計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第五部分聯(lián)立方程模型

1、聯(lián)立方程模型的概念和構(gòu)造 對于大多數(shù)金融、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象而言，許多變量之間存在的是交錯的雙向或多向因果關(guān)系，單向的因果關(guān)系是沒有多大意義的。例如貨幣需求的變化會影響均衡利率水平，而利率水平的變化也會影響貨幣需求。為了描述變量之間的多向因果關(guān)系，就需要建立由多個相互聯(lián)系的單方程組成的多方程模型，即聯(lián)立方程模型（simultaneous equation model）。1但聯(lián)立方程模型并不是單方程的簡單重復(fù)或堆砌，它有其自身的特殊理論問題，其中主要是模型的identification和estimation問題。 2第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念首先考慮一個由三個方程組成的簡單的市場供需模型（假定市場總是

2、出清）(模型1）： 供給方程： 需求方程： 均衡方程：3一、內(nèi)生變量、外生變量、前定變量 (一) 內(nèi)生變量（endogenous variables） 由模型系統(tǒng)決定其取值的變量稱為內(nèi)生變量。在模型1中， 、 、 的值是由模型決定的，因而是內(nèi)生變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念4（二）外生變量（exogenous variables） 由模型系統(tǒng)以外的因素決定其取值的變量稱為外生變量。在模型1中，t期的收入 是由模型外的因素決定的， 因而在該模型中是外生變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念5（三）前定變量（predetermined variables） 所謂前定變量是指獨(dú)立于變量所在方

3、程當(dāng)期和未來各期隨機(jī)誤差項(xiàng)的變量。在模型1中， 作為滯后的內(nèi)生變量， 作為外生變量都屬于前定變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念6二、完備方程組 如果一個模型中方程的個數(shù)等于內(nèi)生變量的個數(shù)，則稱這個模型為完備方程組（complete system of equations）。我們可以估計(jì)完備方程組中的所有參數(shù)，但對于非完備方程組，我們不能估計(jì)或只能估計(jì)它的一部分參數(shù)。第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念7 在上述市場供需模型中，共有 、 、 三個內(nèi)生變量，同時(shí)有三個方程，因此該模型是一完備方程組，所有參數(shù)均可估計(jì)。三、隨機(jī)方程式、非隨機(jī)方程式 聯(lián)立方程模型中的方程可以分為兩類，一類是含有隨機(jī)誤差項(xiàng)

4、和未知參數(shù)的方程，稱為隨機(jī) 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念8 方程式，也即行為方程（behavior equation）；另一類是不含隨機(jī)誤差項(xiàng)和未知參數(shù)的方程，稱為非隨機(jī)方程式，主要是恒等式，非隨機(jī)方程式不需要估計(jì)參數(shù)。在模型1中，供給方程、需求方程是隨機(jī)方程式，即行為方程。而均衡方程則屬于非隨機(jī)方程式。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念9四、結(jié)構(gòu)式模型、簡化式模型 所謂結(jié)構(gòu)式模型，是指在一定的經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)上建立的，能夠反映經(jīng)濟(jì)變量之間結(jié)構(gòu)形式的一類聯(lián)立方程模型。模型1即為結(jié)構(gòu)式模型， 對于模型1，若將常數(shù)項(xiàng)看作變量1的系數(shù)，則模型可以表示為： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念10第一節(jié) 聯(lián)立方

5、程模型的基本概念11因此結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為： 1 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念12對于模型1，若以表示t時(shí)刻供給量和需求量的均衡值，則模型1可表示為模型2：供給方程： 需求方程：若將模型2中的內(nèi)生變量 、 只用模型中的前定變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)表示出來，則可得: 、 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念13 （3.1） （3.2）模型3就是結(jié)構(gòu)式模型1或2所對應(yīng)的簡化式模型。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念14 一般的，簡化式模型就是把結(jié)構(gòu)式模型中的內(nèi)生變量表示為前定變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)的聯(lián)立方程模型。同結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣的表示方法一樣，模型3中的簡化式參數(shù)矩陣可表示為： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念15第一

6、節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念16五、聯(lián)立性偏誤 若仍對結(jié)構(gòu)式模型中的每個結(jié)構(gòu)方程分別運(yùn)用OLS進(jìn)行估計(jì)，所得到的參數(shù)估計(jì)值將是有偏和不一致的，即存在聯(lián)立性偏誤（simultaneity bias）或聯(lián)立方程偏誤（simultaneous equations bias）。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念17以下我們將以模型2為例證明解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性。 首先假定 滿足 ， ， 且 不相關(guān)，由3.2以及協(xié)方差的性質(zhì)， 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念18由外生變量及前定變量的定義，得原式 ，則 是相關(guān)的。第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念19下面將證明由于 、 的相關(guān)性， 的最小二乘估計(jì)值 將是

