函數(shù)的周期性經(jīng)典例題

1、 00函數(shù)的周期性周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)fx)，存在非0常數(shù)T,使得對(duì)于其定義域內(nèi)總有f(x+T)，f(x)，則稱的常數(shù)T為函數(shù)的周期。周期函數(shù)的性質(zhì)：1、f(x)，f(x+a)，則y，f(x)是以T，a為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù)y=fx)滿足fx+a)=fx)(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。3、若函數(shù)f(x+a)，f(xa)，則f(x)是以T，2a為周期的周期函數(shù)4、y=f(x)滿足f(x+a)=_(a0),則fx)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。5、若函數(shù)y=fx)滿足f(x+a)=_(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。6、7、8、f(x+a)，】f

2、(x)，則f(x)是以T，2a為周期的周期函數(shù).1+f(x)f(x+a)_1+f(x)，則f(x)是以T，4a為周期的周期函數(shù).1-f(x)若函數(shù)y=fx)的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(ba丿都對(duì)稱，則f(x)為周期函數(shù)且2(b-a)是它的一個(gè)周期。9、函數(shù)y,f(x)(xR)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(a,y)、B(b,y)(ab)都對(duì)稱,00貝U函數(shù)f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)；10、函數(shù)y,f(x)(xR)的圖象關(guān)于A(a,y)和直線x二b(a0),則fx)為周期函數(shù)，6a是它的一個(gè)周期。14、若奇函數(shù)y=fx)滿足fx+T)=fx)(xWR,與0),則f(T)=0.2【試題舉例】例1

3、、(2006年山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)fx)滿足f(x+2)=一fx),則f(6)的值為(B)(A)1(B)0(C)1(D)2【考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，基礎(chǔ)題。解析：由f(x2)=-f(x)f(x4)=-f(x2)=f(x)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f(o)=0,f(6)=f(42)=f(2)=，f(0)=0，故選擇Bo【窺管之見(jiàn)】本題用到兩重要性質(zhì)：f(xa)=，f(x)f(x)的周期為2a；如f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0o例2、(2005天津卷)設(shè)fx)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則f(1)+f(2)+f(3)+f

4、(4)+f2(5)=_0.【考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性解析：f(0)f(o)得f(o,0，假設(shè)f(n,0因?yàn)辄c(diǎn)(n，0)和點(diǎn)(n1,0)2f(n1Lf(_n)f(n)0因此，對(duì)一切正整數(shù)n都有：f(n,0從而：f(1,f(2)+f(3)+f(4)+f(5,0。本題答案填寫(xiě):0例列、(2006福建卷)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí),f(x)lgx.設(shè)af(5)，bf(|)，cf(2)，則A)abcB)bacC)cbaD) # # cab解：已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)lgx.，Cf(|)0，4)_f(4)，bf(I)f(2)cab，選D.例沖、(200

5、6年安徽卷理)函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2Lfj-,，若f(1)=-5,則f(f(5)=考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。解析：由f(x,2)=4得f(x,4)=丄嚴(yán)f(x)，所以f=f(1)=5，則f(f(5)二f(5)二f(-1)二1一1。f(-1，2)5【窺管之見(jiàn)】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外，一般都比較靈活。本題應(yīng)直觀理解f(x,2)=“只要f(x丿加2，則變倒數(shù)，加兩次則回原位”則一通盡通也。例5、(1996全國(guó)，15)設(shè)f(x)是(-，收)上的奇函數(shù)，f(x,2)=-f(x)，當(dāng)02口時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)等于()

6、A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5解析：由f(x+2)=-f(x)nf(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)，又f(x)是奇函數(shù)，故f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5，故選擇Bo例6、(2005福建卷f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0，6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(B)A5B4C3D2解析：由f(x)的周期性知，f=f(5)=f(-1)=-fG)=-f(4)=0即至少有根1，2，4，5。故選擇Bo例(05廣東卷)設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7,x)，且

7、在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f=0.試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)yf(x)的對(duì)稱軸為x2和x7,從而知函數(shù)yf(x)不是奇函數(shù),，f(4-x)f(14-x)f(2-x)f(2+x),f(x)f(4-x)f(7-x)f(7+x)=f(x)f(14-x),f(x)f(x+10),從而知函數(shù)yf(x)的周期為T(mén)10又ff(0)0,而/(7)H0，故函數(shù)yf(x)是非奇非偶函數(shù);，f(4-x)f(14-x)(II)由f(2-x)f(2+x),f(x)f(4-x)If(7-x)f(7+x)，If(x)f(14-x)，f(x)f(x+10)(II)又ff(0)0,f(1