博弈論復(fù)習(xí)題及答案

1、博弈論題型一：純策略納什均衡1、豬圈里有一頭大豬和一頭小豬，豬圈的一頭有一個(gè)飼料槽，另一頭裝有控制飼料供應(yīng)的按鈕。按一下按鈕就會(huì)有10個(gè)單位飼料進(jìn)槽，但誰按誰就要付出2個(gè)單位的成本。誰去按按紐則誰后到；都去按則同時(shí)到。若大豬先到，大豬吃到9個(gè)單位，小豬吃到一個(gè)單位；若同時(shí)到，大豬吃7個(gè)單位，小豬吃3個(gè)單位；若小豬先到，大豬吃六個(gè)單位，小豬吃4個(gè)單位。各種情況組合扣除成本后的支付矩陣可如下表示（每格第一個(gè)數(shù)字是大豬的得益，第二個(gè)數(shù)字是小豬的得益）：小豬按等待大豬按5,14,4等待9,-10,0求納什均衡。在這個(gè)例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，大豬選擇按，小豬最好選擇等待，大豬選擇不按,小豬還是最好選擇等待

2、。即不管大豬選擇按還是不按，小豬的最佳策略都是等待。也就是說，無論如何，小豬都只會(huì)選擇等待。這樣的情況下，大豬最好選擇是按,因?yàn)椴话吹脑挾拣I肚子，按的話還可以有4個(gè)單位的收益。所以納什均衡是（大豬按，小豬等待）。題型二：混合策略的納什均衡2、求出下面博弈的納什均衡（含純策略和混合策略）。乙LR5,00,82,64,5由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡?？傻萌缦虏坏仁浇MQ二a+d-b-c=7,q=d-b=4,R二0+5-8-6二-9,r二-1可得混合策略Nash均衡（丄上），（丄,）9977據(jù)說是去年考了的原題！3、Smith和John玩數(shù)字匹配游戲，每個(gè)人選擇1、2、3,如果數(shù)字相

3、同，John給Smith3美元，如果不同，Smith給John1美元。列出收益矩陣。如果參與者以1/3的概率選擇每一個(gè)數(shù)字，證明該混合策略存在一個(gè)納什均衡，它為多少？答：(1)此博弈的收益矩陣如下表。該博弈是零和傅弈，無納什均衡。John123Smith13,-3-1,1-1,12-1,13,-3-1,13-1,1-1,13,-3(2)Smith選(1/3,1/3,1/3)的混合概率時(shí)，John選1的效用為：Ui=1x(-3)+x1+1x1=-!John選2的效用為：U2=xl+x(-3)+卜1=-斗John選3的效用為：6=卜1+卜1+卜(-3)=-壬類似地,John選(1/3,1/3,1/

4、3)的混合概率時(shí)，Smith選1的效用為：U；=*x3+*x(-l)+x(-1)=Smith選2的效用為：U；=x(-l)+gx3+*x(-1)=2Smith選3的效用為：U；=x(-l)+1x(-1)+1x3=因?yàn)閁嚴(yán)6=6，Ui=U；=U,所以：(*，+，+)，(*，+，+)是納什均衡策略值分別為John：U=-1；Smith：V=1o這個(gè)也是據(jù)說的去年原題古諾模型斯塔伯格模型我覺得還是很重要的4、假設(shè)雙頭壟斷企業(yè)的成本函數(shù)分別為：C嚴(yán)20Q】，C2=2Q,市場(chǎng)需求曲線為P=400-2Q,其中，Q=Qi+Q?0求出古諾(Cournot)均衡情況下的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)，求出各自的反應(yīng)和等利潤(rùn)曲

5、線，并圖示均衡點(diǎn)。求出斯塔克傅格(Stackelberg)均衡情況下的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)，并以圖形表示。說明導(dǎo)致上述兩種均衡結(jié)果差異的原因。答：(1)對(duì)于壟斷企業(yè)1來說：max4002(Q+Q2)Q1-20Q1這是壟斷企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)。其等利潤(rùn)曲線為：羽=380Q-2QQ?-2Q?對(duì)壟斷企業(yè)2來說：max400-2(Q1+Q2)Q2-2Q=q,=5o-2l4這是壟斷企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)。其等利潤(rùn)曲線為：羽=400Q2-2QQ-4在達(dá)到均衡時(shí)，有：190-(50_瘞rQ|-i/4時(shí)，才存在子瞎弈完美4-/S）-Pi（sc）5-14納什均衡。7、在Bertrand價(jià)格博弈中，假定有n個(gè)生產(chǎn)企業(yè)，需求函數(shù)