7、不一致的，為簡化分析，將模型2中供給方程中的滯后價(jià)格項(xiàng)去掉 ，記 、 分別為P與Q的樣本均值，可得： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念20對等式兩邊取期望值，可得 考察當(dāng)樣本容量n趨于無限大時(shí) 的性質(zhì)，即考察 是否具有一致性。由一致性的定義， 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念21對上面等式兩邊取極限概率，可得： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念22當(dāng)樣本容量n趨向于無限大時(shí)，則原方程等于 因此 的概率極限并不等于它的真實(shí)值，即是個有偏估計(jì)量，并且這個偏誤不會隨樣本容量的增大而消失。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念23第二節(jié) 聯(lián)立方程模型的識別 所謂識別問題，是指結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的數(shù)值估計(jì)，是否能夠從估計(jì)

8、的簡化式參數(shù)求得。如果能夠求得，我們就說此結(jié)構(gòu)方程是可以識別的，特別的，如果能夠得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值的唯一解，則稱該結(jié)構(gòu)方程是恰好識別的；如果可以得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值的多個解，則稱該結(jié)構(gòu)方程是過度識別；如果不能夠通過簡化式參數(shù)估計(jì)值求得結(jié)構(gòu)式參數(shù)值，則稱該結(jié)構(gòu)方程是不可識別的或不足識別的。 24（一）不可識別和過度識別 對于模型2做修改，可以得到以下模型4： 供給方程： 需求方程：將內(nèi)生變量表示成前定變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)，可得： 25其中 的各值表示為各變量前的系數(shù)，26根據(jù)上述關(guān)系式，若已知 ，則可得：= 或 = ， = ，但我們卻無法求得 的值，也無法求得它們的估計(jì)值。 27（二）恰好識別

9、讓我們回到模型2供給方程：需求方程： 其對應(yīng)的簡化式模型3 28由上述關(guān)系式，若已知 ， 可以求得： ， ， ， ，分別用OLS估計(jì)簡化式模型的兩個方程，可得無偏估計(jì)值，相應(yīng)地，模型2中的參數(shù)的一致估計(jì)量也相應(yīng)可得。 29由結(jié)果可以看到，模型2中供給方程和需求方程參數(shù)估計(jì)值的唯一解，因此兩個結(jié)構(gòu)方程及模型都是恰好識別的。30二、識別規(guī)則: 階條件可識別性的階條件是一個必要但非充分條件，階條件有多種表述方式 ：表述1：令G表示模型中結(jié)構(gòu)方程的個數(shù)，如果某結(jié)構(gòu)方程中所不包含的內(nèi)生變量和前定變量的個數(shù)為G-1，則該方程是恰好識別的；若不包含的變量個數(shù)大于G-1，則該方程是過度識別的；若不包含的變量個

10、數(shù)小于G-1，則該方程是不可識別的。 31 表述2：在一個線性聯(lián)立方程模型中，某方程可識別的一個必要條件（階條件）是：該方程所不包含的前定變量的個數(shù)必須不少于方程右邊所包含的內(nèi)生變量的個數(shù)。若該方程所不包含的前定變量的個數(shù)等于方程右邊所包含的內(nèi)生變量的個數(shù)，則該方程是恰好識別的；若大于，則該方程是過度識別的。 32可以證明兩種表述方式是等價(jià)的。下面通過一個例子說明可識別性的階條件。（模型6） (6.1) (6.2) (6.3) 在該模型中， 表示外生變量， 表示內(nèi)生變量， 33 根據(jù)階條件表述1：方程6.1：不包含2個變量，因此該方程是恰好識別的。方程6.2：是過度識別的。方程6.3：不可識別

11、。 根據(jù)階條件表述2：方程6.1：不包含1個前定變量，方程右邊包含一個內(nèi)生變量，因此該方程是恰好識別的。方程6.2：是過度識別的。方程6.3：不可識別。 34二、秩條件 秩條件的表述如下：對于一個由G個方程組成的聯(lián)立方程模型中的某個結(jié)構(gòu)方程而言，如果模型中其他方程所含而該方程不含的諸變量的系數(shù)矩陣的秩為G-1，則該結(jié)構(gòu)方程是可識別的，若秩小于G-1則該結(jié)構(gòu)方程是不可識別的。對某結(jié)構(gòu)式模型中的第i個方程利用秩條件判斷其可別性，可按以下步驟進(jìn)行： 35寫出結(jié)構(gòu)模型對應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣刪去第i個結(jié)構(gòu)方程對應(yīng)系數(shù)所在的一行。刪去第i個結(jié)構(gòu)方程對應(yīng)系數(shù)所在行中非零系數(shù)所在的各列。對余下的子矩陣，如果它的秩

