《3.3 直線的方向向量》教案

1、x3.3直線的方向向量教案知識與技能用向量表示直線或點在直線上的位置，用向量方法求證直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行，用向量運算求證兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。過程與方法以自主探究為主，通過體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。情感、態(tài)度與價值觀通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；讓學(xué)生體會雙曲線方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。教學(xué)重點、難點重點：直線的方向向量，平行關(guān)系的論證，用向量運算求證兩條直線垂直或求兩條直線所成

2、的角。難點：直線的方向向量，平面Q的共面向量的選取及其表示。教學(xué)方法采用師生互動的方式，通過讓學(xué)生動腦思考、動手作圖、動口議論、小組合作，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動性，教師合理引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。教學(xué)內(nèi)容一、復(fù)習(xí)回顧：TOC o 1-5 h z1.兩個向量a與b的夾角公式：; HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2a/boa丄bo；3共面向量定理：；（引導(dǎo)學(xué)生從已有認知出發(fā)，即從學(xué)生已具備的平面向量相關(guān)知識出發(fā)，為類比出空間向量夾角和數(shù)量積概念做鋪墊，學(xué)生在學(xué)案上填寫，同位互相檢查。）二、新課學(xué)習(xí)：1用向量表示直線或點在直線上的位置：給定一個定點A

3、和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點做向量AP=ta這時p的位置被t的值完全確定。易知，當(dāng)t在實數(shù)集R中取遍所有值時，點p的軌跡是，反之，在直線l上任取一點p,定，使得AP=。向量方程通常稱作，向量a稱為該直線的。向量方程還可作如下表示:對空間任一個確定的點o,點p在直線l上的充要條件是:存在的實數(shù)t，滿足等式OP=OA+ta.上取AB=a可OP化即OP=.或或都叫做空間直線的，它們都與平面的直線向量參數(shù)方程相同。探究：觀察到方程p=(1-t)OA+tOB中的系數(shù)滿足(1-)+=X,這與點A,P,B三點共線有關(guān)系嗎？若令t=0或1,則點P在直線AB的什么位置?1若令t=2或2,則點P在直

4、線AB的什么位置?若令t=-1，則點P在直線AB的什么位置?中點的向量表示式:例1已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB的方向為正向，在直線AB上建立條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點，且分別滿足條件:(1)AP:PB=1:2；(2)AQ:QB=-2.求點P和點Q的坐標(biāo)。先由學(xué)生給出方法，然后教師給出完整過程，規(guī)范解題步驟）課堂練習(xí)：P96A2、；B1、22用向量的方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行r設(shè)直線11和12的方向向量分別為V1和V2，則由向量共線的條件，得：11/12或l1與12重合。-f已知兩個不共線向量V1和V2與平面a共面，一條直線1的一個方向向量為V，則

5、由共面向量定理，可得：1/平面a或1在平面ao0由共面向量定理，我們還可以得到：如果A、B、C三點不共線，則點M在平面ABC內(nèi)的充要條件是：存在一對實數(shù)X,y,使向量表達式AM=立。已知兩個不共線的向量Vi和V2與平面a共面，則由兩平面平行的判定與性質(zhì)，得:CDDa/或a與重合o例2已知正方體ABCD-ABCD，點M，N分別是面對角線AB，BAC的中點，MN=1AD求證：MN側(cè)面AD；MNAD；并且2課堂練習(xí)：P98A3；B1、33.用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角設(shè)兩條直線所成的角為0,則直線方向向量間的夾角與0或如圖，設(shè)直線11和12的方向向量分別為1和v2,則有：1丄1O1

6、2cos0=l2例3已知正方體ABCD-ABBCD中，點M，N分別是棱與對角線CA的中點,求證：MN丄BB；MN丄ACDDABMN例4已知三棱錐O-ABC，OA=4,0B=5,OC=3,ZAOB=ZBOC=60。ZCOA=90。，M，N分別是棱OA，BC的中點求直線MN與AC所成的角的余弦值。注：（1）如能建立空間直角坐標(biāo)系，有關(guān)向量可用坐標(biāo)表示；（2）建坐標(biāo)系不便，可選取基向量表示其他向量；小結(jié)：從以上幾個例子，可以看到，用向量方法解幾何題的一般步驟是：把線段轉(zhuǎn)化為向量來表示，并通過已知向量表示，或選用表示其他向量，然后通過向量運算去計算或證明。課堂練習(xí)：P101練習(xí)A13；B12三、總結(jié)反思大約2分鐘）學(xué)生從知識、題型與方法、數(shù)學(xué)思想三個方面總結(jié)，然后