不能驗(yàn)證我們的猜想。（大家對(duì)生6、生7的發(fā)言表示贊同。）師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？（幾位同學(xué)不好意思地舉起了手。）師：明白問(wèn)題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗(yàn)證猜想，舉例

5、可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補(bǔ)救的機(jī)會(huì)，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？生8：我舉了三個(gè)例子，7887，2992，4774。從這些例子來(lái)看，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。生9：我也舉了三個(gè)例子，5445，30151530，200500500200。我也覺(jué)得，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。（注：事實(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。）師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個(gè)全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個(gè)則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰(shuí)？生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。生

6、11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說(shuō)，交換兩個(gè)一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺(jué)得，舉例就應(yīng)該這樣，要考慮到方方面面。（多數(shù)學(xué)生表示贊同。）師：如果這樣的話，那你們覺(jué)得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？教師出示作業(yè)紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。生：我們?cè)谂e例時(shí)，都沒(méi)考慮到0的問(wèn)題，但他考慮到了。生：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變，交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置和也不變。師：沒(méi)錯(cuò)，因?yàn)槲覀儾恢皇且?/p>

7、說(shuō)明“交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變”，而是要說(shuō)明，交換生：任意兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。師：看來(lái)，舉例驗(yàn)證猜想，還有不少的學(xué)問(wèn)。現(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這個(gè)結(jié)論了嗎？（學(xué)生均表示認(rèn)同）有沒(méi)有誰(shuí)舉例時(shí)發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個(gè)加數(shù)位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來(lái)，我們能驗(yàn)證剛才的猜想嗎？生：能。（教師重新將“？”改成“?！保⒀a(bǔ)充成為：“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變?！保煟夯仡檮偛诺膶W(xué)習(xí)，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個(gè)例子，是沒(méi)法驗(yàn)證某個(gè)猜想的，應(yīng)該多舉一些例子才行。生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。師：從

8、“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+44+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過(guò)舉例，驗(yàn)證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？（學(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個(gè)加數(shù)的（板書：變）生：位置。師：但不變的是生：它們的和。（板書：不變）師：原來(lái)，“變”和“不變”有時(shí)也能這樣巧妙地結(jié)合在一起?！窘Y(jié)論，是終點(diǎn)還是新的起點(diǎn)？】師：從個(gè)別特例中形成猜想，并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過(guò)適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。

9、”那么，在生1：（似有所悟）減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置，差會(huì)不會(huì)也不變呢？（學(xué)生中隨即有人作出回應(yīng)，“不可能，差肯定會(huì)變?！保煟翰患庇诎l(fā)表意見(jiàn)。這是他（生1）通過(guò)聯(lián)想給出的猜想。（教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置差不變？”）生2：同樣，乘法中，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積會(huì)不會(huì)也不變？（教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置積不變？”）生3：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商會(huì)不變嗎？（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商不變？”）師：通過(guò)聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價(jià)值的思考。除此以外，還能通過(guò)其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？生4：我在想，如果

10、把加法交換律中“兩個(gè)加數(shù)”換成“三個(gè)加數(shù)”、“四個(gè)加數(shù)”或更多個(gè)加數(shù)，不知道和還會(huì)不會(huì)不變？師：這是一個(gè)與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對(duì)“加法交換律”的認(rèn)識(shí)。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個(gè)加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對(duì)嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇你最感興趣的一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。（學(xué)生選擇猜想，舉例驗(yàn)證。教師參與，適當(dāng)時(shí)給予必要的指導(dǎo)。然后全班交流。）師：哪些同學(xué)選擇了“猜想一”，又是怎樣驗(yàn)證的？生5：我舉了兩個(gè)例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)862，但68卻不夠減；3/51/52/5，但1/53/5卻不夠減。所以我認(rèn)為，減法中交換兩個(gè)數(shù)

11、的位置差會(huì)變的，也就是減法中沒(méi)有交換律。師：根據(jù)他舉的例子，你們覺(jué)得他得出的結(jié)論有道理嗎？生：有。師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒(méi)變嘛。你看，330，交換兩數(shù)的位置后，33還是得0；還有，14141414，100100100100，這樣的例子多著呢。生6：我反對(duì)，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。生7：我還有補(bǔ)充，我只舉了一個(gè)例子，2112，我就沒(méi)有繼續(xù)往下再舉例。師：哪又是為什么呢？生7：因?yàn)槲矣X(jué)得，只要有一個(gè)例子不符合猜想，那猜想肯就錯(cuò)了。師：同學(xué)們?cè)趺蠢斫馑挠^點(diǎn)。生8：（略。）生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說(shuō)明某個(gè)猜想是對(duì)的，我們必須舉好多例子來(lái)證明，但要

12、想說(shuō)明某個(gè)猜想是錯(cuò)的，只要舉出一個(gè)不符合的例子就可以了。師：瞧，多深刻的認(rèn)識(shí)！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作生：反例。（有略。）師：關(guān)于其它幾個(gè)猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？生10：我研究的是乘法。通過(guò)舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。師：能給大家說(shuō)說(shuō)你舉的例子嗎？生10：5445，01001000，18121218。（另有數(shù)名同學(xué)交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。生12：我想補(bǔ)充。應(yīng)該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說(shuō)更保險(xiǎn)一些