12、等于方程個數(shù)減去1，則第i個結(jié)構(gòu)方程就是可識別的；如果它的秩小于方程個數(shù)減1，則第i個結(jié)構(gòu)方程就是不可識別的。 36下面舉例說明階條件和秩條件的結(jié)合運(yùn)用。（模型7） (7.1) (7.2) (7.3) (7.4)同模型6， 表示內(nèi)生變量， 表示外生變量，首先寫出模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣： 37方程7.1：按階條件，是恰好識別的。按秩條件，得子矩陣如下， 它的秩為23,因此秩條件不滿足，該方程是不可識別的。 38 方程7.2：按階條件，恰好識別。按秩條件，得子矩陣如下，它的秩為3滿足秩條件，因此該方程是恰好識別的。 39方程7.3：按階條件，是過度識別的。按秩條件，得子矩陣如下，它的秩為3，滿足秩條件

13、，因此該方程是 過度識別的 。方程7.4：按階條件，是不可識別的，則不用考慮秩條件，該方程一定是不可識別的。 40三、聯(lián)立性檢驗(yàn)由于某些內(nèi)生變量作解釋變量，從而與隨機(jī)誤差項(xiàng)存在相關(guān)性而產(chǎn)生的，因而聯(lián)立性檢驗(yàn)就歸結(jié)為可能是內(nèi)生變量的解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性檢驗(yàn)。通常用Hausman設(shè)定誤差檢驗(yàn)（Hausman specification test）檢驗(yàn)聯(lián)立性。考慮前面提到的模型4： 供給方程： 41需求方程：第一步，求得模型的簡化式形式 （模型8） （8.1） （8.2）其中 、 為相應(yīng)的系數(shù)， 、 為隨機(jī)誤差項(xiàng)。42第二步，應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)方程8.1，得到 的估計(jì)值 。第三步，將 作

14、為附加變量加入到方程4.1中，得 ，對其應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行回歸，并設(shè)： 43 第四步，對 的估計(jì)值做t檢驗(yàn)，若它是顯著的因而應(yīng)將作為內(nèi)生變量，即存在聯(lián)立性；若不顯著，則不能拒絕原假設(shè)，即不存在聯(lián)立性。 44第三節(jié) 聯(lián)立方程模型的估計(jì)根據(jù)是否同時(shí)對所有的結(jié)構(gòu)方程進(jìn)行估計(jì)，可把常用的估計(jì)方法分為單一方程法與系統(tǒng)方程法兩類。單一方程法又稱有限信息法（limited information method）,是對結(jié)構(gòu)方程逐個進(jìn)行估計(jì)的方法。系統(tǒng)方程法又稱為完全信息法，是對整個聯(lián)立方程模型中的所有結(jié)構(gòu)方程同時(shí)進(jìn)行估計(jì)，一次估計(jì)出模型全部系數(shù)的方法 45一、單一方程法 對單一方程法我們將主要介紹間接最小

15、二乘法、工具變量法、兩階段最小二乘法。前者只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，后兩者還可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)方程過度識別的情況。（一）普通最小二乘法在遞歸模型中的應(yīng)用。 考慮如下模型：46 （9.1） （9.2） （9.3）其中 表示內(nèi)生變量， 表示外生變量，假定同期各方程的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)，即：47 該模型中實(shí)際并不存在聯(lián)立方程系統(tǒng)中各內(nèi)生變量之間的相互依賴性，而是存在一種單向的因果依賴性，這種模型被稱為遞歸模型或三角模型，也因其單向因果性而被稱為因果性模型。 (二)間接最小二乘法 其具體步驟如下： 48 第一步：將結(jié)構(gòu)式模型轉(zhuǎn)化為簡化式模型。 第二步：對每個簡化式方程應(yīng)用普通最小二乘法，得到簡化式參數(shù)的估

16、計(jì)值。第三步：根據(jù)簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系式以及簡化式參數(shù)估計(jì)值求得結(jié)構(gòu)式參數(shù)估計(jì)值。 49(三)工具變量法以國民收入模型10為例，說明工具變量法的應(yīng)用：消費(fèi)函數(shù)： 投資函數(shù)： 國民收入定義式： 第一步，選擇合適的工具變量。一般而言，聯(lián)立方程模型中的前定變量可以作為工具變量，因此選擇政府購買支出作為工具變量。50運(yùn)用普通最小二乘法估計(jì)估計(jì)方程 ，得到擬合值 。第三步，將消費(fèi)方程中的Yt 用其擬合值 代替，得 ，由于 與 是不相關(guān)的，因此用普通最小二乘法估計(jì)該方程，就可以得到 、 的估計(jì)值 、 。51（四）兩階段最小二乘法 下面仍以模型10為例說明兩階段最小二乘法的應(yīng)用：第一階段，由結(jié)構(gòu)