6、為P二a-Q,其中P是市場(chǎng)價(jià)格，Q是n個(gè)生產(chǎn)企業(yè)的總供給量。假定博弈重復(fù)無窮多次，每次的價(jià)格都立即被觀測(cè)到，企業(yè)使用“觸發(fā)策略”（一旦某個(gè)企業(yè)選擇壟斷價(jià)格，則執(zhí)行“冷酷策略”）。求使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子6是多少。并請(qǐng)解釋各與n的關(guān)系。分析：此題可分解為3個(gè)步驟（1）n個(gè)企業(yè)合作，產(chǎn)量總和為壟斷產(chǎn)量，價(jià)格為壟斷價(jià)格，然后平分利潤(rùn)。（2）其中一個(gè)企業(yè)采取欺騙手段降價(jià)，那個(gè)這家企業(yè)就占有的全部市場(chǎng)，獲得壟斷利潤(rùn)(3)其他企業(yè)觸發(fā)戰(zhàn)略，將價(jià)格降到等于邊際成本，所有的企業(yè)利潤(rùn)為零。參考答案：設(shè)每個(gè)企業(yè)的邊際成本為c,固定成本為0P二a-QTR二P*Q二(a-Q)*QMR二a-2

7、Q因?yàn)椋篗R=MCa-2Q二c則:Q=(a-c)/2P二(a+c)/2ai=(P-c)*Q=(a-c)2/4每家企業(yè)的利潤(rùn)為(a-c)2/4n假設(shè)A企業(yè)自主降價(jià)，雖然只是微小的價(jià)格調(diào)整，但足以占領(lǐng)整個(gè)市場(chǎng)，獲得所有的壟斷利潤(rùn)一一(a-c)2/4其他企業(yè)在下一期釆取冷酷策略，使得所有企業(yè)的利潤(rùn)為0考慮：A企業(yè)不降價(jià)：(a-c)2/4n,(ac)2/4n,A企業(yè)降價(jià)：(a-c)2/4,0,使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果，就要使得不降價(jià)的貼現(xiàn)值大于等于降價(jià)的貼現(xiàn)值。設(shè)貼現(xiàn)因子為SA不降價(jià)的貼現(xiàn)值：(a-c)2/4nl/(l-8)A降價(jià)的現(xiàn)值：(a-c)2/4于是：(a-c)2/4n1/(1-(a-c

8、)2/4解得：61-1/n題型五不完全信息下的靜態(tài)傅弈產(chǎn)生的貝葉斯均衡詳情請(qǐng)見PPT302面303面以及不完全信息下的古諾模型8、市場(chǎng)進(jìn)入博弈(貝葉斯均衡)一個(gè)完全壟斷企業(yè)B正在壟斷一個(gè)行業(yè)市場(chǎng)，另一個(gè)潛在的試圖進(jìn)入該行業(yè)的企業(yè)A,稱A為進(jìn)入者，B為在位者。A不知道B的成本特征，設(shè)B有兩種可能的成本，即高成本和低成本。兩種成本情況下的博弈矩陣如表61。表6.1市場(chǎng)進(jìn)入博弈B40,50-10,030,80-10,100A進(jìn)入高成本低成本默認(rèn)斗爭(zhēng)默認(rèn)斗爭(zhēng)0,3000,3000,400不進(jìn)入假定B知道進(jìn)入者A的成本為高成本，且與B為高成本時(shí)的成本相同。假若信息是完全的，則當(dāng)B為高成本時(shí)，唯一的精煉納什均衡為(進(jìn)入，默認(rèn))，另一納什均衡(不進(jìn)入,斗爭(zhēng))是含有不可置信的威脅。當(dāng)B為低成本時(shí)，唯一的納什均衡為(不進(jìn)入，斗爭(zhēng))，即若A進(jìn)入行業(yè)，具有低成本優(yōu)勢(shì)的B將通過降低價(jià)格將A逐出市場(chǎng)。由于存在行業(yè)進(jìn)入成本，所以A被逐出市場(chǎng)后將有凈的10單位進(jìn)入成本的損失。當(dāng)A不知道B的成本情況時(shí)，他的選擇將依賴于他對(duì)B的成本類型的主觀概率或先驗(yàn)概率密度。設(shè)A對(duì)B是高成本的先驗(yàn)概率判斷為P,則A認(rèn)為B為低成本的概率為1-P。如果A進(jìn)入，其期塑支付為P(40)+(l-P)(-10)如果1不進(jìn)入，其期望支付