13、。師：你的思考很嚴(yán)密。在目前的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補(bǔ)充舉些例子試試，到時(shí)候，我們?cè)賮?lái)完善這一結(jié)論，你們看行嗎？（對(duì)猜想三、四的討論略。）隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生選擇完成教材中的部分習(xí)題（略），從正、反兩面鞏固對(duì)加法、乘法交換律的理解，并借助實(shí)際問(wèn)題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系?！驹鯓拥氖斋@更有價(jià)值？】師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒(méi)有減法交換律或除法交換律。生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來(lái)驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確。生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個(gè)反例，那我們就能肯定猜想是錯(cuò)誤的。生：舉例

14、驗(yàn)證時(shí)，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。師：只有一個(gè)例子，行嗎？生：不行，萬(wàn)一遇到特殊情況就不好了。（作為補(bǔ)充，教師給學(xué)生介紹了如下故事：三位學(xué)者由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議，越過(guò)邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊?！罢嬗幸馑迹碧煳膶W(xué)家說(shuō)：“蘇格蘭的羊都是黑的?！薄安粚?duì)吧。”物理學(xué)家說(shuō)，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的?！睌?shù)學(xué)家馬上接著說(shuō)：“我覺(jué)得下面的結(jié)論可能更準(zhǔn)確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個(gè)地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保颈匾耐卣梗鹤尳Y(jié)論增殖！】師：在本課即將結(jié)束的時(shí)候，依然有一些問(wèn)題需要留給大家進(jìn)一步展開(kāi)思考。（教師出示如下算式：2

15、0862068 ;60236032）師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個(gè)減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個(gè)除數(shù)也交換了位置。師：交換兩個(gè)減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會(huì)怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過(guò)進(jìn)一步的舉例驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認(rèn)識(shí)？專家評(píng)析張齊華教學(xué)的交換律一課北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 曹一鳴一堂有價(jià)值的數(shù)學(xué)課，給予學(xué)生的影響應(yīng)該是多元而立體的。有知識(shí)的豐厚、技能的純熟，更有方法的領(lǐng)悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對(duì)知識(shí)與技

16、能的盲目追逐，當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態(tài)。知識(shí)化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數(shù)學(xué)思想、方法和精神失卻了可能生長(zhǎng)的土壤，并逐漸為數(shù)學(xué)課堂所遺忘，這不能不說(shuō)是當(dāng)今眾多數(shù)學(xué)課堂的悲哀。近年來(lái)，在觀念層面的探討不少，真正落實(shí)到課堂教學(xué)實(shí)踐的卻不多。可喜的是，在張老師的這一節(jié)課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來(lái)的變化。透過(guò)課堂，我們似乎觸及到了數(shù)學(xué)更為豐厚的內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)教學(xué)可能呈現(xiàn)的更為開(kāi)闊的景象。對(duì)于“交換律”，一貫的教學(xué)思路是：結(jié)合具體情境，得出某一具有交換律特征的實(shí)例，由此引發(fā)猜想，并借助舉例驗(yàn)證猜想、形成結(jié)論，進(jìn)而在解釋和應(yīng)用的過(guò)程中進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)。本課，在宏

17、觀架構(gòu)上并未作太大開(kāi)拓。然而，在保持其整體架構(gòu)的基礎(chǔ)上，這一堂課在更多細(xì)節(jié)上所給予的突破卻是十分顯見(jiàn)。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細(xì)節(jié)，并探尋細(xì)節(jié)背后的意蘊(yùn)所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數(shù)的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過(guò)了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細(xì)微變化，確又發(fā)人于深思。正如案例中所提及的，“一個(gè)例子究竟能說(shuō)明什么”，是得出結(jié)論？還是僅僅是觸發(fā)猜想和驗(yàn)證的一根引線？這里關(guān)乎知識(shí)的習(xí)得，更關(guān)乎方法的生成，關(guān)乎學(xué)生對(duì)于如何從事數(shù)學(xué)思考的思考?！膀?yàn)證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨(dú)特的教學(xué)智慧。曾經(jīng)，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學(xué)

18、生舉例三、四，教師引導(dǎo)學(xué)生匆匆過(guò)場(chǎng)，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡(jiǎn)潔”和“豐富”之間，誰(shuí)才是“舉例驗(yàn)證猜想”時(shí)應(yīng)該遵循的規(guī)則。張老師的嘗試與表達(dá)無(wú)疑是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的一種突破?！芭e例”不應(yīng)只追求簡(jiǎn)約，例子的多元化、特殊性恰恰是結(jié)論準(zhǔn)確和完整的前提。沒(méi)有老師適時(shí)的點(diǎn)撥與引導(dǎo)，學(xué)生如何才能有此深度體驗(yàn)？無(wú)此體驗(yàn)，我們?nèi)绾文苷f(shuō)，學(xué)生已經(jīng)歷過(guò)程，并已感悟思想與方法？觸及我深思的問(wèn)題還在于，是什么原因觸發(fā)了這一節(jié)課將原來(lái)的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內(nèi)容的簡(jiǎn)單擴(kuò)張？是教學(xué)結(jié)構(gòu)的適度調(diào)整？隨后的課堂，給了我清晰的答復(fù)?！凹臃ńY(jié)合律”只是一個(gè)觸點(diǎn)，“減法中是否也會(huì)有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問(wèn)題，則是原有觸點(diǎn)中誕生的一個(gè)個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)。統(tǒng)整到一起時(shí)，作為某一特定運(yùn)算的“交換律知識(shí)”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關(guān)系、“猜想實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識(shí)之上的更高的數(shù)學(xué)課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有