17、式模型求得簡化式模型： 并用普通最小二乘法分別估計(jì)各方程，求得各內(nèi)生變量的擬合值 52 第二階段：將原結(jié)構(gòu)方程右邊的內(nèi)生變量替換為它的擬合值，得如下模型(11)。由于 與 、 是漸進(jìn)不相關(guān)的，因此可以用普通最小二乘法分別估計(jì)模型11的方程，從而求得結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)值。 模型(11) 53五、間接最小二乘法、工具變量法、兩階段最小二乘法的比較 兩階段最小二乘法實(shí)際上是工具變量法的一種特殊形式。 在恰好識別的情況下，可以證明三種方法是等價(jià)的。在過度識別的情況下，間接最小二乘法不能應(yīng)用；按照工具變量選擇的不同，工具變量法可以得到多個估計(jì)值；而兩階段最小二乘法則可以充分利用模型信息，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的唯

18、一估計(jì)值。 54二、系統(tǒng)方程法 系統(tǒng)方程法，其中最重要的一種方法是三階段最小二乘法。它的基本思想是：兩階段最小二乘法只使用了模型的部分信息，而忽視了模型結(jié)構(gòu)對其它方程的參數(shù)值所施加的全部約束條件，特別是當(dāng)聯(lián)立方程模型各方程的隨機(jī)誤差項(xiàng)同期相關(guān)時(shí)，兩階段最小二乘法將不再有效，此時(shí)需要引入廣義最小二乘法（GLS），以克服各方程之間的聯(lián)立性偏誤。 55第一階段：利用普通最小二乘法估計(jì)結(jié)構(gòu)式模型對應(yīng)的簡化式模型，并求得各內(nèi)生變量的擬合值。第二階段：將結(jié)構(gòu)方程右邊的內(nèi)生變量用其擬合值代替，再利用普通最小二乘法估計(jì)替代后的方程，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值。然后計(jì)算各方程的殘差值，利用殘差值求得誤差項(xiàng)方差以及跨

19、方程協(xié)方差的一致估計(jì)值。GLS的基本步驟56第三階段：根據(jù)第二階段得到的誤差項(xiàng)方差估計(jì)值以及跨方程協(xié)方差估計(jì)值，應(yīng)用廣義最小二乘法得到三階段最小二乘估計(jì)值。盡管系統(tǒng)方程估計(jì)值比單一方程估計(jì)值更為有效，但在實(shí)際中系統(tǒng)方程法并不常用。 （1）系統(tǒng)方程法常常導(dǎo)致參數(shù)的高度非線性解，以至于有時(shí)難以確定。 （2）系統(tǒng)方程法對設(shè)定誤差很敏感。 （3）計(jì)算量較大。 57第四節(jié)、實(shí)例聯(lián)立方程模型在金融數(shù)據(jù)中的應(yīng)用 一、理論分析 （一）理論上，貨幣供應(yīng)量對股票價(jià)格影響的途徑 由理論可以看出，貨幣供應(yīng)量既可以影響當(dāng)期的股票價(jià)格，也可以影響后期的股票價(jià)格。根據(jù)國內(nèi)外的研究，貨幣政策的時(shí)滯一般在6個月，因此取股票價(jià)格

20、58作為被解釋變量時(shí)，取當(dāng)月和前第六個月的貨幣供應(yīng)量為解釋變量，建立如下方程：其中 表示第t月的上證綜合指數(shù)， 表示第t月的貨幣供應(yīng)量， 表示第t-6月的貨幣供應(yīng)量。 （二）股票價(jià)格也會對貨幣需求也存在財(cái)富效應(yīng)、交易效應(yīng)和替代效應(yīng)。59 因此若以貨幣需求量為被解釋變量，可以建立如下的方程： 其中 代表t月的貨幣需求量， 代表t月的工業(yè)增加值， 代表第t月的通貨膨脹率， 代表第t月的一年期定期存款利率。從總體上來說，貨幣需求和貨幣供給還是保持均衡的。60因此，可以建立如下的聯(lián)立方程模型（模型12） (12.1) （12.2） 61二、實(shí)證分析 本文采用了從1997年1月到2004年3月各變量的月度數(shù)據(jù)。我們將分別檢驗(yàn)流通中現(xiàn)金、狹義貨幣、廣義貨幣作為貨幣量與上證指數(shù)的關(guān)系。我們將在Eviews5.0中利用兩階段最小二乘法估計(jì)上述聯(lián)立方程模型，這個過程主要分兩個步驟：首先利用普通最小二乘法求得內(nèi)生變量的擬合值，然后用擬合值代替內(nèi)生變量再利用兩階段最小二乘法求得結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值。62我們以代表貨幣量說明模型，打開Eviews5.0，建立相應(yīng)的工作組并輸入數(shù)據(jù)，然后在菜單中選擇“Quick”“Est